mapa armónico

En el campo matemático de la geometría diferencial , una aplicación suave entre variedades de Riemann se llama armónica si sus representantes coordinados satisfacen una determinada ecuación diferencial parcial no lineal . Esta ecuación diferencial parcial para un mapeo también surge como la ecuación de Euler-Lagrange de un funcional llamado energía de Dirichlet . Como tal, la teoría de mapas armónicos contiene tanto la teoría de las geodésicas de velocidad unitaria en la geometría de Riemann como la teoría de funciones armónicas .

Informalmente, la energía de Dirichlet de un mapeo f de una variedad de Riemann M a una variedad de Riemann N puede considerarse como la cantidad total que f estira M al asignar cada uno de sus elementos a un punto de N. Por ejemplo, una banda elástica no estirada y una piedra lisa pueden verse naturalmente como variedades de Riemann. Cualquier forma de estirar la banda elástica sobre la piedra puede verse como un mapeo entre estas variedades, y la tensión total involucrada está representada por la energía de Dirichlet. La armonicidad de tal mapeo significa que, dada cualquier forma hipotética de deformar físicamente el tramo dado, la tensión (cuando se considera como una función del tiempo) tiene una primera derivada igual a cero cuando comienza la deformación.

La teoría de los mapas armónicos fue iniciada en 1964 por James Eells y Joseph Sampson , quienes demostraron que en ciertos contextos geométricos, los mapas arbitrarios podían deformarse en mapas armónicos. ^[1] Su trabajo fue la inspiración para el trabajo inicial de Richard Hamilton sobre el flujo de Ricci . Los mapas armónicos y el flujo de calor del mapa armónico asociado , en sí mismos, se encuentran entre los temas más estudiados en el campo del análisis geométrico .

El descubrimiento del "burbujeo" de secuencias de mapas armónicos, debido a Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck , ^[2] ha sido particularmente influyente, ya que su análisis se ha adaptado a muchos otros contextos geométricos. En particular, el descubrimiento paralelo de Uhlenbeck del burbujeo de campos de Yang-Mills es importante en el trabajo de Simon Donaldson sobre variedades de cuatro dimensiones, y el descubrimiento posterior de Mikhael Gromov del burbujeo de curvas pseudoholomórficas es significativo en aplicaciones a la geometría simpléctica y la cohomología cuántica . Las técnicas utilizadas por Richard Schoen y Uhlenbeck para estudiar la teoría de la regularidad de mapas armónicos también han sido la inspiración para el desarrollo de muchos métodos analíticos en análisis geométrico. ^[3]

Geometría de mapeos entre variedades.

Aquí, la geometría de un mapeo suave entre variedades de Riemann se considera mediante coordenadas locales y, de manera equivalente, mediante álgebra lineal . Tal mapeo define tanto una primera forma fundamental como una segunda forma fundamental. El laplaciano (también llamado campo de tensión ) se define mediante la segunda forma fundamental, y su desaparición es la condición para que el mapa sea armónico . Las definiciones se extienden sin modificaciones al escenario de variedades pseudo-riemannianas .

Coordenadas locales

Sea U un subconjunto abierto de ℝ my sea V un subconjunto abierto de ℝ ⁿ . Para cada i y j entre 1 y n , sea g _ij una función suave de valor real en U , tal que para cada p en U , se tiene que la matriz m × m [ g _ij ( p )] es simétrica y positiva -definido . Para cada α y β entre 1 y m , sea h _αβ una función suave de valor real en V , tal que para cada q en V , se tiene que la matriz n × n [ h _αβ ( q )] es simétrica y positiva -definido. Denotamos las matrices inversas por [ g ^ij ( p )] y [ h ^αβ ( q )] .

