Subanillo de punto fijo

En álgebra , el subanillo de punto fijo de un automorfismo f de un anillo R es el subanillo de los puntos fijos de f , es decir, ${\displaystyle R^{f}}$

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

De manera más general, si G es un grupo que actúa sobre R , entonces el subanillo de R

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r,\,g\in G\}}$

se denomina subanillo fijo o, más tradicionalmente, anillo de invariantes bajo G . Si S es un conjunto de automorfismos de R , los elementos de R que están fijados por los elementos de S forman el anillo de invariantes bajo el grupo generado por S . En particular, el subanillo de punto fijo de un automorfismo f es el anillo de invariantes del grupo cíclico generado por f .

En la teoría de Galois , cuando R es un campo y G es un grupo de automorfismos de campo, el anillo fijo es un subcampo llamado campo fijo del grupo de automorfismos; véase Teorema fundamental de la teoría de Galois .

Junto con un módulo de covariantes , el anillo de invariantes es un objeto central de estudio en la teoría de invariantes . Geométricamente, los anillos de invariantes son los anillos de coordenadas de los cocientes GIT (afines o proyectivos) y juegan papeles fundamentales en las construcciones en la teoría de invariantes geométrica .

Ejemplo : Sea un anillo de polinomios de n variables. El grupo simétrico S _n actúa sobre R permutando las variables. Entonces el anillo de invariantes es el anillo de polinomios simétricos . Si un grupo algebraico reductivo G actúa sobre R , entonces el teorema fundamental de la teoría de invariantes describe los generadores de R ^G . ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R^{G}=k[x_{1},\dots ,x_{n}]^{\operatorname {S} _{n}}}$

El decimocuarto problema de Hilbert pregunta si el anillo de invariantes es finitamente generado o no (la respuesta es afirmativa si G es un grupo algebraico reductivo por el teorema de Nagata). La generación finita se ve fácilmente para un grupo finito G que actúa sobre un álgebra finitamente generada R : dado que R es integral sobre R ^G , ^[1] el lema de Artin-Tate implica que R ^G es un álgebra finitamente generada. La respuesta es negativa para algunos grupos unipotentes .

Sea G un grupo finito. Sea S el álgebra simétrica de un módulo G de dimensión finita . Entonces G es un grupo de reflexión si y sólo si es un módulo libre (de rango finito ) sobre S ^G (teorema de Chevalley). ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle S}$

En geometría diferencial , si G es un grupo de Lie y su álgebra de Lie , entonces cada fibrado principal G en una variedad M determina un homomorfismo de álgebra graduada (llamado homomorfismo de Chern-Weil ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )}$

donde es el anillo de funciones polinomiales en y G actúa sobre por representación adjunta . ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$

Véase también

• Variedad de personajes

Notas

1. Dado r en R , el polinomio es un polinomio mónico sobre R ^G y tiene r como una de sus raíces. ${\displaystyle \prod _{g\in G}(t-g\cdot r)}$

Referencias

• Mukai, Shigeru; Oxbury, WM (8 de septiembre de 2003) [1998], Introducción a los invariantes y módulos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 81, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80906-1, Sr.  2004218
• Springer, Tonny A. (1977), Teoría invariante , Apuntes de clase sobre matemáticas, vol. 585, Springer