Función de producción Cobb-Douglas

Fórmula macroeconómica que describe la productividad

Superficie de producción Cobb-Douglas de rejilla con isocuantas

Una función de producción Cobb-Douglas de dos entradas con isocuantas

En economía y econometría , la función de producción Cobb-Douglas es una forma funcional particular de la función de producción , ampliamente utilizada para representar la relación tecnológica entre las cantidades de dos o más insumos (particularmente capital físico y trabajo) y la cantidad de producción que puede ser producido por esos insumos. La forma Cobb-Douglas fue desarrollada y probada con evidencia estadística por Charles Cobb y Paul Douglas entre 1927 y 1947; ^[1] según Douglas, la forma funcional en sí fue desarrollada anteriormente por Philip Wicksteed . ^[2]

Formulación

En su forma más estándar para la producción de un solo bien con dos factores, la función viene dada por:

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\beta }K^{\alpha }}$

dónde:

• Y = producción total (el valor real de todos los bienes producidos en un año o 365,25 días)
• L = insumo de mano de obra (horas-persona trabajadas en un año o 365,25 días)
• K = insumo de capital (una medida de toda la maquinaria, equipo y edificios; el valor del insumo de capital dividido por el precio del capital) ^{[ se necesita aclaración ]}
• A = productividad total de los factores
• ${\displaystyle 0<\alpha <1}$y son las elasticidades de producción del capital y del trabajo, respectivamente. Estos valores son constantes determinadas por la tecnología disponible. ${\displaystyle 0<\beta <1}$

El capital y el trabajo son los dos "factores de producción" de la función de producción Cobb-Douglas.

Historia

Paul Douglas explicó que su primera formulación de la función de producción Cobb-Douglas se desarrolló en 1927; Cuando buscaba una forma funcional para relacionar las estimaciones que había calculado para los trabajadores y el capital, habló con el matemático y colega Charles Cobb , quien sugirió una función de la forma Y = AL ^β K ^{1− β} , utilizada anteriormente por Knut Wicksell , Philip Wicksteed , y Léon Walras , aunque Douglas sólo reconoce a Wicksteed y Walras por sus contribuciones. ^[3] No mucho después de la muerte de Knut Wicksell en 1926, Paul Douglas y Charles Cobb implementaron la función Cobb-Douglas en su trabajo que cubría la forma temática de la teoría del productor por primera vez. ^[4] Al estimar esto usando mínimos cuadrados , obtuvo un resultado para el exponente del trabajo de 0,75, que posteriormente fue confirmado por la Oficina Nacional de Investigación Económica como 0,741. Trabajos posteriores en la década de 1940 los llevaron a permitir que los exponentes de K y L variaran, lo que resultó en estimaciones que posteriormente demostraron estar muy cerca de la medida mejorada de productividad desarrollada en ese momento. ^[5]

Una crítica importante en ese momento fue que las estimaciones de la función de producción, aunque aparentemente precisas, se basaban en datos tan escasos que era difícil darles mucha credibilidad. Douglas comentó: "Debo admitir que esta crítica me desanimó y pensé en abandonar el esfuerzo, pero hubo algo que me dijo que debía aguantar". ^[5] El gran avance se produjo al utilizar datos del censo estadounidense , que eran transversales y proporcionaban una gran cantidad de observaciones. Douglas presentó los resultados de estos hallazgos, junto con los de otros países, en su discurso de 1947 como presidente de la Asociación Económica Estadounidense . Poco después, Douglas se dedicó a la política y sufrió problemas de salud, lo que provocó poco desarrollo adicional por su parte. Sin embargo, dos décadas después, su función de producción fue ampliamente utilizada, siendo adoptada por economistas como Paul Samuelson y Robert Solow . ^[5] La función de producción Cobb-Douglas es especialmente notable por ser la primera vez que se desarrolló, estimó y luego presentó a la profesión para su análisis una función de producción agregada o para toda la economía; Marcó un cambio histórico en la forma en que los economistas abordaban la macroeconomía desde una perspectiva microeconómica. ^[6]

Positividad de los productos marginales

El producto marginal de un factor de producción es el cambio en la producción cuando ese factor de producción cambia, manteniendo constantes todos los demás factores de producción, así como la productividad total del factor.

