Potencial de Riesz

En matemáticas , el potencial de Riesz es un potencial que recibe el nombre de su descubridor, el matemático húngaro Marcel Riesz . En cierto sentido, el potencial de Riesz define una inversa para una potencia del operador de Laplace en el espacio euclidiano. Generalizan a varias variables las integrales de Riemann-Liouville de una variable.

Definición

Si 0 <  α  <  n , entonces el potencial de Riesz I _α f de una función localmente integrable f en R ⁿ es la función definida por

donde la constante viene dada por

${\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}$

Esta integral singular está bien definida siempre que f decaiga con la suficiente rapidez en el infinito, específicamente si f  ∈  L ^p ( R ⁿ ) con 1 ≤  p  <  n / α . De hecho, para cualquier 1 ≤  p ( p >1 es clásica, debido a Sobolev, mientras que para p = 1 véase (Schikorra, Spector y Van Schaftingen 2014), la tasa de decaimiento de f y la de I _α f están relacionadas en forma de una desigualdad (la desigualdad de Hardy–Littlewood–Sobolev )

${\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},}$

donde es la transformada de Riesz con valores vectoriales . En términos más generales, los operadores I _α están bien definidos para α complejos tales que 0 < Re α < n . ${\displaystyle Rf=DI_{1}f}$

El potencial de Riesz se puede definir de forma más general en un sentido débil como la convolución

${\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}$

donde K _α es la función localmente integrable:

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.}$

Por lo tanto, el potencial de Riesz se puede definir siempre que f sea una distribución con soporte compacto. En este sentido, el potencial de Riesz de una medida de Borel positiva μ con soporte compacto es de interés principalmente en la teoría del potencial porque I _α μ es entonces una función subarmónica (continua) a partir del soporte de μ, y es semicontinua inferior en todos los R ⁿ .

La consideración de la transformada de Fourier revela que el potencial de Riesz es un multiplicador de Fourier . ^[1] De hecho, se tiene

${\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }}$

y así, por el teorema de convolución ,

${\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}$

Los potenciales de Riesz satisfacen la siguiente propiedad de semigrupo , por ejemplo, en funciones continuas rápidamente decrecientes

${\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}$

proporcionó

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.}$

Además, si 0 < Re α < n –2 , entonces

${\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.}$

También se tiene, para esta clase de funciones,

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}$

Véase también

• Potencial de Bessel
• Integración fraccionaria
• Espacio Sobolev

Notas

1. Samko 1998, sección II.

Referencias

• Landkof, NS (1972), Fundamentos de la teoría del potencial moderno , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0350027
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN  0001-5962, SEÑOR  0030102.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de Riesz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2014), Una estimación de tipo para potenciales de Riesz ${\displaystyle L^{1}}$ , arXiv : 1411.2318 , doi :10.4171/rmi/937, S2CID  55497245
• Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8
• Samko, Stefan G. (1998), "Un nuevo enfoque para la inversión del operador de potencial de Riesz" (PDF) , Cálculo fraccional y análisis aplicado , 1 (3): 225–245