Lema de Artin-Tate

En álgebra , el lema de Artin-Tate , que lleva el nombre de John Tate y su ex asesor Emil Artin , establece: ^[1]

Sea A un anillo noetheriano conmutativo y álgebras conmutativas sobre A. Si C es de tipo finito sobre A y si C es finito sobre B , entonces B es de tipo finito sobre A . ${\displaystyle B\subset C}$

(Aquí, "de tipo finito" significa " álgebra generada finitamente " y "finito" significa " módulo generado finitamente ".) El lema fue introducido por E. Artin y J. Tate en 1951 ^[2] para dar una prueba del Nullstellensatz de Hilbert. .

El lema es similar al teorema de Eakin-Nagata , que dice: si C es finito sobre B y C es un anillo noetheriano, entonces B es un anillo noetheriano.

Prueba

La siguiente prueba se puede encontrar en Atiyah-MacDonald. ^[3] Generemos como un álgebra y generemos como un módulo. Entonces podemos escribir ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{and}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}}$

con . Entonces es finito sobre el -álgebra generada por . Usar eso y por lo tanto es noetheriano, también es finito . Dado que es un álgebra finitamente generada , también lo es un álgebra finitamente generada . ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Noetheriano necesario

Sin el supuesto de que A es noetheriano, el enunciado del lema de Artin-Tate ya no es cierto. De hecho, para cualquier anillo A no noetheriano podemos definir una estructura de álgebra A declarando . Entonces, para cualquier ideal que no se genere de forma finita, no es de tipo finito sobre A , pero se satisfacen todas las condiciones como en el lema. ${\displaystyle C=A\oplus A}$ ${\displaystyle (a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)}$ ${\displaystyle I\subset A}$ ${\displaystyle B=A\oplus I\subset C}$

Referencias

1. Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 , Ejercicio 4.32
2. E Artin, JT Tate, "Una nota sobre las extensiones de anillos finitos", J. Math. Soc Japan, volumen 3, 1951, págs. 74–77
3. M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5 . Proposición 7.8 

enlaces externos

• http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin%E2%80%93Tate_lemma/Artin-Tate_lemma