Para cada i , j , k entre 1 y n y cada α , β , γ entre 1 y m define los símbolos de Christoffel Γ( g ) ^k _ij  : U → ℝ y Γ( h ) ^γ _αβ  : V → ℝ por ^{[4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}{\Big )}\end{aligned}}}$

Dado un mapa suave f de U a V , su segunda forma fundamental define para cada i y j entre 1 y my para cada α entre 1 y n la función de valor real ∇( df ) ^α _ij en U por ^[5]

${\displaystyle \nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.}$

Su laplaciano define para cada α entre 1 y n la función de valor real (∆ f ) ^α en U por ^[6]

${\displaystyle (\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ij}^{\alpha }.}$

Formalismo de paquete

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann . Dado un mapa suave f de M a N , se puede considerar su df diferencial como una sección del paquete de vectores T ^* M ⊗ f ^* TN sobre M ; es decir, para cada p en M , se tiene una aplicación lineal df _p entre espacios tangentes T _p M → T _f(p) N . [ ^7] El paquete de vectores T ^* M ⊗ f ^* TN tiene una conexión inducida a partir de las conexiones de Levi-Civita en M y N. ^[8] Entonces se puede tomar la derivada covariante ∇( df ) , que es una sección del paquete de vectores T ^* M ⊗ T ^* M ⊗ f ^* TN sobre M ; es decir, para cada p en M , se tiene un mapa bilineal (∇( df )) _p de espacios tangentes T _p M × T _p M → T _f(p) N . ^[9] Esta sección se conoce como la arpillera de f .

Usando g , se puede rastrear el arpillera de f para llegar al laplaciano de f , que es una sección del paquete f ^* TN sobre M ; esto dice que el laplaciano de f asigna a cada p en M un elemento del espacio tangente T _{f ( p )} N . ^[10] Según la definición del operador de traza, el laplaciano puede escribirse como

${\displaystyle (\Delta f)_{p}=\sum _{i=1}^{m}{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})}$

donde e ₁ , ..., em _es cualquier g _p -base ortonormal de T _p M .

La energía de Dirichlet y sus fórmulas de variación.

Desde la perspectiva de las coordenadas locales, como se indicó anteriormente, la densidad de energía de un mapeo f es la función de valor real en U dada por ^[11]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).}$

Alternativamente, en el formalismo de paquete, las métricas de Riemann en M y N inducen una métrica de paquete en T ^* M ⊗ f ^* TN , por lo que se puede definir la densidad de energía como la función suave1/2| df | ² en M.​ ^[12] También es posible considerar que la densidad de energía está dada por (la mitad de) la traza g de la primera forma fundamental. ^[13] Independientemente de la perspectiva adoptada, la densidad de energía e ( f ) es una función de M que es suave y no negativa. Si M está orientado y M es compacto, la energía de Dirichlet de f se define como

${\displaystyle E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}}$

donde dμ _g es la forma de volumen en M inducida por g . ^[14] Dado que cualquier función medible no negativa tiene una integral de Lebesgue bien definida , no es necesario imponer la restricción de que M es compacto; sin embargo, entonces la energía de Dirichlet podría ser infinita.

Las fórmulas de variación para la energía de Dirichlet calculan las derivadas de la energía de Dirichlet E ( f ) a medida que se deforma el mapeo f . Para este fin, considere una familia de aplicaciones de un parámetro f _s  : M → N con f ₀ = f para la cual existe un conjunto abierto precompacto K de M tal que f _s | _{METRO - K} = F | _{M − K} para todos los s ; se supone que la familia parametrizada es suave en el sentido de que el mapa asociado (−ε, ε) × M → N dado por ( s , p ) ↦ f _s ( p ) es suave.

• La primera fórmula de variación dice que ^[15]

${\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}}$

También existe una versión para colectores con límite. ^[dieciséis]

• También existe una segunda fórmula de variación. ^[17]

Debido a la primera fórmula de variación, el Laplaciano de f puede considerarse como el gradiente de la energía de Dirichlet; correspondientemente, un mapa armónico es un punto crítico de la energía de Dirichlet. ^[18] Esto se puede hacer formalmente en el lenguaje del análisis global y las variedades de Banach .

