Función de transmisión

Función para flujos incompresibles libres de divergencia en dos dimensiones

Líneas de corriente : líneas con un valor constante de la función de corriente, para el flujo potencial incompresible alrededor de un cilindro circular en un flujo uniforme.

En dinámica de fluidos se definen dos tipos de funciones de corriente :

• La función de corriente bidimensional (o de Lagrange), introducida por Joseph Louis Lagrange en 1781, ^[1] se define para flujos bidimensionales incompresibles ( sin divergencia ) .
• La función de corriente de Stokes , llamada así en honor a George Gabriel Stokes , ^[2] se define para flujos tridimensionales incompresibles con axisimetría .

Las propiedades de las funciones de flujo las hacen útiles para analizar e ilustrar gráficamente los flujos.

El resto de este artículo describe la función de flujo bidimensional.

Función de flujo bidimensional

Supuestos

La función de flujo bidimensional se basa en los siguientes supuestos:

• El dominio del espacio es tridimensional.
• El campo de flujo se puede describir como un flujo plano bidimensional, con vector de velocidad

${\displaystyle \quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y,t)\\v(x,y,t)\\0\end{bmatrix}}.}$

• La velocidad satisface la ecuación de continuidad para flujo incompresible:

${\displaystyle \quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Aunque en principio la función de flujo no requiere el uso de un sistema de coordenadas particular, por conveniencia la descripción presentada aquí utiliza un sistema de coordenadas cartesianas de mano derecha con coordenadas . ${\displaystyle (x,y,z)}$

Derivación

La superficie de prueba

Consideremos dos puntos y en el plano, y una curva , también en el plano, que los conecta. Entonces, cada punto de la curva tiene coordenadas . Sea . la longitud total de la curva . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle L}$

Supongamos que se crea una superficie con forma de cinta al extender la curva hacia arriba hasta el plano horizontal , donde es el espesor del flujo. Entonces la superficie tiene longitud , ancho y área . Llamemos a esto la superficie de prueba . ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle z=b}$ ${\displaystyle (b>0)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\,L}$

Flujo a través de la superficie de prueba

El flujo de volumen a través de la superficie de prueba que conecta los puntos y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P.}$

El flujo volumétrico total a través de la superficie de prueba es

${\displaystyle Q(x,y,t)=\int _{0}^{b}\int _{0}^{L}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} z}$

donde es un parámetro de longitud de arco definido en la curva , con en el punto y en el punto . Aquí está el vector unitario perpendicular a la superficie de prueba, es decir, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s=L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {n} \,\mathrm {d} s=-R\,\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\mathrm {d} y\\-\mathrm {d} x\\0\end{bmatrix}}}$

donde es la matriz de rotación correspondiente a una rotación en sentido antihorario alrededor del eje positivo : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle R=R_{z}(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

El integrando en la expresión para es independiente de , por lo que la integral externa se puede evaluar para obtener ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Q(x,y,t)=b\,\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}$

Definición clásica

Lamb y Batchelor definen la función de flujo de la siguiente manera. ^[3] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}$

Usando la expresión derivada anteriormente para el flujo volumétrico total, , esto se puede escribir como ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \psi (x,y,t)={\frac {Q(x,y,t)}{b}}}$.

En palabras, la función de corriente es el flujo volumétrico a través de la superficie de prueba por unidad de espesor, donde el espesor se mide perpendicularmente al plano de flujo. ${\displaystyle \psi }$

El punto es un punto de referencia que define dónde la función de flujo es idénticamente cero. Su posición se elige de manera más o menos arbitraria y, una vez elegida, generalmente permanece fija. ${\displaystyle A}$

Un desplazamiento infinitesimal en la posición de un punto da como resultado el siguiente cambio de la función de flujo: ${\displaystyle \mathrm {d} P=(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathrm {d} \psi =u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x}$.

Del diferencial exacto

${\displaystyle \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y,}$

Por lo tanto, los componentes de la velocidad del flujo en relación con la función de corriente deben ser ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Obsérvese que la función de flujo es lineal en la velocidad. En consecuencia, si se superponen dos campos de flujo incompresibles, la función de flujo del campo de flujo resultante es la suma algebraica de las funciones de flujo de los dos campos originales.