El producto marginal del capital, corresponde a la primera derivada de la función de producción respecto del capital: ${\displaystyle MPK}$

${\displaystyle MPK={\dfrac {\partial Y}{\partial K}}=\alpha AL^{\beta }K^{\alpha -1}=\alpha {\dfrac {AL^{\beta }K^{\alpha }}{K}}=\alpha {\dfrac {Y}{K}}}$

Porque (y también) encontramos que el producto marginal del capital es siempre positivo; es decir, aumentar el capital conduce a un aumento de la producción. ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle Y>0,K>0}$

Ejemplo

Supongamos (unidad de medidas omitida por brevedad). ${\displaystyle A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5}$

La producción es . ${\displaystyle Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$}$

El aumento de capital conduce a una producción de , un aumento de . ${\displaystyle K=37}$ ${\displaystyle \approx 91.24\$}$ ${\displaystyle 1.24\$}$

También encontramos que aumentar la productividad total de los factores aumenta el producto marginal del capital. ${\displaystyle A}$

Un razonamiento análogo se aplica al trabajo.

Ley de los rendimientos decrecientes

Tomando la derivada del producto marginal del capital con respecto al capital (es decir, tomando la segunda derivada de la función de producción con respecto al capital), tenemos:

${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial K}}={\dfrac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}={\dfrac {\partial }{\partial K}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=AL^{\beta }\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}=\alpha (\alpha -1)AL^{\beta }{\dfrac {K^{\alpha }}{K^{2}}}=\alpha (\alpha -1){\dfrac {Y}{K^{2}}}}$

Porque , entonces y así . ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \alpha -1<0}$ ${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial K}}<0}$

Por tanto, esta función satisface la ley de los "rendimientos decrecientes"; es decir, el producto marginal del capital, aunque siempre positivo, está disminuyendo. A medida que aumenta el capital (manteniendo constantes la productividad laboral y la productividad total de los factores), la producción aumenta pero a un ritmo decreciente.

Ejemplo

Supongamos (unidad de medidas omitida por brevedad). ${\displaystyle A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5}$

La producción es . ${\displaystyle Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$}$

Aumentar el capital en 10 a conduce a una producción de , un aumento de respecto al caso. ${\displaystyle K=46}$ ${\displaystyle \approx 101.73\$}$ ${\displaystyle 11.73\$}$ ${\displaystyle K=36}$

Aumentar aún más el capital en 10 a conduce a una producción de , un aumento de respecto al caso. ${\displaystyle K=56}$ ${\displaystyle \approx 112.25\$}$ ${\displaystyle 10.52\$}$ ${\displaystyle K=46}$

Un razonamiento similar se aplica al trabajo.

Derivadas cruzadas

Podemos estudiar qué sucede con el producto marginal del capital cuando el trabajo aumenta tomando la derivada parcial del producto marginal del capital con respecto al trabajo, es decir, la derivada cruzada de la producción con respecto al capital y el trabajo:

${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}={\dfrac {\partial ^{2}Y}{\partial K\partial L}}={\dfrac {\partial }{\partial L}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=A\beta L^{\beta -1}\alpha K^{\alpha -1}=A\alpha \beta {\dfrac {L^{\beta }K^{\alpha }}{LK}}=\alpha \beta {\dfrac {Y}{LK}}}$

Desde entonces , un aumento del trabajo aumenta el producto marginal del capital. ${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0}$

Ejemplo

Supongamos (unidad de medidas omitida por brevedad). ${\displaystyle A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5}$

La producción es . ${\displaystyle Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$}$

Aumentar el capital en 10 a conduce a una producción de , un aumento de . ${\displaystyle K=46}$ ${\displaystyle \approx 101.73\$}$ ${\displaystyle 11.73\$}$

Ahora supongamos (unidad de medidas omitida por brevedad). ${\displaystyle A=3,L=36,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5}$

La producción es . ${\displaystyle 108\$}$

Aumentar el capital en 10 a conduce a una producción de , un aumento de ${\displaystyle K=46}$ ${\displaystyle \approx 122.08\$}$ ${\displaystyle 14.08\$}$

Retornos a escala

La elasticidad del producto mide la capacidad de respuesta del producto a un cambio en los niveles de mano de obra o de capital utilizados en la producción, ceteris paribus . Por ejemplo, si α = 0,45 , un aumento del 1% en el uso de capital conduciría a aproximadamente un aumento del 0,45% en la producción.

