Función Mittag-Leffler

Función matemática

La función Mittag-Leffler se puede utilizar para interpolar continuamente entre una función gaussiana y una función lorentziana.

En matemáticas , la función Mittag-Leffler es una función especial , una función compleja que depende de dos parámetros complejos y . Puede definirse mediante la siguiente serie cuando la parte real de es estrictamente positiva: ^{[1] [2]} ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$

donde es la función gamma . Cuando , se abrevia como . Para , la serie anterior es igual a la expansión de Taylor de la serie geométrica y, en consecuencia , . ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(z)=E_{\alpha ,1}(z)}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle E_{0,\beta }(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}{\frac {1}{1-z}}}$

En el caso de que y sean reales y positivos, la serie converge para todos los valores del argumento , por lo que la función Mittag-Leffler es una función entera . Esta función recibe su nombre de Gösta Mittag-Leffler . Esta clase de funciones son importantes en la teoría del cálculo fraccionario . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle z}$

Para , la función Mittag-Leffler es una función completa de orden , y tipo para cualquier valor de . En cierto sentido, la función Mittag-Leffler es la función completa más simple de su orden. La función indicadora de es ^{[3] : 50} Este resultado en realidad es válido para también con algunas restricciones sobre cuándo . ^{[4] : 67} ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle E_{\alpha }(z)}$ $${\displaystyle h_{E_{\alpha }}(\theta )={\begin{cases}\cos \left({\frac {\theta }{\alpha }}\right),&{\text{for }}|\theta |\leq {\frac {1}{2}}\alpha \pi ;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \beta \neq 1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Algunas propiedades básicas

La función Mittag-Leffler satisface la propiedad de recurrencia (Teorema 5.1 de ^[1] )

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha )}},}$

de donde se cumple la siguiente expansión asintótica : para y reales tales que entonces para todo , podemos demostrar las siguientes expansiones asintóticas (Sección 6. de ^[1] ): ${\displaystyle 0<\alpha <2}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\frac {\pi \alpha }{2}}<\mu <\min(\pi ,\pi \alpha )}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{*},N\neq 1}$

-como : ${\displaystyle \,|z|\to +\infty ,|{\text{arg}}(z)|\leq \mu }$

${\displaystyle E_{\alpha }(z)={\frac {1}{\alpha }}\exp(z^{\frac {1}{\alpha }})-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\,\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right)}$,

-y como : ${\displaystyle \,|z|\to +\infty ,\mu \leq |{\text{arg}}(z)|\leq \pi }$

${\displaystyle E_{\alpha }(z)=-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right)}$,

donde usamos la notación . ${\displaystyle E_{\alpha }(z)=E_{\alpha ,1}(z)}$

Se da una estimación más simple que a menudo puede ser útil, gracias al hecho de que el orden y el tipo de son y , respectivamente: ^{[4] : 62} ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |E_{\alpha ,\beta }(z)|\leq C\exp \left(\sigma |z|^{1/\alpha }\right)}$

para cualquier positivo y cualquier . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sigma >1}$

Una generalización de tres parámetros

La función Mittag-Leffler, caracterizada por tres parámetros, se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\left({\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}\right)\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (\gamma +k)z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$

donde y son parámetros complejos y . ^[4] ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$

Para , la función Mittag-Leffler con tres parámetros se reformula como: ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {N} }$

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\gamma )_{k}z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$

¿Dónde está el símbolo Pochhammer y exhibe la siguiente propiedad: ${\displaystyle (\gamma )_{k}}$

${\displaystyle E_{(\alpha ,\beta )}^{\gamma }(z)={\frac {1}{\alpha ^{\gamma }}}\left(E_{(\alpha ,\beta -1)}^{\gamma -1}(z)+(1-\beta +\alpha \gamma )E_{(\alpha ,\beta )}^{\gamma -1}(z)\right)}$. ^[5]

Además, una relación relativa al primer parámetro de la función Mittag-Leffler de 2 parámetros es la siguiente: ${\displaystyle E_{(\alpha ,\beta )}(rt^{\alpha })={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}E_{(\rho ,\beta )}(s_{i}t^{\rho }),}$

donde y son raíces de . ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\rho }}=m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s^{m}=r}$

Casos especiales

Porque encontramos: (Sección 2 de ^[1] ) ${\displaystyle \alpha =0,1/2,1,2}$

Función de error :

${\displaystyle E_{\frac {1}{2}}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}$

La suma de una progresión geométrica :

${\displaystyle E_{0}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}},\,|z|<1.}$

Función exponencial :

${\displaystyle E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}$

Coseno hiperbólico :

${\displaystyle E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}),{\text{ and }}E_{2}(-z^{2})=\cos(z).}$

Para , tenemos ${\displaystyle \beta =2}$

${\displaystyle E_{1,2}(z)={\frac {e^{z}-1}{z}},}$

${\displaystyle E_{2,2}(z)={\frac {\sinh({\sqrt {z}})}{\sqrt {z}}}.}$

Para , la integral ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

${\displaystyle \int _{0}^{z}E_{\alpha }(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s}$

da, respectivamente: , , . ${\displaystyle \arctan(z)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z)}$ ${\displaystyle \sin(z)}$

Representación integral de Mittag-Leffler

La representación integral de la función Mittag-Leffler es (Sección 6 de ^[1] )

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}}{t^{\alpha }-z}}\,dt,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0,}$

donde el contorno comienza y termina y gira alrededor de las singularidades y puntos de ramificación del integrando. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle -\infty }$

