El lema de Zariski

En álgebra , el lema de Zariski , demostrado por Oscar Zariski  (1947), establece que, si un cuerpo K es finitamente generado como un álgebra asociativa sobre otro cuerpo k , entonces K es una extensión finita de cuerpo de k (es decir, también es finitamente generado como un espacio vectorial ).

Una aplicación importante del lema es una prueba de la forma débil del Nullstellensatz de Hilbert : ^[1] si I es un ideal propio de ( k un cuerpo algebraicamente cerrado ), entonces I tiene un cero; es decir, hay un punto x en tal que para todo f en I . (Demostración: reemplazando I por un ideal maximal , podemos suponer que es maximal. Sea y la sobreyección natural. Por el lema es una extensión finita. Como k es algebraicamente cerrado, esa extensión debe ser k . Entonces, para cualquier , ${\displaystyle k[t_{1},...,t_{n}]}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A=k[t_{1},...,t_{n}]}$ ${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle f(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))=\phi (f(t_{1},\cdots ,t_{n}))=0}$;

es decir, es un cero de .) ${\displaystyle x=(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

El lema también puede entenderse desde la siguiente perspectiva. En general, un anillo R es un anillo de Jacobson si y solo si cada R -álgebra finitamente generada que sea un cuerpo es finita sobre R . ^[2] Por lo tanto, el lema se deduce del hecho de que un cuerpo es un anillo de Jacobson.

Pruebas

En Atiyah–MacDonald se dan dos pruebas directas; ^{[3] [4]} una se debe a Zariski y la otra utiliza el lema de Artin–Tate . Para la prueba original de Zariski, véase el artículo original. ^[5] A continuación se da otra prueba directa en el lenguaje de los anillos de Jacobson . El lema también es una consecuencia del lema de normalización de Noether . De hecho, por el lema de normalización, K es un módulo finito sobre el anillo polinomial donde son elementos de K que son algebraicamente independientes sobre k . Pero como K tiene dimensión de Krull cero y como una extensión de anillo integral (por ejemplo, una extensión de anillo finito) conserva las dimensiones de Krull, el anillo polinomial debe tener dimensión cero; es decir, . ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ${\displaystyle d=0}$

La siguiente caracterización de un anillo de Jacobson contiene el lema de Zariski como caso especial. Recordemos que un anillo es un anillo de Jacobson si cada ideal primo es una intersección de ideales maximales. (Cuando A es un cuerpo, A es un anillo de Jacobson y el teorema que se presenta a continuación es precisamente el lema de Zariski).

Teorema  —  ^[2] Sea A un anillo. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. A es un anillo de Jacobson.
2. Toda A -álgebra B finitamente generada que sea un campo es finita sobre A.

Demostración: 2. 1.: Sea un ideal primo de A y conjunto . Necesitamos demostrar que el radical de Jacobson de B es cero. Para ello, sea f un elemento distinto de cero de B . Sea un ideal maximal de la localización . Entonces es un campo que es una A -álgebra finitamente generada y, por lo tanto, es finito sobre A por suposición; por lo tanto, es finito sobre y, por lo tanto, es finito sobre el subanillo donde . Por integralidad, es un ideal maximal que no contiene a f . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle B[f^{-1}]}$ ${\displaystyle B[f^{-1}]/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B/{\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {m}}\cap B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

1. 2.: Como un anillo factorial de un anillo de Jacobson es Jacobson, podemos suponer que B contiene a A como subanillo. Entonces la afirmación es una consecuencia del siguiente hecho algebraico: ${\displaystyle \Rightarrow }$

(*) Sean dominios enteros tales que B se genera finitamente como A -álgebra. Entonces existe un a distinto de cero en A tal que todo homomorfismo de anillo , K un cuerpo algebraicamente cerrado, con se extiende a . ${\displaystyle B\supseteq A}$ ${\displaystyle \phi :A\to K}$ ${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$

De hecho, elijamos un ideal maximalista de A que no contenga a . Escribiendo K para algún cierre algebraico de , la función canónica se extiende a . Como B es un cuerpo, es inyectiva y, por lo tanto, B es algebraica (por lo tanto, algebraica finita) sobre . Ahora demostramos (*). Si B contiene un elemento que es trascendental sobre A , entonces contiene un anillo polinomial sobre A al que se extiende φ (sin un requisito sobre a ) y, por lo tanto, podemos suponer que B es algebraica sobre A (por el lema de Zorn, digamos). Sean los generadores de B como A -álgebra. Entonces, cada uno satisface la relación ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}\hookrightarrow K}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle a_{i0}x_{i}^{n}+a_{i1}x_{i}^{n-1}+\dots +a_{in}=0,\,\,a_{ij}\in A}$

donde n depende de i y . Fijemos . Entonces es integral sobre . Ahora dado , primero lo extendemos a fijando . A continuación, sea . Por integralidad, para algún ideal máximo de . Entonces se extiende a . Restringimos la última función a B para terminar la prueba. ${\displaystyle a_{i0}\neq 0}$ ${\displaystyle a=a_{10}a_{20}\dots a_{r0}}$ ${\displaystyle B[a^{-1}]}$ ${\displaystyle A[a^{-1}]}$ ${\displaystyle \phi :A\to K}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to K}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(a^{-1})=\phi (a)^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ker} {\widetilde {\phi }}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap A[a^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle B[a^{-1}]}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to A[a^{-1}]/{\mathfrak {m}}\to K}$ ${\displaystyle B[a^{-1}]\to B[a^{-1}]/{\mathfrak {n}}\to K}$ ${\displaystyle \square }$

Notas

1. Milne 2017, Teorema 2.12.
2. Atiyah y MacDonald 1969, Cap. 5. Ejercicio 25.
3. Atiyah y MacDonald 1969, Cap. 5. Ejercicio 18.
4. Atiyah y MacDonald 1969, Proposición 7.9.
5. Zariski 1947, págs. 362–368.

Fuentes

• Atiyah, Michael ; MacDonald, Ian G. (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Serie Addison-Wesley en matemáticas. Addison–Wesley . ISBN 0-201-40751-5.
• Milne, James (19 de marzo de 2017). «Geometría algebraica» . Consultado el 1 de febrero de 2022 .
• Zariski, Oscar (abril de 1947). "Una nueva prueba del Nullstellensatz de Hilbert". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 53 (4): 362–368. doi : 10.1090/s0002-9904-1947-08801-7 . MR  0020075.