Efecto del cambio de posición del punto de referencia

Consideremos un cambio en la posición del punto de referencia, digamos de a . Denotemos la función de flujo relativa al punto de referencia cambiado : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle A'}$

${\displaystyle \psi '(x,y,t)=\int _{A'}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right).}$

Entonces la función de flujo se desplaza por

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi (t)&=\psi '(x,y,t)-\psi (x,y,t)\\&=\int _{A'}^{A}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right),\end{aligned}}}$

lo que implica lo siguiente:

• Un cambio en la posición del punto de referencia agrega efectivamente una constante (para un flujo constante) o una función únicamente del tiempo (para un flujo no constante) a la función de corriente en cada punto . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P}$
• El desplazamiento de la función de corriente, , es igual al flujo volumétrico total, por unidad de espesor, a través de la superficie que se extiende de un punto a otro . En consecuencia, si y solo si y se encuentran en la misma línea de corriente. ${\displaystyle \Delta \psi }$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta \psi =0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$

En términos de rotación vectorial

La velocidad se puede expresar en términos de la función de corriente como ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {u} =-R\,\nabla \psi }$

donde es la matriz de rotación correspondiente a una rotación en sentido antihorario sobre el eje positivo . Resolviendo la ecuación anterior para se obtiene la forma equivalente ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

${\displaystyle \nabla \psi =R\,\mathbf {u} .}$

De estas formas se desprende inmediatamente que los vectores y son ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

• perpendicular: ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$
• de la misma longitud: . ${\displaystyle |\mathbf {u} |=|\nabla \psi |}$

Además, la compacidad de la forma de rotación facilita las manipulaciones (por ejemplo, ver Condición de existencia).

En términos de potencial vectorial y superficies de corriente

Utilizando la función de corriente, se puede expresar la velocidad en términos del potencial vectorial. ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

donde , y es el vector unitario que apunta en la dirección positiva. Esto también se puede escribir como el producto vectorial ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\psi \,\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \mathbf {z} }$

donde hemos utilizado la identidad del cálculo vectorial

${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {z} \right)=\psi \nabla \times \mathbf {z} +\nabla \psi \times \mathbf {z} .}$

Observando que y definiendo , se puede expresar el campo de velocidad como ${\displaystyle \mathbf {z} =\nabla z}$ ${\displaystyle \phi =z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \nabla \phi .}$

Esta forma muestra que las superficies de nivel de y las superficies de nivel de (es decir, planos horizontales) forman un sistema de superficies de corriente ortogonales . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle z}$

Definición alternativa (signo opuesto)

Una definición alternativa, utilizada a veces en meteorología y oceanografía , es

${\displaystyle \psi '=-\psi .}$

Relación con la vorticidad

En el flujo plano bidimensional, el vector de vorticidad , definido como , se reduce a , donde ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \omega \,\mathbf {z} }$

${\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi }$

o

${\displaystyle \omega =+\nabla ^{2}\psi '}$

Éstas son formas de la ecuación de Poisson .

Relación con las líneas de corriente

Consideremos un flujo plano bidimensional con dos puntos infinitesimalmente cercanos y que se encuentran en el mismo plano horizontal. A partir del cálculo, la diferencia infinitesimal correspondiente entre los valores de la función de corriente en los dos puntos es ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ ${\displaystyle P'=(x+dx,y+dy,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \psi (x,y,t)&=\psi (x+\mathrm {d} x,y+\mathrm {d} y,t)-\psi (x,y,t)\\&={\partial \psi \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \psi \over \partial y}\mathrm {d} y\\&=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

Supongamos que toma el mismo valor, digamos , en los dos puntos y . Entonces esto da ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$

${\displaystyle 0=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,}$

lo que implica que el vector es normal a la superficie . Porque en todas partes (por ejemplo, ver En términos de rotación vectorial), cada línea de corriente corresponde a la intersección de una superficie de corriente particular y un plano horizontal particular. En consecuencia, en tres dimensiones, la identificación inequívoca de cualquier línea de corriente particular requiere que se especifiquen los valores correspondientes tanto de la función de corriente como de la elevación ( coordenada). ${\displaystyle \nabla \psi }$ ${\displaystyle \psi =C}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$ ${\displaystyle z}$

El desarrollo aquí supone que el dominio espacial es tridimensional. El concepto de función de corriente también se puede desarrollar en el contexto de un dominio espacial bidimensional. En ese caso, los conjuntos de niveles de la función de corriente son curvas en lugar de superficies, y las líneas de corriente son curvas de nivel de la función de corriente. En consecuencia, en dos dimensiones, la identificación inequívoca de cualquier línea de corriente en particular requiere que se especifique únicamente el valor correspondiente de la función de corriente.

