utilidad lineal

En economía y teoría del consumidor , una función de utilidad lineal es una función de la forma:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}}$

o, en forma vectorial:

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$

dónde:

• ${\displaystyle m}$es el número de bienes diferentes en la economía.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$es un vector de tamaño que representa un paquete . El elemento representa la cantidad de bien en el paquete. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$es un vector de tamaño que representa las preferencias subjetivas del consumidor. El elemento representa el valor relativo que el consumidor asigna al bien . Si , esto significa que el consumidor piensa que el producto no tiene ningún valor. Cuanto mayor sea, más valiosa será una unidad de este producto para el consumidor. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Un consumidor con una función de utilidad lineal tiene las siguientes propiedades:

• Las preferencias son estrictamente monótonas : tener una cantidad mayor incluso de un solo bien aumenta estrictamente la utilidad.
• Las preferencias son débilmente convexas , pero no estrictamente convexas: una mezcla de dos paquetes equivalentes es equivalente a los paquetes originales, pero no mejor que ellos.
• La tasa marginal de sustitución de todos los bienes es constante. Por cada dos bienes : ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}}$.

• Las curvas de indiferencia son rectas (cuando hay dos bienes) o hiperplanos (cuando hay más bienes).
• Cada curva de demanda (demanda en función del precio) es una función escalonada : el consumidor quiere comprar cero unidades de un bien cuya relación utilidad/precio está por debajo del máximo, y quiere comprar tantas unidades como sea posible de un bien cuya utilidad La relación precio/precio es máxima.
• El consumidor considera los bienes como bienes sustitutos perfectos .

Economía con utilidades lineales

Defina una economía lineal como una economía de intercambio en la que todos los agentes tienen funciones de utilidad lineales. Una economía lineal tiene varias propiedades.

Supongamos que cada agente tiene una dotación inicial . Este es un vector de tamaño en el que el elemento representa la cantidad de bien que inicialmente posee el agente . Entonces, la utilidad inicial de este agente es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e_{A,i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

Supongamos que los precios de mercado están representados por un vector , un vector de tamaño en el que el elemento es el precio del bien . Entonces, el presupuesto del agente es . Mientras este vector de precios esté vigente, el agente puede permitirse todos y sólo los paquetes que satisfacen la restricción presupuestaria : . ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

Equilibrio competitivo

Un equilibrio competitivo es un vector de precios y una asignación en el que se satisfacen las demandas de todos los agentes (la demanda de cada bien es igual a su oferta). En una economía lineal, consta de un vector de precios y una asignación , dando a cada agente una cesta tal que: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$

• ${\displaystyle \sum _{A}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A}{\overrightarrow {e_{A}}}}$(la cantidad total de todos los bienes es la misma que en la asignación inicial; no se producen ni destruyen bienes).
• Para cada agente , su asignación maximiza la utilidad del agente, sujeto a la restricción presupuestaria . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

En equilibrio, cada agente posee sólo bienes para los cuales su relación utilidad/precio es débilmente máxima. Es decir, si el agente mantiene el bien en equilibrio, entonces para todos los demás bienes : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{A,i}/p_{i}\geq w_{A,j}/p_{j}}$

(de lo contrario, el agente querría intercambiar alguna cantidad de bien por bien , rompiendo así el equilibrio). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Sin pérdida de generalidad, es posible suponer que todo bien es deseado por al menos un agente (de lo contrario, este bien puede ignorarse a todos los efectos prácticos). Bajo este supuesto, el precio de equilibrio de un bien debe ser estrictamente positivo (de lo contrario, la demanda sería infinita).

Existencia de equilibrio competitivo

David Gale ^[1] demostró condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un equilibrio competitivo en una economía lineal. También demostró varias otras propiedades de las economías lineales.

Un conjunto de agentes se llama autosuficiente si todos los miembros de asignan un valor positivo sólo a los bienes que son propiedad exclusiva de los miembros de (en otras palabras, asignan valor a cualquier producto que sea propiedad de miembros externos ). El conjunto se denomina superautosuficiente si alguien posee un bien que no es valorado por ningún miembro (incluido él mismo). El teorema de existencia de Gale dice que: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Una economía lineal tiene un equilibrio competitivo si y sólo si ningún conjunto de agentes es superautosuficiente.

Prueba de la dirección "sólo si" : supongamos que la economía está en equilibrio con el precio y la asignación . Supongamos que es un conjunto de agentes autosuficiente. Entonces, todos los miembros comercian sólo entre sí, porque los bienes que pertenecen a otros agentes no tienen valor para ellos. Por tanto, la asignación de equilibrio satisface: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Toda asignación de equilibrio es eficiente en el sentido de Pareto . Esto significa que, en la asignación de equilibrio , cada bien está en manos únicamente de un agente que asigna un valor positivo a ese bien. Mediante la igualdad que acabamos de mencionar, para cada bien , la cantidad total de bienes en poder de los miembros de en la asignación de equilibrio es igual a la cantidad total de bienes en poder de los miembros de en la asignación inicial . Por lo tanto, en la asignación inicial , cada bien está en manos de un miembro de , sólo si es valioso para uno o más miembros de . Por tanto, no es superautosuficiente. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Equilibrio competitivo con ingresos iguales

