Lema Artin-Tate

En álgebra , el lema de Artin-Tate , llamado así por John Tate y su ex asesor Emil Artin , establece: ^[1]

Sea A un anillo noetheriano conmutativo y álgebras conmutativas sobre A . Si C es de tipo finito sobre A y si C es finito sobre B , entonces B es de tipo finito sobre A . ${\displaystyle B\subset C}$

(Aquí, "de tipo finito" significa " álgebra finitamente generada " y "finito" significa " módulo finitamente generado ".) El lema fue introducido por E. Artin y J. Tate en 1951 ^[2] para dar una prueba del Nullstellensatz de Hilbert .

El lema es similar al teorema de Eakin-Nagata , que dice: si C es finito sobre B y C es un anillo noetheriano, entonces B es un anillo noetheriano.

Prueba

La siguiente demostración se puede encontrar en Atiyah–MacDonald. ^[3] Sea genera como un -álgebra y sea genera como un -módulo. Entonces podemos escribir ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{and}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}}$

con . Entonces es finito sobre el -álgebra generada por el . Usando eso y por lo tanto es noetheriano, también es finito sobre . Dado que es un -álgebra finitamente generada , también es un -álgebra finitamente generada. ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Noetheriano necesario

Sin la suposición de que A es noetheriano, el enunciado del lema de Artin-Tate ya no es verdadero. De hecho, para cualquier anillo no noetheriano A podemos definir una estructura de A -álgebra sobre declarando . Entonces, para cualquier ideal que no se genere finitamente, no es de tipo finito sobre A , pero se satisfacen todas las condiciones como en el lema. ${\displaystyle C=A\oplus A}$ ${\displaystyle (a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)}$ ${\displaystyle I\subset A}$ ${\displaystyle B=A\oplus I\subset C}$

Referencias

1. Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 , Ejercicio 4.32
2. E Artin, JT Tate, "Una nota sobre extensiones de anillos finitos", J. Math. Soc Japan, Volumen 3, 1951, págs. 74-77
3. M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison–Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5 . Proposición 7.8 

Enlaces externos

• http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin%E2%80%93Tate_lemma/Artin-Tate_lemma