Álgebra generada finitamente

En matemáticas , un álgebra generada finitamente (también llamada álgebra de tipo finito ) es un álgebra asociativa conmutativa A sobre un campo K donde existe un conjunto finito de elementos a ₁ ,..., an _de A tal que cada elemento de A se puede expresar como un polinomio en a ₁ ,..., an _, con coeficientes en K .

De manera equivalente, existen elementos tales que el homomorfismo de evaluación en ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

es sobreyectivo ; así, aplicando el primer teorema del isomorfismo ,. ${\displaystyle A\simeq K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$

Por el contrario , para cualquier ideal es un -álgebra de tipo finito, de hecho, cualquier elemento de es un polinomio en las clases laterales con coeficientes en . Por lo tanto, obtenemos la siguiente caracterización de -álgebras generadas finitamente ^[1] ${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle A}$es un álgebra generada finitamente si y sólo si es isomorfa a un anillo cociente del tipo por un ideal . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$

Si es necesario enfatizar el campo K entonces se dice que el álgebra está generada finitamente sobre K. Las álgebras que no se generan de forma finita se llaman generadas infinitamente .

Ejemplos

• El álgebra polinómica K [ x ₁ ,..., x _n  ] se genera de forma finita. El álgebra polinómica en infinitos generadores numerables se genera infinitamente.
• El campo E  =  K ( t ) de funciones racionales en una variable sobre un campo infinito K no es un álgebra generada finitamente sobre K. Por otro lado, E se genera sobre K mediante un solo elemento, t , como campo .
• Si E / F es una extensión de campo finito , de las definiciones se deduce que E es un álgebra generada finitamente sobre F .
• Por el contrario, si E / F es una extensión de campo y E es un álgebra generada finitamente sobre F, entonces la extensión de campo es finita. Esto se llama lema de Zariski . Véase también extensión integral .
• Si G es un grupo finitamente generado , entonces el álgebra de grupos KG es un álgebra finitamente generada sobre K.

Propiedades

• Una imagen homomórfica de un álgebra generada finitamente es en sí misma generada finitamente. Sin embargo, una propiedad similar para las subálgebras no se cumple en general.
• Teorema de la base de Hilbert : si A es un álgebra conmutativa generada finitamente sobre un anillo noetheriano, entonces todo ideal de A se genera finitamente o, de manera equivalente, A es un anillo noetheriano.

Relación con variedades afines

Las álgebras conmutativas reducidas finitamente generadas son objetos básicos de consideración en la geometría algebraica moderna , donde corresponden a variedades algebraicas afines ; por esta razón, estas álgebras también se denominan álgebras afines (conmutativas) . Más precisamente, dado un conjunto algebraico afín podemos asociar un -álgebra generada finitamente ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

llamado anillo de coordenadas afines de ; además, si es un mapa regular entre los conjuntos algebraicos afines y , podemos definir un homomorfismo de -álgebras ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

entonces, es un funtor contravariante de la categoría de conjuntos algebraicos afines con aplicaciones regulares a la categoría de -álgebras reducidas finitamente generadas : este functor resulta ^[2] ser una equivalencia de categorías ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic sets}})^{\rm {opp}}\to ({\text{reduced finitely generated }}K{\text{-algebras}}),}$

y, restringiéndose a variedades afines (es decir, conjuntos algebraicos afines irreducibles ),

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).}$

Álgebras finitas versus álgebras de tipo finito

Recordemos que un álgebra conmutativa es un homomorfismo de anillo ; la estructura del módulo está definida por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi \colon R\to A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

Un -álgebra se llama finita si se genera de forma finita como un -módulo, es decir, hay un homomorfismo sobreyectivo de -módulos ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

Nuevamente, existe una caracterización de álgebras finitas en términos de cocientes ^[3]

Un -álgebra es finito si y sólo si es isomorfo a un cociente por un -submódulo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M\subseteq R}$

Por definición, un álgebra finita es de tipo finito, pero lo contrario es falso: el anillo polinomial es de tipo finito pero no finito. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Las álgebras finitas y las álgebras de tipo finito están relacionadas con las nociones de morfismos finitos y morfismos de tipo finito .

Referencias

1. Kemper, Gregor (2009). Un curso de álgebra conmutativa. Saltador. pag. 8.ISBN​ 978-3-642-03545-6.
2. Görtz, Ulrich ; Wedhorn, Torsten (2010). Geometría Algebraica I. Esquemas con Ejemplos y Ejercicios. Saltador. pag. 19. doi :10.1007/978-3-8348-9722-0. ISBN 978-3-8348-0676-5.
3. Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian Grant (1994). Introducción al álgebra conmutativa. Prensa CRC. pag. 21.ISBN​ 9780201407518.

Ver también

• Módulo generado finitamente
• Extensión de campo generada de forma finita
• Lema de Artin-Tate
• álgebra finita
• Morfismo de tipo finito