Ejemplos de mapas armónicos

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades riemannianas suaves. La notación g _stan se utiliza para referirse a la métrica de Riemann estándar en el espacio euclidiano.

• Todo mapa totalmente geodésico ( M , g ) → ( N , h ) es armónico; esto se desprende directamente de las definiciones anteriores. Como casos especiales:
  • Para cualquier q en N , el mapa constante ( M , g ) → ( N , h ) valorado en q es armónico.
  • El mapa de identidad ( M , g ) → ( M , g ) es armónico.
• Si f  : M → N es una inmersión , entonces f  : ( M , f ^* h ) → ( N , h ) es armónica si y sólo si f es mínima con respecto a h . Como caso especial:
  • Si f  : ℝ → ( N , h ) es una inmersión a velocidad constante, entonces f  : (ℝ, g _stan ) → ( N , h ) es armónica si y solo si f resuelve la ecuación diferencial geodésica .

Recuerde que si M es unidimensional, entonces la minimalidad de f es equivalente a que f sea geodésica, aunque esto no implica que sea una parametrización de velocidad constante y, por tanto, no implica que f resuelva la ecuación diferencial geodésica.

• Un mapa suave f  : ( M , g ) → (ℝ ⁿ , g _stan ) es armónico si y solo si cada una de sus n funciones componentes son armónicos como mapas ( M , g ) → (ℝ, g _stan ) . Esto coincide con la noción de armonía aportada por el operador de Laplace-Beltrami .
• Cada mapa holomorfo entre variedades de Kähler es armónico.
• Todo morfismo armónico entre variedades de Riemann es armónico.

Flujo de calor del mapa armónico

Bien planteado

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann suaves. Un mapa armónico de flujo de calor en un intervalo ( a , b ) asigna a cada t en ( a , b ) un mapa dos veces diferenciable f _t  : M → N de tal manera que, para cada p en M , el mapa ( a , b ) → N dado por t ↦ f _t ( p ) es diferenciable, y su derivada en un valor dado de t es, como vector en T _{f t ( p )} N , igual a (∆ ft ₎ p _. Generalmente se abrevia como:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.}$

Eells y Sampson introdujeron el mapa armónico del flujo de calor y demostraron las siguientes propiedades fundamentales:

• Regularidad. Cualquier flujo de calor en un mapa armónico es suave como un mapa ₍ a , b ) × M → N dado por ( t , p ) ↦ ft ( p ) .

Ahora supongamos que M es una variedad cerrada y ( N , h ) es geodésicamente completa.

• Existencia. Dado un mapa f continuamente diferenciable de M a N , existe un número positivo T y un flujo de calor en el mapa armónico f _t en el intervalo (0, T ) tal que f _t converge a f en la topología C ¹ a medida que t disminuye a 0 ^[19 ]
• Unicidad. Si { ft _:  0 < t < T } y { ft  : 0 < t < T } son _{dos flujos de calor de mapa armónico} como en el teorema de existencia, entonces ft = _ft siempre que 0 < t < min( T , T ) .

Como consecuencia del teorema de unicidad, existe un flujo de calor de mapa armónico máximo con datos iniciales f , lo que significa que se tiene un flujo de calor de mapa armónico { f _t  : 0 < t < T } como en el enunciado del teorema de existencia, y se define únicamente bajo el criterio adicional de que T toma su valor máximo posible, que podría ser infinito.

Teorema de Eells y Sampson

El resultado principal del artículo de 1964 de Eells y Sampson es el siguiente: ^[1]

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann cerradas y suaves, y supongamos que la curvatura seccional de ( N , h ) no es positiva. Entonces, para cualquier mapa f continuamente diferenciable de M a N , el flujo de calor del mapa armónico máximo { f _t  : 0 < t < T } con datos iniciales f tiene T = ∞ , y a medida que t aumenta a ∞ , los mapas f _t convergen posteriormente en la topología C ^∞ a un mapa armónico.