A veces el término tiene un significado más restringido, requiriendo que la función muestre rendimientos constantes a escala , lo que significa que aumentar el capital K y el trabajo L en un factor k también aumenta la producción Y en el mismo factor, es decir ,. Esto es válido si . ${\displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$ ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

Prueba

${\displaystyle Y(kL,kK)=A(kL)^{\beta }(kK)^{\alpha }=Ak^{\beta }L^{\beta }k^{\alpha }K^{\alpha }=Ak^{\alpha +\beta }L^{\beta }K^{\alpha }=k^{\alpha +\beta }Y(L,K)}$

Conectando : ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

${\displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$

Si , entonces los rendimientos a escala son decrecientes, lo que significa que un aumento del capital K y del trabajo L por un factor k producirá un aumento en la producción Y menor que un factor k , es decir . ^[7] ${\displaystyle \alpha +\beta <1}$ ${\displaystyle Y(kL,kK)<kY(L,K)}$

Si , entonces los rendimientos a escala son crecientes, lo que significa que un aumento del capital K y del trabajo L por un factor k produce un aumento de la producción Y mayor que un factor k , es decir, . ^[7] ${\displaystyle \alpha +\beta >1}$ ${\displaystyle Y(kL,kK)>kY(L,K)}$

Remuneración en competencia perfecta

En competencia perfecta , los factores de producción se remuneran según su producto marginal total.

El producto marginal del capital viene dado por: . Esta es la remuneración por cada unidad de capital. Para conocer la remuneración del capital total, multiplicamos esta cantidad por : ${\displaystyle MPK=\alpha {\dfrac {Y}{K}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\text{Capital earnings}}=K\cdot MPK=\alpha Y}$.

Por tanto, una parte de la producción remunerará el capital. ${\displaystyle \alpha }$

Mediante un razonamiento similar, podemos descubrir que una parte de la producción remunerará el trabajo. ${\displaystyle \beta }$

Esas participaciones suman el 100% de la producción sólo si . ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

Forma generalizada

En su forma generalizada, la función Cobb-Douglas modela más de dos bienes. La función Cobb-Douglas se puede escribir como ^[8]

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

dónde

• A es un parámetro de eficiencia
• n es el número total de variables de entrada (bienes)
• x ₁ , ..., x _n son las cantidades (no negativas) de bien consumidas, producidas, etc.
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$es un parámetro de elasticidad para el bien i

Críticas

La función ha sido criticada por su falta de fundamento. Cobb y Douglas estuvieron influenciados por evidencia estadística que parecía mostrar que las participaciones de trabajo y capital en la producción total se mantuvieron constantes a lo largo del tiempo en los países desarrollados; explicaron esto mediante una regresión de mínimos cuadrados de ajuste estadístico de su función de producción. Actualmente se acepta ampliamente que la participación laboral está disminuyendo en las economías industrializadas. ^{[9] [10]} La función de producción contiene un supuesto principal que puede no siempre proporcionar la representación más precisa de las capacidades productivas y las eficiencias de la oferta de un país. Este supuesto es una "participación constante de la mano de obra en la producción", que puede no ser efectivo cuando se aplica a casos de países cuyos mercados laborales están creciendo a tasas significativas. ^[11] Otro problema dentro de la composición fundamental de la función de producción Cobb-Douglas es la presencia de sesgo de ecuación simultánea. Cuando se supone competencia, el sesgo de ecuación simultánea tiene impacto en todos los tipos de funciones que involucran decisiones firmes, incluida la función Cobb-Douglas. En algunos casos este sesgo de ecuación simultánea no aparece. Sin embargo, es evidente cuando se utilizan aproximaciones asintóticas de mínimos cuadrados. ^[12]

La función de producción Cobb-Douglas no se desarrolló sobre la base de ningún conocimiento de ingeniería, tecnología o gestión del proceso de producción ^{[ cita necesaria ]} . Este razonamiento puede ser cierto dada la definición del término Capital. Las horas de trabajo y el capital necesitan una mejor definición. Si el capital se define como un edificio, la mano de obra ya está incluida en el desarrollo de ese edificio. Un edificio se compone de mercancías, trabajo y riesgos y condiciones generales. En cambio, se desarrolló porque tenía características matemáticas atractivas ^{[ cita necesaria ]} , como los rendimientos marginales decrecientes de cualquiera de los factores de producción y la propiedad de que las proporciones óptimas del gasto en cualquier insumo dado de una empresa que opera una tecnología Cobb-Douglas son constantes. Al principio no existía ninguna base de servicios públicos para ello. En la era moderna, algunos economistas intentan construir modelos a partir de agentes individuales que actúan, en lugar de imponer una forma funcional a toda una economía ^{[ cita necesaria ]} . La función de producción Cobb-Douglas, si se define adecuadamente, puede aplicarse desde un nivel microeconómico hasta un nivel macroeconómico.

