Cálculo fraccionario

Rama del análisis matemático con aplicaciones fraccionarias de derivadas e integrales

El cálculo fraccionario es una rama del análisis matemático que estudia las distintas posibilidades de definir potencias de números reales o potencias de números complejos del operador de diferenciación . ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$$

y del operador de integración ^{[Nota 1]} ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,}$$

y desarrollar un cálculo para tales operadores que generalice el clásico.

En este contexto, el término potencias se refiere a la aplicación iterativa de un operador lineal a una función , es decir, componer repetidamente consigo mismo, como en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}D^{n}(f)&=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)\\&=\underbrace {D(D(D(\cdots D} _{n}(f)\cdots ))).\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, se puede pedir una interpretación significativa de $${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}$$

como un análogo de la raíz cuadrada funcional para el operador de diferenciación, es decir, una expresión para algún operador lineal que, cuando se aplica dos veces a cualquier función, tendrá el mismo efecto que la diferenciación . De manera más general, se puede considerar la cuestión de definir un operador lineal $${\displaystyle D^{a}}$$

para cada número real de tal manera que, cuando toma un valor entero , coincide con la diferenciación -fold habitual si , y con la -ésima potencia de cuando . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle n<0}$

Una de las motivaciones detrás de la introducción y estudio de este tipo de extensiones del operador de diferenciación es que los conjuntos de potencias de operadores definidos de esta manera son semigrupos continuos con parámetro , de los cuales el semigrupo discreto original de para entero es un subgrupo numerable : dado que los semigrupos continuos tienen una teoría matemática bien desarrollada, se pueden aplicar a otras ramas de las matemáticas. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{D^{a}\mid a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{D^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle n}$

Las ecuaciones diferenciales fraccionarias , también conocidas como ecuaciones diferenciales extraordinarias, ^[1] son ​​una generalización de las ecuaciones diferenciales mediante la aplicación del cálculo fraccionario.

Notas históricas

En matemáticas aplicadas y análisis matemático, una derivada fraccionaria es una derivada de cualquier orden arbitrario, real o complejo. Su primera aparición es en una carta escrita a Guillaume de l'Hôpital por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1695. ^[2]  Casi al mismo tiempo, Leibniz escribió a uno de los hermanos Bernoulli describiendo la similitud entre el teorema del binomio y la regla de Leibniz para la derivada fraccionaria de un producto de dos funciones. ^{[ cita requerida ]} El cálculo fraccionario fue introducido en uno de los primeros artículos de Niels Henrik Abel ^[3] donde se pueden encontrar todos los elementos: la idea de integración y diferenciación de orden fraccionario, la relación mutuamente inversa entre ellas, la comprensión de que la diferenciación e integración de orden fraccionario pueden considerarse como la misma operación generalizada, e incluso la notación unificada para la diferenciación e integración de orden real arbitrario. ^[4] Independientemente, las bases del tema fueron establecidas por Liouville en un artículo de 1832. ^{[5] [6] [7]} El autodidacta Oliver Heaviside introdujo el uso práctico de los operadores diferenciales fraccionarios en el análisis de líneas de transmisión eléctrica alrededor de 1890. ^[8] La teoría y las aplicaciones del cálculo fraccionario se expandieron enormemente durante los siglos XIX y XX, y numerosos contribuyentes han dado diferentes definiciones para las derivadas e integrales fraccionarias. ^[9]

Calcular la integral fraccionaria

Sea f ( x ) una función definida para x > 0 . Forme la integral definida de 0 a x . Llamemos a esto $${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.}$$

Repitiendo este proceso obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,,\end{aligned}}}$$

y esto puede extenderse arbitrariamente.

La fórmula de Cauchy para la integración repetida , es decir, conduce de manera directa a una generalización para n real : usar la función gamma para eliminar la naturaleza discreta de la función factorial nos da un candidato natural para aplicaciones del operador integral fraccionario como $${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$$ $${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$$

De hecho, este es un operador bien definido.

Es sencillo demostrar que el operador J satisface $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Esta relación se llama propiedad de semigrupo de los operadores diferenciales fraccionarios .