En particular, esto muestra que, bajo los supuestos de ( M , g ) y ( N , h ) , todo mapa continuo es homotópico a un mapa armónico. ^[1] La existencia misma de un mapa armónico en cada clase de homotopía, que implícitamente se afirma, es parte del resultado. Poco después del trabajo de Eells y Sampson, Philip Hartman amplió sus métodos para estudiar la unicidad de mapas armónicos dentro de clases de homotopía, mostrando además que la convergencia en el teorema de Eells-Sampson es fuerte, sin la necesidad de seleccionar una subsecuencia. ^[20] El resultado de Eells y Sampson fue adaptado por Richard Hamilton al escenario del problema de valor límite de Dirichlet , cuando M es, en cambio, compacto con límite no vacío. ^[21]

Singularidades y soluciones débiles

Durante muchos años después del trabajo de Eells y Sampson, no estuvo claro hasta qué punto era necesaria la suposición de curvatura seccional en ( N , h ) . Siguiendo el trabajo de Kung-Ching Chang, Wei-Yue Ding y Rugang Ye en 1992, está ampliamente aceptado que no se puede esperar "normalmente" que el tiempo máximo de existencia de un flujo de calor en un mapa armónico sea infinito. ^[22] Sus resultados sugieren fuertemente que existen flujos de calor en mapas armónicos con "explosión de tiempo finito" incluso cuando tanto ( M , g ) como ( N , h ) se consideran la esfera bidimensional con su métrica estándar. Dado que las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas son particularmente suaves cuando el dominio es de dos dimensiones, el resultado de Chang-Ding-Ye se considera indicativo del carácter general del flujo.

Siguiendo el modelo de los trabajos fundamentales de Sacks y Uhlenbeck, Michael Struwe consideró el caso en el que no se hace ninguna suposición geométrica sobre ( N , h ) . En el caso de que M sea bidimensional, estableció la existencia incondicional y la unicidad para soluciones débiles del flujo de calor del mapa armónico. ^[23] Además, descubrió que sus soluciones débiles se alejan suavemente de un número finito de puntos del espacio-tiempo en los que se concentra la densidad de energía. En niveles microscópicos, el flujo cerca de estos puntos se modela mediante una burbuja , es decir, un mapa armónico suave desde la 2 esfera redonda hasta el objetivo. Weiyue Ding y Gang Tian pudieron demostrar la cuantificación de energía en momentos singulares, lo que significa que la energía de Dirichlet de la solución débil de Struwe, en un momento singular, cae exactamente en la suma de las energías de Dirichlet totales de las burbujas correspondientes a las singularidades en ese momento. . ^[24]

Struwe pudo posteriormente adaptar sus métodos a dimensiones superiores, en el caso de que el dominio múltiple sea el espacio euclidiano ; ^{[25] él y Yun Mei Chen también consideraron} variedades cerradas de dimensiones superiores . ^[26] Sus resultados lograron menos que en dimensiones bajas, y solo pudieron demostrar la existencia de soluciones débiles que son suaves en subconjuntos densos abiertos.

La fórmula de Bochner y la rigidez.

El principal punto computacional en la demostración del teorema de Eells y Sampson es una adaptación de la fórmula de Bochner al establecimiento de un mapa armónico de flujo de calor { f _t  : 0 < t < T } . Esta fórmula dice ^[27]

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big )}e(f)=-{\big |}\nabla (df){\big |}^{2}-{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

Esto también es de interés en el análisis de mapas armónicos. Supongamos que f  : M → N es armónico; cualquier mapa armónico puede verse como una solución en t constante del flujo de calor del mapa armónico, por lo que de la fórmula anterior se obtiene que ^[28]