Sin embargo, muchos autores modernos ^{[ ¿quién? ]} han desarrollado modelos que proporcionan funciones de producción Cobb-Douglas con base microeconómica , incluidos muchos modelos neokeynesianos . ^[13] Sin embargo, es un error matemático suponer que sólo porque la función Cobb-Douglas se aplica en el nivel microeconómico, también se aplica siempre en el nivel macroeconómico . De manera similar, no es necesariamente cierto que se aplique un Cobb-Douglas macro a nivel desagregado. En Houthakker (1955) se deriva una microfundamentación temprana de la tecnología agregada Cobb-Douglas basada en actividades lineales. ^[14] La función de producción Cobb-Douglas es inconsistente con las estimaciones empíricas modernas de la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo, que sugieren que el capital y el trabajo son complementos brutos. Un metaanálisis de 3186 estimaciones de 2021 concluye que "el peso de la evidencia acumulada en la literatura empírica rechaza enfáticamente la especificación Cobb-Douglas". ^[15]

Servicios públicos Cobb-Douglas

La función Cobb-Douglas se utiliza a menudo como función de utilidad . ^{[16] [8]} La utilidad es función de las cantidades de bienes consumidos: ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

Las funciones de utilidad representan preferencias ordinales y no tienen unidades naturales, a diferencia de las funciones de producción. Como resultado, una transformación monótona de una función de utilidad representa las mismas preferencias. A diferencia de una función de producción Cobb-Douglas, donde la suma de los exponentes determina el grado de economías de escala , la suma se puede normalizar a uno para una función de utilidad porque la normalización es una transformación monótona de la función de utilidad original. Por lo tanto, definamos y , entonces , y escribamos la función de utilidad como: ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

El consumidor maximiza la utilidad sujeto a la restricción presupuestaria de que el costo de los bienes es menor que su riqueza . Denotando los precios de los bienes, resuelve: ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

Resulta que la solución para la demanda de Cobb-Douglas es:

${\displaystyle \forall j:\qquad x_{j}^{\star }={\frac {w\alpha _{j}}{p_{j}}}}$

Desde entonces , el consumidor gasta una fracción de su riqueza en el bien j . Tenga en cuenta que esta es la solución para cualquiera de los dos casos , ya que las mismas preferencias generan la misma demanda. ${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}}$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$

La función de utilidad indirecta se puede calcular sustituyendo las demandas en la función de utilidad. Definimos la constante y obtenemos: ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle K=\Pi _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\Pi _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \Pi _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

que es un caso especial de la forma polar de Gorman . La función de gasto es la inversa de la función de utilidad indirecta: ^{[17] : 112}

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

Varias representaciones de la función de producción.

La forma de la función Cobb-Douglas se puede estimar como una relación lineal utilizando la siguiente expresión:

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

dónde

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}}$

El modelo también se puede escribir como

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

Como se señaló, la función Cobb-Douglas común utilizada en el modelado macroeconómico es

${\displaystyle Y=K^{\alpha }L^{\beta }}$

donde K es capital y L es trabajo. Cuando los exponentes del modelo suman uno, la función de producción es homogénea de primer orden , lo que implica rendimientos de escala constantes; es decir, si todos los insumos se escalan mediante un factor común mayor que cero, la producción se escalará según el mismo factor.

Relación con la función de producción CES

La función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES) (en el caso de dos factores) es

${\displaystyle Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

en el que el caso límite γ = 0 corresponde a una función Cobb-Douglas, con rendimientos de escala constantes. ^[18] ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },}$

Para ver esto, el log de la función CES:

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)}$

Se puede llevar al límite aplicando la regla de L'Hôpital :

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$

Función de producción translog

La función de producción translogarítmica es una aproximación de la función CES mediante un polinomio de Taylor de segundo orden en la variable aproximadamente , es decir, el caso Cobb-Douglas. ^{[19] [20]} El nombre translog significa "logarítmico trascendental". A menudo se utiliza en econometría por el hecho de que es lineal en los parámetros, lo que significa que se podrían utilizar mínimos cuadrados ordinarios si se pudiera suponer que los insumos son exógenos . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =0}$

En el caso de dos factores anterior, la función de producción translog es

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}}$

donde , , , y se definen apropiadamente. En el caso de tres factores, la función de producción translog es: ${\displaystyle a_{K}}$ ${\displaystyle a_{L}}$ ${\displaystyle b_{KK}}$ ${\displaystyle b_{LL}}$ ${\displaystyle b_{KL}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}}$

donde = productividad total de los factores, = mano de obra, = capital, = materiales y suministros, y = producción. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$

Ver también

• Función de producción de Leontief
• Frontera de posibilidades de producción
• Teoría de la producción