Condición de existencia

Es sencillo demostrar que para el flujo plano bidimensional se satisface la ecuación de divergencia-rizo. ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,\mathbf {z} =-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$

donde es la matriz de rotación correspondiente a una rotación en sentido antihorario alrededor del eje positivo. Esta ecuación se cumple independientemente de que el flujo sea o no incompresible. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

Si el flujo es incompresible (es decir, ), entonces la ecuación de divergencia-rizo da ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$.

Entonces, por el teorema de Stokes, la integral de línea de sobre cada bucle cerrado se desvanece. ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.}$

Por lo tanto, la integral de línea de es independiente de la trayectoria. Finalmente, por el inverso del teorema del gradiente , existe una función escalar tal que ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi (x,y,t)}$

${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$.

Aquí se representa la función de flujo. ${\displaystyle \psi }$

Por el contrario, si existe la función de corriente, entonces . Sustituyendo este resultado en la ecuación de divergencia-rizo se obtiene (es decir, el flujo es incompresible). ${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

En resumen, la función de corriente para el flujo plano bidimensional existe si y solo si el flujo es incompresible.

Flujo potencial

En el caso de un flujo potencial bidimensional , las líneas de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales . En conjunto con el potencial de velocidad , la función de corriente se puede utilizar para derivar un potencial complejo . En otras palabras, la función de corriente representa la parte solenoidal de una descomposición de Helmholtz bidimensional , mientras que el potencial de velocidad representa la parte irrotacional .

Resumen de propiedades

Las propiedades básicas de las funciones de flujo bidimensionales se pueden resumir de la siguiente manera:

1. Los componentes x e y de la velocidad del flujo en un punto dado están dados por las derivadas parciales de la función de corriente en ese punto.
2. El valor de la función de corriente es constante a lo largo de cada línea de corriente (las líneas de corriente representan las trayectorias de las partículas en flujo constante). Es decir, en dos dimensiones, cada línea de corriente es una curva de nivel de la función de corriente.
3. La diferencia entre los valores de la función de flujo en dos puntos cualesquiera da el flujo volumétrico a través de la superficie vertical que conecta los dos puntos.

Función de flujo bidimensional para flujos con densidad invariante en el tiempo

Si la densidad del fluido es invariante en el tiempo en todos los puntos dentro del flujo, es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$,

entonces la ecuación de continuidad (por ejemplo, ver Ecuación de continuidad#Dinámica de fluidos ) para el flujo plano bidimensional se convierte en

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} )=0.}$

En este caso la función de flujo se define de tal manera que ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \rho \,u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad \rho \,v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

y representa el flujo de masa (en lugar del flujo volumétrico) por unidad de espesor a través de la superficie de prueba.

Véase también

• Flujo elemental

Referencias

Citas

1. Lagrange, J.-L. (1868), "Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (en: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1781)", Oevres de Lagrange, vol. Tomo IV, págs. 695–748
2. Stokes, GG (1842), "Sobre el movimiento constante de fluidos incompresibles", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 7 : 439–453, Bibcode :1848TCaPS...7..439S
   Reimpreso en: Stokes, GG (1880), Mathematical and Physical Papers, Volumen I, Cambridge University Press, págs. 1–16
3. Lamb (1932, págs. 62-63) y Batchelor (1967, págs. 75-79)

Fuentes

• Batchelor, GK (1967), Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Lamb, H. (1932), Hidrodinámica (6.ª ed.), Cambridge University Press, republicado por Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
• Massey, BS; Ward-Smith, J. (1998), Mecánica de fluidos (7.ª ed.), Reino Unido: Nelson Thornes
• White, FM (2003), Mecánica de fluidos (5.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill
• Gamelin, TW (2001), Análisis complejo , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-95093-1
• "Función de corriente", Glosario de meteorología de la AMS , Sociedad Meteorológica Estadounidense , consultado el 30 de enero de 2014

Enlaces externos

• Aplicación web interactiva Joukowsky Transform