${\displaystyle \Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

Si la curvatura de Ricci de g es positiva y la curvatura seccional de h no es positiva, entonces esto implica que ∆ e ( f ) no es negativa. Si M es cerrado, entonces la multiplicación por e ( f ) y una sola integración por partes muestra que e ( f ) debe ser constante y, por tanto, cero; por tanto, f debe ser constante. ^[29] Richard Schoen y Shing-Tung Yau observaron que este razonamiento se puede extender a M no compacto haciendo uso del teorema de Yau que afirma que las funciones subarmónicas no negativas que están limitadas por L 2 deben ser constantes. ^[30] En resumen, según estos resultados, se tiene:

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades riemannianas suaves y completas, y sea f una aplicación armónica de M a N. Supongamos que la curvatura de Ricci de g es positiva y la curvatura seccional de h no es positiva.

• Si M y N son ambos cerrados, entonces f debe ser constante.
• Si N es cerrado y f tiene energía de Dirichlet finita, entonces debe ser constante.

En combinación con el teorema de Eells-Sampson, esto muestra (por ejemplo) que si ( M , g ) es una variedad de Riemann cerrada con curvatura de Ricci positiva y ( N , h ) es una variedad de Riemann cerrada con curvatura seccional no positiva, entonces todo continuo el mapa de M a N es homotópico a una constante.

La idea general de deformar un mapa general a un mapa armónico y luego mostrar que dicho mapa armónico debe ser automáticamente de una clase altamente restringida ha encontrado muchas aplicaciones. Por ejemplo, Yum-Tong Siu encontró una importante versión analítica compleja de la fórmula de Bochner, afirmando que un mapa armónico entre variedades de Kähler debe ser holomórfico, siempre que la variedad objetivo tenga una curvatura negativa apropiada. ^[31] Como aplicación, al hacer uso del teorema de existencia de Eells-Sampson para mapas armónicos, pudo demostrar que si ( M , g ) y ( N , h ) son variedades de Kähler suaves y cerradas, y si la curvatura de ( N , h ) es apropiadamente negativo, entonces M y N deben ser biholomórficos o antibiholomórficos si son homotópicos entre sí; el biholomorfismo (o anti-biholomorfismo) es precisamente el mapa armónico producido como límite del flujo de calor del mapa armónico con datos iniciales dados por la homotopía. Mediante una formulación alternativa del mismo enfoque, Siu pudo demostrar una variante de la conjetura de Hodge aún sin resolver , aunque en el contexto restringido de la curvatura negativa.

Kevin Corlette encontró una extensión significativa de la fórmula de Bochner de Siu y la utilizó para demostrar nuevos teoremas de rigidez para redes en ciertos grupos de Lie . ^[32] Después de esto, Mikhael Gromov y Richard Schoen ampliaron gran parte de la teoría de los mapas armónicos para permitir que ( N , h ) fuera reemplazado por un espacio métrico . ^[33] Mediante una extensión del teorema de Eells-Sampson junto con una extensión de la fórmula de Siu-Corlette Bochner, pudieron demostrar nuevos teoremas de rigidez para redes.

Problemas y aplicaciones

• Los resultados de existencia en mapas armónicos entre variedades tienen consecuencias para su curvatura .
• Una vez que se conoce la existencia, ¿cómo se puede construir explícitamente un mapa armónico? (Un método fructífero utiliza la teoría de los twistores ).
• En física teórica , se conoce como modelo sigma a una teoría cuántica de campos cuya acción está dada por la energía de Dirichlet . En tal teoría, los mapas armónicos corresponden a instantones .
• Una de las ideas originales en los métodos de generación de cuadrículas para la dinámica de fluidos computacional y la física computacional fue utilizar mapeo conforme o armónico para generar cuadrículas regulares.

Mapas armónicos entre espacios métricos.