Referencias

1. Cobb, CW; Douglas, PH (1928). "Una teoría de la producción" (PDF) . Revista económica estadounidense . 18 (Suplemento): 139–165. JSTOR  1811556 . Consultado el 26 de septiembre de 2016 .
2. Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xavier (2004). Crecimiento económico (Segunda ed.). La prensa del MIT. pag. 29, nota al pie. 7.ISBN _ 0-262-02553-1.
3. Marrón, Murray (2017). "Funciones Cobb-Douglas". El Diccionario de Economía New Palgrave . Palgrave Macmillan Reino Unido. págs. 1–4. doi :10.1057/978-1-349-95121-5_480-2. ISBN 978-1-349-95121-5.
4. Nechyba, Thomas J. (2017). Microeconomía: un enfoque intuitivo con el cálculo (2ª ed.). Boston, MA: Aprendizaje Cengage. pag. 126.ISBN _ 978-1-305-65046-6.
5. Douglas, Paul H. (octubre de 1976). "La función de producción Cobb-Douglas una vez más: su historia, sus pruebas y algunos valores empíricos nuevos". Revista de Economía Política . 84 (5): 903–916. doi :10.1086/260489. S2CID  154435697.
6. Felipe, Jesús; Adams, F. Gerard (2005). "La estimación de la función Cobb-Douglas: una visión retrospectiva". Revista Económica del Este . 31 (3): 427–445. JSTOR  40326423.
7. Jacques, Ian (2018). Matemáticas para la Economía y la Empresa (Novena ed.). Harlow, Reino Unido: Pearson Education. pag. 168.ISBN _ 9781292191713.
8. Brown, Murray (18 de mayo de 2016). El Diccionario de Economía New Palgrave. Saltador. ISBN 9781349588022.
9. Elsby, Michael; Hobijn, Bart; Sahin, Aysegül (1 de septiembre de 2013). La disminución de la participación laboral en Estados Unidos (Informe). Banco de la Reserva Federal de San Francisco.
10. Aum, Sangmin; Shin, Yongseok. "¿Por qué está disminuyendo la participación laboral?". investigación.stlouisfed.org . Consultado el 9 de agosto de 2023 .
11. Hájková, Dana; Hurník, Jaromír (octubre de 2006). "Función de producción Cobb-Douglas: el caso de una economía convergente". Revista Checa de Economía y Finanzas (Financiar a un usuario) . 57 (9–10): 465–476 . Consultado el 25 de abril de 2021 .
12. Hoch, Irving (octubre de 1958). "Sesgo de ecuación simultánea en el contexto de la función de producción Cobb-Douglas". Econométrica . 26 (4): 566–578. doi :10.2307/1907517. JSTOR  1907517.
13. Walsh, Carl (2003). Teoría y política monetaria (2ª ed.). Cambridge: MIT Press . ISBN 9780262232319.
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15. Gechert, Havranek, Irsova, Kolcunova (2021), "Medición de la sustitución capital-trabajo: la importancia de la elección de métodos y el sesgo de publicación", Review of Economic Dynamics , 45 : 55–82, doi :10.1016/j.red.2021.05. 003, S2CID  236400765{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
16. Brenes, Adrián (2011). Función de utilidad Cobb-Douglas. Archivado desde el original el 3 de octubre de 2014 . Consultado el 11 de agosto de 2011 .
17. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (Tercera ed.). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
18. Silberberg, Eugenio; Suen, ala (2001). "Elasticidad de sustitución". La estructura de la economía: un análisis matemático (tercera ed.). Boston: Irwin McGraw-Hill. págs. 246–2477. ISBN 0-07-234352-4.
19. Berndt, Ernst R.; Christensen, Laurits R. (1973). "La función Translog y la sustitución de equipos, estructuras y mano de obra en la industria manufacturera estadounidense 1929-1968". Revista de Econometría . 1 (1): 81-113. doi :10.1016/0304-4076(73)90007-9.
20. Wynn, RF; Holden, K. (1974). Introducción al análisis econométrico aplicado . Nueva York: Halsted Press. págs. 62–65. ISBN 0-333-16711-2.

Otras lecturas

• Renshaw, Geoff (2005). Matemáticas para la Economía . Nueva York: Oxford University Press. págs. 516–526. ISBN 0-19-926746-4.

enlaces externos

• Anatomía de las funciones de producción tipo Cobb-Douglas en 3D
• Análisis de Cobb-Douglas como función de utilidad Archivado el 3 de octubre de 2014 en Wayback Machine.
• Solución de forma cerrada para una empresa con una función de producción de N insumos