Función Prabhakar

La función Prabhakar es una función especial en matemáticas introducida por el matemático indio Tilak Raj Prabhakar en un artículo publicado en 1971. ^[1] La función es una generalización de tres parámetros de la conocida función Mittag-Leffler de dos parámetros en matemáticas. La función se introdujo originalmente para resolver ciertas clases de ecuaciones integrales . Más tarde se descubrió que la función tenía aplicaciones en la teoría del cálculo fraccionario y también en ciertas áreas de la física. ^[2]

Definición

En primer lugar, se definen las funciones Mittag-Leffler de un parámetro y de dos parámetros. A continuación, se presenta la definición de la función Mittag-Leffler de tres parámetros, la función Prabhakar. En las siguientes definiciones, se define la conocida función gamma mediante ${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-z}\,dz,\quad \Re (z)>0}$.

En lo que sigue se supondrá que y son todos números complejos . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

Función Mittag-Leffler de un parámetro

La función Mittag-Leffler de un parámetro se define como ^[3]

${\displaystyle E_{\alpha }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+1)}}.}$

Función Mittag-Leffler de dos parámetros

La función Mittag-Leffler de dos parámetros se define como ^[4]

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+\beta )}},\quad \Re (\alpha )>0.}$

Función Mittag-Leffler de tres parámetros (función Prabhakar)

La función Mittag-Leffler de tres parámetros (función Prabhakar) está definida por ^{[1] [5] [6]}

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(\gamma )_{n}}{n!\Gamma (\alpha n+\beta )}}z^{n},\quad \Re (\alpha )>0}$

dónde . ${\displaystyle (\gamma )_{n}=\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)}$

Casos especiales elementales

Los siguientes casos especiales se desprenden inmediatamente de la definición. ^[2]

1. ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{0}(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}}$
2. ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{1}(z)=E_{\alpha ,\beta }(z)}$, la función Mittag-Leffler de dos parámetros.
3. ${\displaystyle E_{\alpha ,1}^{1}(z)=E_{\alpha }(z)}$, la función Mittag-Leffler de un parámetro.
4. ${\displaystyle E_{1,1}^{1}(z)=e^{z}}$, la función exponencial clásica.

Propiedades

Fórmula de reducción

La siguiente fórmula se puede reducir para reducir el valor del tercer parámetro . ^[2] ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma +1}(z)={\frac {1}{\alpha \gamma }}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta +\alpha \gamma )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z){\big ]}}$

Relación con la función de Fox-Wright

La función Prabhakar está relacionada con la función Fox-Wright por la siguiente relación:

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)={\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}{}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\gamma ,1\right)\\(\beta ,\alpha )\end{matrix}};z\right)}$

Derivados

La derivada de la función Prabhakar está dada por

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {1}{\alpha z}}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }{\big ]}}$

Existe una expresión general para las derivadas de orden superior. Sea un entero positivo. La derivada -ésima de la función Prabhakar está dada por ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {\Gamma (\gamma +m)}{\Gamma (\gamma )}}E_{\alpha ,m\alpha +\beta }^{\gamma +m}(z)}$

El siguiente resultado es útil en aplicaciones.

${\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\right)=t^{\beta -m-1}E_{\alpha ,\beta -m}^{\gamma }(t^{\alpha }z)}$

Integrales

Se conoce el siguiente resultado que involucra la función Prabhakar.

${\displaystyle \int _{0}^{t}\tau ^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(\tau ^{\alpha }z)=t^{\beta }E_{\alpha ,\beta +1}^{\gamma }(t^{\alpha }z)}$

Transformadas de Laplace

El siguiente resultado que involucra transformadas de Laplace juega un papel importante tanto en aplicaciones físicas como en cálculos numéricos de la función Prabhakar.

${\displaystyle L\left[t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\,;\,s\right]={\frac {s^{\alpha \gamma -\beta }}{(s^{\alpha }-z)^{\gamma }}},\quad \Re (s)>0,\quad |s|>|z|^{1/\alpha }}$

Cálculo fraccionario de Prabhakar

La siguiente función se conoce como el núcleo Prabhakar en la literatura. ^[2]

${\displaystyle e_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t;\lambda )=t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)}$

Dada cualquier función , la convolución del núcleo de Prabhakar se denomina integral fraccionaria de Prabhakar: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}(t-u)^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }\left(\lambda (t-u)^{\alpha }\right)f(u)\,du}$

Las propiedades de la integral fraccionaria de Prabhakar se han estudiado ampliamente en la literatura. ^{[7] [8]}

Referencias

1. Tilak Raj Prabhakar (1971). "Una ecuación integral singular con una función Mittag-Leffler generalizada en el núcleo" (PDF) . Yoklohama Mathematics Journal . 19 (1): 7–15 . Consultado el 27 de diciembre de 2023 .
2. Andrea Giusti, Ivano Colombaro, Roberto Garra (2020). "Una guía práctica para el cálculo fraccional de Prabhakar". Cálculo fraccional y análisis aplicado . 25 (1): 9–54. arXiv : 2002.10978 . doi :10.1515/fca-2020-0002.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Rudolf Gorenflo, Anatoly A. Kilbas, Francesco Mainardi, Sergei V. Rogosin (2014). Funciones de Mittag-Leffler, temas relacionados y aplicaciones . Springer. pág. 17. ISBN. 978-3-662-43929-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Rudolf Gorenflo, Anatoly A. Kilbas, Francesco Mainardi, Sergei V. Rogosin (2014). Funciones de Mittag-Leffler, temas relacionados y aplicaciones . Springer. pág. 56. ISBN. 978-3-662-43929-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Rudolf Gorenflo, Anatoly A. Kilbas, Francesco Mainardi, Sergei V. Rogosin (2014). Funciones de Mittag-Leffler, temas relacionados y aplicaciones . Springer. pág. 97. ISBN. 978-3-662-43929-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Roberto Garra y Roberto Garrappa (2018). "La función Prabhakar o Mittag–Leffler de tres parámetros: teoría y aplicación". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 56 : 314–329. arXiv : 1708.07298v2 . Bibcode :2018CNSNS..56..314G. doi :10.1016/j.cnsns.2017.08.018.
7. Anatoly A. Kilbas, Megumi Saigo y RK Saxena (2004). "Función de Mittag-Leffler generalizada y operadores de cálculo fraccionario generalizados". Transformadas integrales y funciones especiales . 15 (1): 31–49. doi :10.1080/10652460310001600717. S2CID  120569191.
8. F. Polito y Z. Tomovski (2016). "Algunas propiedades de los operadores de cálculo fraccionario de tipo Prabhakar". Cálculo diferencial fraccionario . 6 (1): 73–94. arXiv : 1508.03224 . doi :10.7153/fdc-06-05.

• Portal de matemáticas