Relacionada con la transformada de Laplace y la suma de Mittag-Leffler está la expresión (Eq (7.5) de ^[1] con ) ${\displaystyle m=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz}t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(\pm r\,t^{\alpha })\,dt={\frac {z^{\alpha -\beta }}{z^{\alpha }\mp r}},\Re (z)>0,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0.}$

Aplicaciones de la función Mittag-Leffler

Una de las aplicaciones de la función Mittag-Leffler es el modelado de materiales viscoelásticos de orden fraccionario. Las investigaciones experimentales sobre el comportamiento de relajación dependiente del tiempo de los materiales viscoelásticos se caracterizan por una disminución muy rápida de la tensión al comienzo del proceso de relajación y una caída extremadamente lenta para tiempos grandes. Incluso puede pasar mucho tiempo antes de que se alcance un valor asintótico constante. Por lo tanto, se requieren muchos elementos de Maxwell para describir el comportamiento de relajación con suficiente precisión. Esto termina en un difícil problema de optimización para identificar una gran cantidad de parámetros del material. Por otro lado, a lo largo de los años, el concepto de derivadas fraccionarias se ha introducido en la teoría de la viscoelasticidad . Entre estos modelos, el modelo Zener fraccionario resultó ser muy eficaz para predecir la naturaleza dinámica de materiales similares al caucho con solo una pequeña cantidad de parámetros del material. La solución de la ecuación constitutiva correspondiente conduce a una función de relajación del tipo Mittag-Leffler. Se define por la serie de potencias con argumentos negativos. Esta función representa todas las propiedades esenciales del proceso de relajación bajo la influencia de una señal arbitraria y continua con un salto en el origen. ^{[8] [9]}

Véase también

• Suma de Mittag-Leffler
• Distribución Mittag-Leffler
• Función de Fox-Wright
• Función Prabhakar

Notas

• Paquete R 'MittagLeffleR' de Gurtek Gill y Peter Straka. Implementa la función Mittag-Leffler, la distribución, la generación de variables aleatorias y la estimación.

Referencias

1. Saxena, RK; Mathai, AM; Haubold, HJ (1 de septiembre de 2009). "Funciones de Mittag-Leffler y sus aplicaciones". arXiv : 0909.0230 [math.CA].
2. Weisstein, Eric W. "Función Mittag-Leffler". mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de septiembre de 2019 .
3. Cartwright, ML (1962). Funciones integrales . Cambridge Univ. Press. ISBN 052104586X.
4. Gorenflo, Rudolf; Kilbas, Anatoly A.; Mainardi, Francesco; Rogosin, Sergei V. (2014). Funciones de Mittag-Leffler, temas relacionados y aplicaciones: teoría y aplicaciones. Springer Monographs in Mathematics. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-662-43930-2. ISBN 978-3-662-43929-6.
5. TR, Prabhakar (1971). "Una ecuación integral singular con una función Mittag-Leffler generalizada en el núcleo". Yokohama Mathematical Journal . 19 : 7–15.
6. Erman, Sertaç; Demir, Ali (1 de diciembre de 2020). "Sobre la construcción y el análisis de estabilidad de la solución de la ecuación diferencial fraccionaria lineal". Matemáticas Aplicadas y Computación . 386 : 125425. doi :10.1016/j.amc.2020.125425. ISSN  0096-3003.
7. Erman, Sertaç (31 de mayo de 2023). "Método de coeficientes indeterminados para ecuaciones diferenciales fraccionarias secuenciales". Revista Kocaeli de ciencia e ingeniería . 6 (1): 44–50. doi :10.34088/kojose.1145611. ISSN  2667-484X.
8. Pritz, T. (2003). Modelo derivado fraccionario de cinco parámetros para materiales de amortiguación poliméricos. Journal of Sound and Vibration, 265(5), 935-952.
9. Nonnenmacher, TF y Glöckle, WG (1991). Un modelo fraccional para la relajación de la tensión mecánica. Philosophical magazine letters, 64(2), 89-93.

• Mittag-Leffler, MG: Sur la nueva función E(x). CR Acad. Ciencia. París 137, 554–558 (1903)
• Mittag-Leffler, MG: Sopra la funzione E˛.x/. Desgarrar. R. Acc. Lincei, (Ser. 5) 13, 3–5 (1904)
• Gorenflo R., Kilbas AA, Mainardi F., Rogosin SV, Funciones de Mittag-Leffler, temas y aplicaciones relacionados (Springer, Nueva York, 2014) 443 páginas ISBN 978-3-662-43929-6 
• Igor Podlubny (1998). "Capítulo 1". Ecuaciones diferenciales fraccionarias. Introducción a las derivadas fraccionarias, ecuaciones diferenciales fraccionarias, algunos métodos para su solución y algunas de sus aplicaciones . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. Academic Press. ISBN 0-12-558840-2.
• Kai Diethelm (2010). "Capítulo 4". El análisis de ecuaciones diferenciales fraccionarias: una exposición orientada a la aplicación utilizando operadores diferenciales de tipo Caputo . Apuntes de clase en matemáticas. Heidelberg y Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-14573-5.

Enlaces externos

• Función Mittag-Leffler: código MATLAB
• Mittag-Leffler y números aleatorios estables: recorridos aleatorios en tiempo continuo y solución estocástica de ecuaciones de difusión fraccionaria espacio-temporal

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