Integral fraccionaria de Riemann-Liouville

La forma clásica del cálculo fraccionario viene dada por la integral de Riemann-Liouville , que es esencialmente la que se ha descrito anteriormente. La teoría de la integración fraccionaria para funciones periódicas (que incluye, por lo tanto, la "condición de contorno" de repetirse después de un período) viene dada por la integral de Weyl . Se define en la serie de Fourier y requiere que el coeficiente de Fourier constante se anule (por lo tanto, se aplica a funciones en el círculo unitario cuyas integrales se evalúan como cero). La integral de Riemann-Liouville existe en dos formas, superior e inferior. Considerando el intervalo [ a , b ] , las integrales se definen como $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

Donde el primero es válido para t > a y el segundo es válido para t < b . ^[10]

Se ha sugerido ^[11] que la integral en el eje real positivo (es decir, ) se denominaría más apropiadamente integral de Abel-Riemann, sobre la base de la historia de descubrimiento y uso, y en la misma línea la integral sobre toda la línea real se denominaría integral de Liouville-Weyl. ${\displaystyle a=0}$

Por el contrario, la derivada de Grünwald-Letnikov comienza con la derivada en lugar de la integral.

Integral fraccionaria de Hadamard

La integral fraccionaria de Hadamard fue introducida por Jacques Hadamard ^[12] y se da mediante la siguiente fórmula, $${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

Integral fraccionaria de Atangana-Baleanu (integral fraccionaria AB)

La integral fraccionaria de Atangana-Baleanu de una función continua se define como: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$$

Derivadas fraccionarias

Desafortunadamente, el proceso comparable para el operador derivado D es significativamente más complejo, pero se puede demostrar que D no es conmutativo ni aditivo en general. ^[13]

A diferencia de las derivadas newtonianas clásicas, las derivadas fraccionarias se pueden definir de diversas maneras, y muchas veces no todas conducen al mismo resultado, incluso para funciones suaves. Algunas de ellas se definen mediante una integral fraccionaria. Debido a la incompatibilidad de las definiciones, con frecuencia es necesario ser explícito acerca de qué definición se utiliza.

Derivadas fraccionarias de una gaussiana, interpolando continuamente entre la función y su primera derivada.

Derivada fraccionaria de Riemann-Liouville

La derivada correspondiente se calcula utilizando la regla de Lagrange para operadores diferenciales. Para encontrar la derivada de orden α , se calcula la derivada de orden n de la integral de orden ( n − α ) , donde n es el entero más pequeño mayor que α (es decir, n = ⌈ α ⌉ ). La derivada fraccionaria e integral de Riemann-Liouville tiene múltiples aplicaciones, como en el caso de soluciones a la ecuación en el caso de sistemas múltiples como los sistemas tokamak, y parámetro fraccionario de orden variable. ^{[14] [15]} De manera similar a las definiciones de la integral de Riemann-Liouville, la derivada tiene variantes superiores e inferiores. ^[16] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\end{aligned}}}$$

Derivada fraccionaria de Caputo

Otra opción para calcular derivadas fraccionarias es la derivada fraccionaria de Caputo . Fue introducida por Michele Caputo en su artículo de 1967. ^[17] A diferencia de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, al resolver ecuaciones diferenciales utilizando la definición de Caputo, no es necesario definir las condiciones iniciales de orden fraccionario. La definición de Caputo se ilustra de la siguiente manera, donde nuevamente n = ⌈ α ⌉ : $${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

Existe la derivada fraccionaria de Caputo definida como: que tiene la ventaja de que es cero cuando f ( t ) es constante y su Transformada de Laplace se expresa mediante los valores iniciales de la función y su derivada. Además, existe la derivada fraccionaria de Caputo de orden distribuido definida como $${\displaystyle D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}}$$

donde ϕ ( ν ) es una función de peso y que se utiliza para representar matemáticamente la presencia de múltiples formalismos de memoria.

Derivada fraccionaria de Caputo-Fabrizio

En un artículo de 2015, M. Caputo y M. Fabrizio presentaron una definición de derivada fraccionaria con un núcleo no singular, para una función dada por: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$

donde . ^[18] ${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$

Derivado fraccionario de Atangana-Baleanu

En 2016, Atangana y Baleanu sugirieron operadores diferenciales basados ​​en la función generalizada de Mittag-Leffler . El objetivo era introducir operadores diferenciales fraccionarios con núcleo no singular no local. Sus operadores diferenciales fraccionarios se dan a continuación en sentido de Riemann-Liouville y sentido de Caputo respectivamente. Para una función de dada por ^{[19] [20]} ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Si la función es continua, la derivada de Atangana-Baleanu en sentido de Riemann-Liouville viene dada por: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