La integral de energía se puede formular en una configuración más débil para funciones u  : M → N entre dos espacios métricos . El integrando de energía es, en cambio, una función de la forma

${\displaystyle e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}}$

en el que µ^ε
_xes una familia de medidas adjuntas a cada punto de M . ^[34]

Ver también

• flujo geométrico

Referencias

Notas a pie de página

1. Eells & Sampson 1964, Sección 11A.
2. Sacos y Uhlenbeck 1981.
3. Schoen y Uhlenbeck 1982; Schoen y Uhlenbeck 1983.
4. Aubin 1998, p.6; Hélein 2002, p.6; Jost 2017, p.489; Lin y Wang 2008, p.2.
5. Aubin 1998, p.349; Eells y Lemaire 1978, pág.9; Eells y Lemaire 1983, p.15; Hamilton 1975, p.4.
6. Aubin 1998, Definición 10.2; Eells y Lemaire 1978, pág.9; Eells y Lemaire 1983, p.15; Eells y Sampson 1964, Sección 2B; Hamilton 1975, p.4; Lin y Wang 2008, p.3.
7. Eells y Lemaire 1978, p.8; Eells y Lemaire 1983, p.13; Hamilton 1975, p.3.
8. Eells y Lemaire 1983, p.4.
9. Eells y Lemaire 1978, p.8; Eells y Sampson 1964, Sección 3B; Hamilton 1975, p.4.
10. Eells y Lemaire 1978, p.9; Hamilton 1975, p.4; Jost 2017, p.494.
11. Aubin 1998, Definición 10.1; Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.13; Hélein 2002, p.7; Jost 2017, p.489; Lin y Wang 2008, p.1; Schoen y Yau 1997, p.1.
12. Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.13; Jost 2017, p.490-491.
13. Aubin 1998, Definición 10.1; Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.13; Eells y Sampson 1964, Sección 1A; Jost 2017, p.490-491; Schoen y Yau 1997, p.1.
14. Aubin 1998, Definición 10.1; Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.13; Eells y Sampson 1964, Sección 1A; Hélein 2002, p.7; Jost 2017, p.491; Lin y Wang 2008, p.1; Schoen y Yau 1997, p.2.
15. Aubin 1998, Proposición 10.2; Eells y Lemaire 1978, p.11; Eells y Lemaire 1983, p.14; Eells y Sampson 1964, Sección 2B; Jost 2017, Fórmula 9.1.13.
16. Hamilton 1975, p.135.
17. Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.28; Lin y Wang 2008, Proposición 1.6.2.
18. Aubin 1998, Definición 10.3; Eells y Lemaire 1978, p.11; Eells y Lemaire 1983, p.14.
19. Esto significa que, en relación con cualquier gráfico de coordenadas locales, se tiene una convergencia uniforme en conjuntos compactos de funciones y sus primeras derivadas parciales.
20. Hartman 1967, Teorema B.
21. Hamilton 1975, páginas 157-161.
22. Chang, Ding y Ye 1992; Lin y Wang 2008, sección 6.3.
23. Struwe 1985.
24. Ding y Tian 1995.
25. Struwe 1988.
26. Chen y Struwe 1989.
27. Eells y Sampson 1964, Sección 8A; Hamilton 1975, páginas 128-130; Lin y Wang 2008, Lema 5.3.3.
28. Aubin 1998, Lema 10.11; Eells y Sampson 1964, Sección 3C; Jost 1997, Fórmula 5.1.18; Jost 2017, Fórmula 9.2.13; Lin y Wang 2008, Teorema 1.5.1.
29. Aubin 1998, Corolario 10.12; Eells y Sampson 1964, Sección 3C; Jost 1997, Teorema 5.1.2; Jost 2017, Corolario 9.2.3; Lin y Wang 2008, Proposición 1.5.2.
30. Schoen y Yau 1976, páginas 336-337.
31. Siu 1980.
32. Corlette 1992.
33. Gromov y Schoen 1992.
34. Jost 1994, Definición 1.1.

Artículos

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enlaces externos

• MathWorld: mapa armónico
• Bibliografía de mapas armónicos
• La bibliografía de los morfismos armónicos