En matemáticas , la fórmula de Thomae es una fórmula introducida por Carl Johannes Thomae (1870) que relaciona las constantes theta con los puntos de ramificación de una curva hiperelíptica (Mumford 1984, sección 8).
En 1824, el teorema de Abel-Ruffini estableció que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no podían tener soluciones en radicales . Desde entonces, los matemáticos entendieron que era necesario ir más allá de los radicales para expresar las soluciones de las ecuaciones de quinto grado y superiores. En 1858, Charles Hermite , Leopold Kronecker y Francesco Brioschi descubrieron de forma independiente que la ecuación de quinto grado podía resolverse con trascendentes elípticos . Esto resultó ser una generalización del radical, que puede escribirse como: Con la restricción a solo esta exponencial, como lo muestra la teoría de Galois , solo se pueden construir composiciones de extensiones abelianas , lo que es suficiente solo para ecuaciones de cuarto grado y menores. Se requiere algo más general para ecuaciones de grado superior, por lo que para resolver la ecuación de quinto grado, Hermite, et al. reemplazaron la exponencial por una función modular elíptica y la integral (logaritmo) por una integral elíptica . Kronecker creía que este era un caso especial de un método aún más general. [1] Camille Jordan demostró [2] que cualquier ecuación algebraica puede resolverse mediante el uso de funciones modulares. Esto fue logrado por Thomae en 1870. [3] Thomae generalizó el enfoque de Hermite al reemplazar la función modular elíptica con formas modulares de Siegel aún más generales y la integral elíptica por una integral hiperelíptica . Hiroshi Umemura [4] expresó estas funciones modulares en términos de funciones theta de género superior .
Si tenemos una función polinómica : con irreducibilidad sobre un cierto subcuerpo de los números complejos, entonces sus raíces pueden expresarse mediante la siguiente ecuación que involucra funciones theta de argumento cero ( constantes theta ): donde es la matriz de período derivada de una de las siguientes integrales hiperelípticas. Si es de grado impar, entonces, O si es de grado par, entonces,
Esta fórmula se aplica a cualquier ecuación algebraica de cualquier grado sin necesidad de una transformación de Tschirnhaus ni de ninguna otra manipulación para llevar la ecuación a una forma normal específica, como la forma Bring-Jerrard para la ecuación de quinto grado. Sin embargo, la aplicación de esta fórmula en la práctica es difícil porque las integrales hiperelípticas relevantes y las funciones de género theta superiores son muy complejas.
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a23a92a1b3e0e686b808666abbe231cdcbfa00)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}={}&\left[\theta \left({\begin{matriz}1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matriz}1&1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0&0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}\\[6pt]&{}+\left[\theta \left({\begin{matriz}0&\cdots &0\\0&\cdots &0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matriz}0&1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}\\[6pt]&{}-{\frac {\left[\theta \left({\begin{matriz}0&0&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matriz}0&1&0&\cdots &0\\1&0&\cdots &0&0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}}{2\left[\theta \left({\begin{matriz}1&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}\left[\theta \left({\begin{matriz}1&1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0\end{matriz}}\right)(\Omega )\right]^{4}}}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6420910c1cbb4e53beed6069864184ef17a1f7fc)