El núcleo utilizado en la derivada fraccionaria de Atangana-Baleanu tiene algunas propiedades de una función de distribución acumulativa. Por ejemplo, para todos , la función es creciente en la línea real, converge a en , y . Por lo tanto, tenemos que, la función es la función de distribución acumulativa de una medida de probabilidad en los números reales positivos. Por lo tanto, la distribución está definida, y cualquiera de sus múltiplos se llama distribución de Mittag-Leffler de orden . También es muy conocido que, todas estas distribuciones de probabilidad son absolutamente continuas . En particular, la función Mittag-Leffler tiene un caso particular , que es la función exponencial, la distribución de orden Mittag-Leffler es, por lo tanto, una distribución exponencial . Sin embargo, para , las distribuciones Mittag-Leffler son de cola pesada . Su transformada de Laplace está dada por: ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$ ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ $${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$$

Esto implica directamente que, para , la expectativa es infinita. Además, estas distribuciones son distribuciones geométricamente estables . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

Derivada de Riesz

La derivada de Riesz se define como $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$

donde denota la transformada de Fourier . ^{[21] [22]} ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Otros tipos

Las derivadas fraccionarias clásicas incluyen:

• Derivada de Grünwald-Letnikov ^{[23] [24]}
• Derivado de Sonin-Letnikov ^[24]
• Derivado de Liouville ^[23]
• Derivada de Caputo ^[23]
• Derivado de Hadamard ^{[23] [25]}
• Derivada de Marchaud ^[23]
• Derivada de Riesz ^[24]
• Derivada de Miller-Ross ^[23]
• Derivado de Weyl ^{[26] [27] [23]}
• Derivado de Erdélyi-Kober ^[23]
• F α {\displaystyle F^{\alpha }} -derivada ^[28]

Las nuevas derivadas fraccionarias incluyen:

• Derivado de Coimbra ^[23]
• Derivado de Katugampola ^[29]
• Derivada de Hilfer ^[23]
• Derivada de Davidson ^[23]
• Derivado de Chen ^[23]
• Derivado de Caputo Fabrizio ^{[19] [30]}
• Derivado de Atangana-Baleanu ^{[19] [20]}

Naturaleza de la derivada fraccionaria

La derivada -ésima de una función en un punto es una propiedad local solo cuando es un entero; este no es el caso de las derivadas de potencias no enteras. En otras palabras, una derivada fraccionaria no entera de en depende de todos los valores de , incluso aquellos alejados de . Por lo tanto, se espera que la operación de derivada fraccionaria involucre algún tipo de condiciones de contorno , que involucren información sobre la función más alejada. ^[31] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

La derivada fraccionaria de una función de orden se define hoy en día a menudo mediante las transformadas integrales de Fourier o Mellin . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle a}$

Generalizaciones

Operador de Erdélyi-Kober

El operador Erdélyi-Kober es un operador integral introducido por Arthur Erdélyi (1940). ^[32] y Hermann Kober (1940) ^[33] y viene dado por $${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$

que generaliza la integral fraccionaria de Riemann-Liouville y la integral de Weyl.

Cálculo funcional

En el contexto del análisis funcional , las funciones f ( D ) más generales que las potencias se estudian en el cálculo funcional de la teoría espectral . La teoría de operadores pseudodiferenciales también permite considerar potencias de D . Los operadores que surgen son ejemplos de operadores integrales singulares ; y la generalización de la teoría clásica a dimensiones superiores se denomina teoría de potenciales de Riesz . Por lo tanto, hay varias teorías contemporáneas disponibles, dentro de las cuales se puede discutir el cálculo fraccionario . Véase también operador de Erdélyi–Kober , importante en la teoría de funciones especiales (Kober 1940), (Erdélyi 1950–1951).

Aplicaciones

Conservación fraccionaria de masa

Como describen Wheatcraft y Meerschaert (2008), ^[34] se necesita una ecuación de conservación de masa fraccionaria para modelar el flujo de fluidos cuando el volumen de control no es lo suficientemente grande en comparación con la escala de heterogeneidad y cuando el flujo dentro del volumen de control no es lineal. En el artículo de referencia, la ecuación de conservación de masa fraccionaria para el flujo de fluidos es: $${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