El equilibrio competitivo con ingresos iguales (CEEI) es un tipo especial de equilibrio competitivo, en el que el presupuesto de todos los agentes es el mismo. Es decir, por cada dos agentes y : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{A}}}={\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{B}}}}$

La asignación CEEI es importante porque se garantiza que está libre de envidia : ^[2] el paquete le da al agente una utilidad máxima entre todos los paquetes con el mismo precio, por lo que en particular le da al menos tanta utilidad como el paquete . ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{B}}$

Una forma de lograr un CEEI es dar a todos los agentes la misma dotación inicial, es decir, para todos y : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}={\overrightarrow {e_{B}}}}$

(si hay agentes, entonces cada agente recibe exactamente la cantidad de cada bien). En tal asignación, ningún subconjunto de agentes es autosuficiente. Por tanto, como corolario del teorema de Gale: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

En una economía lineal siempre existe un CEEI .

Ejemplos

En todos los ejemplos siguientes, hay dos agentes: Alice y George, y dos bienes: manzanas (x) y guayabas (y).

A. Equilibrio único : las funciones de utilidad son:

${\displaystyle u_{A}(x,y)=3x+2y}$,

${\displaystyle u_{G}(x,y)=2x+3y}$.

La dotación total es . Sin pérdida de generalidad, podemos normalizar el vector de precios de manera que . ¿Qué valores puede tener en CE? Si , entonces ambos agentes quieren dar toda su y por x; si , entonces ambos agentes quieren dar todo su x por y; por lo tanto, en CE . Si , entonces Alice es indiferente entre x e y, mientras que George sólo quiere y. De manera similar, si , entonces George es indiferente mientras que Alice sólo quiere x. Si , entonces Alice quiere sólo x mientras que George sólo quiere y. Por lo tanto, la asignación de CE debe ser [(6,0);(0,6)]. El vector de precios depende de la asignación inicial. Por ejemplo, si la asignación inicial es igual, [(3,3);(3,3)], entonces ambos agentes tienen el mismo presupuesto en CE, entonces . Este CE es esencialmente único: el vector de precios puede multiplicarse por un factor constante, pero el equilibrio del CE no cambiará. ${\displaystyle T=(6,6)}$ ${\displaystyle P_{x}=1}$ ${\displaystyle P_{y}}$ ${\displaystyle P_{y}>3/2}$ ${\displaystyle P_{y}<2/3}$ ${\displaystyle 2/3\leq P_{y}\leq 3/2}$ ${\displaystyle P_{y}=2/3}$ ${\displaystyle P_{y}=3/2}$ ${\displaystyle 2/3<P_{y}<3/2}$ ${\displaystyle P_{y}=P_{x}=1}$

B. Sin equilibrio : supongamos que Alicia tiene manzanas y guayabas pero sólo quiere manzanas. George solo tiene guayabas pero quiere manzanas y guayabas. El conjunto {Alice} es autosuficiente, porque Alice piensa que todos los bienes que posee George no tienen valor. Además, el conjunto {Alice} es súper autosuficiente, porque Alice sostiene guayabas que no tienen ningún valor para ella. De hecho, no existe un equilibrio competitivo: independientemente del precio, Alice quisiera dar todas sus guayabas a cambio de manzanas, pero George no tiene manzanas, por lo que su demanda quedará sin satisfacer.

C. Muchos equilibrios : Supongamos que hay dos bienes y dos agentes, ambos agentes asignan el mismo valor a ambos bienes (por ejemplo, para ambos, ). Entonces, en equilibrio, los agentes pueden intercambiar algunas manzanas por un número igual de guayabas, y el resultado seguirá siendo un equilibrio. Por ejemplo, si hay un equilibrio en el que Alicia tiene 4 manzanas y 2 guayabas y Jorge tiene 5 manzanas y 3 guayabas, entonces la situación en la que Alicia tiene 5 manzanas y 1 guayaba y Jorge 4 manzanas y 4 guayabas también es un equilibrio. ${\displaystyle w_{apples}=w_{guavas}=1}$

Pero, en ambos equilibrios, las utilidades totales de ambos agentes son las mismas: Alice tiene una utilidad 6 en ambos equilibrios y George tiene una utilidad 8 en ambos equilibrios. Esto no es una coincidencia, como se muestra en la siguiente sección.

Unicidad de las empresas de servicios públicos en equilibrio competitivo.

Gale ^[1] demostró que:

En una economía lineal, todos los agentes son indiferentes entre todos los equilibrios .