Análisis electroquímico

Al estudiar el comportamiento redox de un sustrato en solución, se aplica un voltaje en la superficie de un electrodo para forzar la transferencia de electrones entre el electrodo y el sustrato. La transferencia de electrones resultante se mide como una corriente. La corriente depende de la concentración de sustrato en la superficie del electrodo. A medida que se consume el sustrato, el sustrato nuevo se difunde al electrodo como se describe en las leyes de difusión de Fick . Tomando la transformada de Laplace de la segunda ley de Fick se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (aquí en forma adimensional): $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$$

cuya solución C ( x , s ) contiene una dependencia de potencia semipotencial con respecto a s . Tomando la derivada de C ( x , s ) y luego la transformada inversa de Laplace se obtiene la siguiente relación: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)}$$

que relaciona la concentración de sustrato en la superficie del electrodo con la corriente. ^[35] Esta relación se aplica en cinética electroquímica para dilucidar el comportamiento mecanicista. Por ejemplo, se ha utilizado para estudiar la tasa de dimerización de sustratos tras reducción electroquímica. ^[36]

Problema del flujo de aguas subterráneas

En 2013-2014, Atangana et al. describieron algunos problemas de flujo de agua subterránea utilizando el concepto de una derivada con orden fraccionario. ^{[37] [38] En estos trabajos, la} ley clásica de Darcy se generaliza considerando el flujo de agua como una función de una derivada de orden no entero de la carga piezométrica. Esta ley generalizada y la ley de conservación de la masa se utilizan luego para derivar una nueva ecuación para el flujo de agua subterránea.

Ecuación de dispersión por advección fraccionaria

Se ha demostrado que esta ecuación ^{[ aclaración necesaria ] es útil para modelar el flujo de contaminantes en medios porosos heterogéneos. [39] [40] [41]}

Atangana y Kilicman extendieron la ecuación de dispersión por advección fraccionaria a una ecuación de orden variable. En su trabajo, la ecuación de dispersión hidrodinámica se generalizó utilizando el concepto de una derivada de orden variacional. La ecuación modificada se resolvió numéricamente mediante el método de Crank-Nicolson . La estabilidad y la convergencia en simulaciones numéricas mostraron que la ecuación modificada es más confiable para predecir el movimiento de la contaminación en acuíferos deformables que las ecuaciones con derivadas fraccionarias y enteras constantes ^[42].

Modelos de ecuaciones de difusión fraccionaria espacio-temporales

Los procesos de difusión anómalos en medios complejos se pueden caracterizar bien utilizando modelos de ecuaciones de difusión de orden fraccional. ^{[43] [44]} El término de la derivada temporal corresponde a la desintegración de cola pesada de largo plazo y la derivada espacial a la no localidad de la difusión. La ecuación que gobierna la difusión fraccional en el tiempo y el espacio se puede escribir como $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

Una extensión simple de la derivada fraccionaria es la derivada fraccionaria de orden variable, α y β se transforman en α ( x , t ) y β ( x , t ) . Sus aplicaciones en el modelado de difusión anómala se pueden encontrar en la referencia. ^{[42] [45] [46]}

Modelos de amortiguamiento estructural

Las derivadas fraccionarias se utilizan para modelar la amortiguación viscoelástica en ciertos tipos de materiales como los polímeros. ^[11]

Controladores PID

La generalización de los controladores PID para utilizar órdenes fraccionarias puede aumentar su grado de libertad. La nueva ecuación que relaciona la variable de control u ( t ) en términos de un valor de error medido e ( t ) se puede escribir como $${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$$

donde α y β son órdenes fraccionarios positivos y K _p , K _i y K _d , todos no negativos, denotan los coeficientes para los términos proporcional , integral y derivado , respectivamente (a veces denotados P , I y D ). ^[47]

Ecuaciones de ondas acústicas para medios complejos

La propagación de ondas acústicas en medios complejos, como el tejido biológico, suele implicar una atenuación que obedece a una ley de potencia de frecuencia. Este tipo de fenómeno puede describirse mediante una ecuación de onda causal que incorpora derivadas temporales fraccionarias: $${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

Véase también Holm & Näsholm (2011) ^[48] y las referencias allí citadas. Dichos modelos están vinculados a la hipótesis comúnmente reconocida de que los fenómenos de relajación múltiple dan lugar a la atenuación medida en medios complejos. Este vínculo se describe con más detalle en Näsholm & Holm (2011b) ^[49] y en el artículo de investigación ^[50] , así como en el artículo sobre atenuación acústica . Véase Holm & Nasholm (2013) ^[51] para un artículo que compara ecuaciones de onda fraccionarias que modelan la atenuación por ley de potencia. Este libro sobre atenuación por ley de potencia también cubre el tema con más detalle. ^[52]

Pandey y Holm dieron un significado físico a las ecuaciones diferenciales fraccionarias al derivarlas de principios físicos e interpretar el orden fraccionario en términos de los parámetros de los medios acústicos, por ejemplo en sedimentos marinos granulares no consolidados saturados de fluidos. ^[53] Curiosamente, Pandey y Holm derivaron la ley de Lomnitz en sismología y la ley de Nutting en reología no newtoniana utilizando el marco del cálculo fraccionario. ^[54] La ley de Nutting se utilizó para modelar la propagación de ondas en sedimentos marinos utilizando derivadas fraccionarias. ^[53]

Ecuación fraccionaria de Schrödinger en la teoría cuántica

La ecuación de Schrödinger fraccionaria, una ecuación fundamental de la mecánica cuántica fraccionaria, tiene la siguiente forma: ^{[55] [56]} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$$

donde la solución de la ecuación es la función de onda ψ ( r , t ) – la amplitud de probabilidad mecánica cuántica para que la partícula tenga un vector de posición dado r en cualquier momento dado t , y ħ es la constante de Planck reducida . La función de energía potencial V ( r , t ) depende del sistema.

Además, es el operador de Laplace , y D _α es una constante de escala con dimensión física [ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = kg ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2} , (en α = 2 , para una partícula de masa m ), y el operador (− ħ ² Δ) ^{α /2} es la derivada cuántica de Riesz tridimensional definida por ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$ ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$ $${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

El índice α en la ecuación de Schrödinger fraccionaria es el índice de Lévy, 1 < α ≤ 2 .

Ecuación de Schrödinger fraccionaria de orden variable

Como generalización natural de la ecuación de Schrödinger fraccionaria, la ecuación de Schrödinger fraccionaria de orden variable se ha explotado para estudiar los fenómenos cuánticos fraccionarios: ^[57] $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$$

donde es el operador de Laplace y el operador (− ħ ² Δ) ^{β ( t )/2} es la derivada de Riesz cuántica fraccionaria de orden variable. ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$

Véase también

• Atenuación acústica
• Promedio móvil integrado fraccionariamente autorregresivo
• Cálculo fraccionario inicializado
• Operador no local

Otras teorías fraccionarias

• Sistema de orden fraccionario
• Transformada de Fourier fraccionaria
• Cálculo fraccionario de Prabhakar

Notas

1. El símbolo se utiliza comúnmente en lugar del intuitivo para evitar confusiones con otros conceptos identificados por glifos similares , como las identidades . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Referencias

1. Daniel Zwillinger (12 de mayo de 2014). Manual de ecuaciones diferenciales. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-2096-3.
2. Katugampola, Udita N. (15 de octubre de 2014). "Un nuevo enfoque para las derivadas fraccionarias generalizadas" (PDF) . Boletín de análisis matemático y aplicaciones . 6 (4): 1–15. arXiv : 1106.0965 .
3. Niels Henrik Abel (1823). "Oplösning af et Par Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solución de un par de problemas mediante integrales definidas)" (PDF) . Revista para Naturvidenskaberne . Kristiania (Oslo): 55–68.
4. Podlubny, Igor; Magin, Richard L.; Trymorush, Irina (2017). "Niels Henrik Abel y el nacimiento del cálculo fraccionario". Cálculo fraccionario y análisis aplicado . 20 (5): 1068–1075. arXiv : 1802.05441 . doi :10.1515/fca-2017-0057. S2CID  119664694.
5. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genere de calcul pour résoudre ces questions", Journal de l'École Polytechnique , 13 , París: 1–69.
6. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques", Journal de l'École Polytechnique , 13 , París: 71–162.
7. Para conocer la historia del tema, consulte la tesis (en francés): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques ( histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de derivation ), Thèse, Université Paris Nord (1994)
8. Para una revisión histórica del tema hasta principios del siglo XX, véase: Bertram Ross (1977). "El desarrollo del cálculo fraccionario 1695-1900". Historia Mathematica . 4 : 75–89. doi :10.1016/0315-0860(77)90039-8. S2CID  122146887.
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Lectura adicional

Artículos sobre la historia del cálculo fraccionario

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Libros

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Enlaces externos

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• Revistas especializadas
  • Cálculo fraccional y análisis aplicado 1998-2014
  • Cálculo fraccional y análisis aplicado ISSN  1314-2224 2015—
  • Cálculo diferencial fraccionario (CDF) ISSN  1847-9677 2011–
  • Comunicaciones en Cálculo Fraccionario ISSN  2218-3892
  • Revista de cálculo fraccional y aplicaciones (JFCA) ISSN  2090-5858 2011—
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