Prueba. La prueba es por inducción sobre el número de comerciantes. Cuando hay un solo comerciante, el reclamo es obvio. Supongamos que hay dos o más comerciantes y considere dos equilibrios: el equilibrio X con vector de precios y asignación , y el equilibrio Y con vector de precios y asignación . Hay dos casos a considerar: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle y}$

a. Los vectores de precios son los mismos hasta la constante multiplicativa: para alguna constante . Esto significa que en ambos equilibrios, todos los agentes tienen exactamente el mismo presupuesto (pueden permitirse exactamente las mismas cestas). En equilibrio, la utilidad de cada agente es la utilidad máxima de una cesta del conjunto presupuestario; si el conjunto de presupuesto es el mismo, también lo será la utilidad máxima en ese conjunto. ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}=C\cdot {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle C}$

b. Los vectores de precios no son proporcionales. Esto significa que el precio de algunos bienes cambió más que otros. Defina el mayor aumento de precio como:

${\displaystyle M:=\max _{i}{q_{i}/p_{i}}}$

y defina los bienes con mayor aumento de precio como aquellos bienes que experimentaron el cambio de precio máximo (este debe ser un subconjunto adecuado de todos los bienes ya que los vectores de precios no son proporcionales):

${\displaystyle H:=\{i|q_{i}/p_{i}=M\}}$

y defina a los tenedores de mayor aumento de precios como aquellos comerciantes que poseen uno o más de esos bienes de cambio de precio máximo en Equilibrio Y:

${\displaystyle S:=\{A|y_{A,i}>0{\text{ for some }}i\in H\}}$

En equilibrio, los agentes poseen sólo bienes cuya relación utilidad/precio es débilmente máxima. Entonces, para todos los agentes en , la relación utilidad/precio de todos los bienes en es débilmente máxima bajo el vector de precios . Dado que los bienes experimentaron el mayor aumento de precios, cuando el vector de precios es su relación utilidad/precio es fuertemente máxima. Por lo tanto, en el Equilibrio X, todos los agentes en posesión sólo tienen bienes de . En equilibrio X, alguien debe poseer bienes que no están en ; por lo tanto, debe ser un subconjunto adecuado de los agentes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

Entonces, en el equilibrio X, los agentes poseen sólo bienes, y en el equilibrio Y, los agentes poseen todos los bienes. Esto nos permite hacer algunos cálculos presupuestarios: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

Por un lado, en equilibrio X con precio , los agentes gastan todo su presupuesto en bienes, entonces: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\leq \sum _{i\in H}{p_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

(¿Dónde está la dotación inicial total del bien ?). ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$

Por otro lado, en equilibrio Y con precio , los agentes pueden adquirir todos los bienes, entonces: ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\geq \sum _{i\in H}{q_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

La combinación de estas ecuaciones lleva a la conclusión de que, en ambos equilibrios, los agentes sólo comercian entre sí: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{y_{A}}=\sum _{A\in S}{x_{A}}=\sum _{A\in S}{e_{A}}}$.

Por lo tanto, los agentes no solo comercian entre sí. Esto significa que el equilibrio X se compone de dos equilibrios: uno que involucra sólo agentes y bienes, y el otro que involucra sólo no agentes y no bienes. Lo mismo ocurre con el agente Y. Dado que es un subconjunto adecuado de los agentes, se puede invocar el supuesto de inducción y demostrar el teorema. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

Calcular el equilibrio competitivo

Eaves ^[3] presentó un algoritmo para encontrar un equilibrio competitivo en un número finito de pasos, cuando dicho equilibrio existe.

Conceptos relacionados

Las funciones de utilidad lineales son un pequeño subconjunto de funciones de utilidad cuasilineales .

Los bienes con utilidades lineales son un caso especial de bienes sustitutos .

Supongamos que el conjunto de bienes no es finito sino continuo. Por ejemplo, el producto básico es un recurso heterogéneo, como la tierra. Entonces, las funciones de utilidad no son funciones de un número finito de variables, sino más bien funciones de conjunto definidas en subconjuntos de Borel del terreno. La generalización natural de una función de utilidad lineal a ese modelo es una función de conjunto aditiva . Este es el caso común en la teoría del corte justo del pastel . El teorema de Weller proporciona una extensión del resultado de Gale a este escenario .

Bajo ciertas condiciones, una relación de preferencia ordinal puede representarse mediante una función de utilidad lineal y continua. ^[4]

Referencias

1. Gale, David (1976). "El modelo de intercambio lineal". Revista de Economía Matemática . 3 (2): 205–209. doi :10.1016/0304-4068(76)90029-x.
2. Varian, recursos humanos (1974). "Equidad, envidia y eficiencia" (PDF) . Revista de teoría económica . 9 : 63–91. doi :10.1016/0022-0531(74)90075-1. hdl : 1721.1/63490 .
3. Eaves, B. Curtis (1976). "Un algoritmo finito para el modelo de intercambio lineal" (PDF) . Revista de Economía Matemática . 3 (2): 197–203. doi :10.1016/0304-4068(76)90028-8.
4. Candeal-Haro, Juan Carlos; Induráin-Eraso, Esteban (1995). "Una nota sobre la utilidad lineal". Teoría económica . 6 (3): 519. doi :10.1007/bf01211791.
5. Jaffray, Jean-Yves (1989). "Teoría de la utilidad lineal para funciones de creencias". Cartas de investigación operativa . 8 (2): 107–112. doi :10.1016/0167-6377(89)90010-2.