Extensión separable

Tipo de extensión de campo algebraico

En teoría de campos , una rama del álgebra , una extensión de campo algebraico se denomina extensión separable si para cada , el polinomio mínimo de sobre F es un polinomio separable (es decir, su derivada formal no es el polinomio cero o, equivalentemente, no tiene raíces repetidas en ningún campo de extensión). ^[1] También existe una definición más general que se aplica cuando E no es necesariamente algebraico sobre F . Una extensión que no es separable se dice que es inseparable . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle \alpha }$

Toda extensión algebraica de un cuerpo de característica cero es separable, y toda extensión algebraica de un cuerpo finito es separable. ^[2] De ello se deduce que la mayoría de las extensiones que se consideran en matemáticas son separables. No obstante, el concepto de separabilidad es importante, ya que la existencia de extensiones inseparables es el principal obstáculo para extender muchos teoremas demostrados en característica cero a característica distinta de cero. Por ejemplo, el teorema fundamental de la teoría de Galois es un teorema sobre extensiones normales , que sigue siendo cierto en característica distinta de cero solo si se supone que las extensiones también son separables. ^[3]

El concepto opuesto, una extensión puramente inseparable , también ocurre naturalmente, ya que cada extensión algebraica puede descomponerse únicamente como una extensión puramente inseparable de una extensión separable. Una extensión algebraica de cuerpos de característica distinta de cero p es una extensión puramente inseparable si y solo si para cada , el polinomio mínimo de sobre F no es un polinomio separable, o, equivalentemente, para cada elemento x de E , existe un entero positivo k tal que . ^[4] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$

El ejemplo no trivial más simple de una extensión (puramente) inseparable es , campos de funciones racionales en el indeterminado x con coeficientes en el cuerpo finito . El elemento tiene polinomio mínimo , que tiene y una raíz múltiple de p -fold, como . Esta es una extensión algebraica simple de grado p , como , pero no es una extensión normal ya que el grupo de Galois es trivial . ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$ ${\displaystyle f'(X)=0}$ ${\displaystyle f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]}$ ${\displaystyle E=F[x]}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$

Discusión informal

Se dice que un polinomio arbitrario f con coeficientes en algún campo F tiene raíces distintas o es libre de cuadrados si tiene raíces deg f en algún campo de extensión . Por ejemplo, el polinomio g ( X ) = X ² − 1 tiene precisamente raíces deg  g = 2 en el plano complejo ; es decir, 1 y −1 , y por lo tanto tiene raíces distintas. Por otro lado, el polinomio h ( X ) = ( X − 2) ² , que es el cuadrado de un polinomio no constante, no tiene raíces distintas, ya que su grado es dos, y 2 es su única raíz. ${\displaystyle E\supseteq F}$

Todo polinomio puede factorizarse en factores lineales sobre una clausura algebraica del campo de sus coeficientes. Por lo tanto, el polinomio no tiene raíces distintas si y solo si es divisible por el cuadrado de un polinomio de grado positivo. Esto es así si y solo si el máximo común divisor del polinomio y su derivada no es una constante. Por lo tanto, para comprobar si un polinomio es libre de cuadrados, no es necesario considerar explícitamente ninguna extensión del campo ni calcular las raíces.

En este contexto, el caso de los polinomios irreducibles requiere cierto cuidado. A priori, puede parecer que ser divisible por un cuadrado es imposible para un polinomio irreducible , que no tiene divisor no constante excepto él mismo. Sin embargo, la irreducibilidad depende del campo ambiente, y un polinomio puede ser irreducible sobre F y reducible sobre alguna extensión de F . De manera similar, la divisibilidad por un cuadrado depende del campo ambiente. Si un polinomio irreducible f sobre F es divisible por un cuadrado sobre alguna extensión de campo, entonces (por la discusión anterior) el máximo común divisor de f y su derivada f ′ no es constante. Nótese que los coeficientes de f ′ pertenecen al mismo campo que los de f , y el máximo común divisor de dos polinomios es independiente del campo ambiente, por lo que el máximo común divisor de f y f ′ tiene coeficientes en F . Dado que f es irreducible en F , este máximo común divisor es necesariamente f mismo. Como el grado de f ′ es estrictamente menor que el grado de f , se deduce que la derivada de f es cero, lo que implica que la característica del campo es un número primo p , y f puede escribirse

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

Un polinomio como éste, cuya derivada formal es cero, se dice que es inseparable . Los polinomios que no son inseparables se dicen que son separables . Una extensión separable es una extensión que puede generarse por elementos separables , es decir, elementos cuyos polinomios mínimos son separables.

Polinomios separables e inseparables

Un polinomio irreducible f en F [ X ] es separable si y solo si tiene raíces distintas en cualquier extensión de F (es decir, si puede factorizarse en factores lineales distintos sobre una clausura algebraica de F ) . ^[5] Sea f en F [ X ] un polinomio irreducible y f ' su derivada formal . Entonces las siguientes son condiciones equivalentes para que el polinomio irreducible f sea separable:

• Si E es una extensión de F en la que f es un producto de factores lineales, entonces ningún cuadrado de estos factores divide a f en E [ X ] (es decir, f es libre de cuadrados sobre E ). ^[6]
• Existe una extensión E de F tal que f tiene raíces deg( f ) distintas por pares en E . ^[6]
• La constante 1 es un polinomio máximo común divisor de f y f ' . ^[7]
• La derivada formal f ' de f no es el polinomio cero. ^[8]
• O bien la característica de F es cero, o bien la característica es p , y f no es de la forma ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.}$

Como la derivada formal de un polinomio de grado positivo puede ser cero solo si el cuerpo tiene característica prima, para que un polinomio irreducible no sea separable, sus coeficientes deben estar en un cuerpo de característica prima. De manera más general, un polinomio irreducible (distinto de cero) f en F [ X ] no es separable, si y solo si la característica de F es un número primo (distinto de cero) p , y f ( X )= g ( X ^p ) para algún polinomio irreducible g en F [ X ] . ^[9] Mediante la aplicación repetida de esta propiedad, se sigue que, de hecho, para un entero no negativo n y algún polinomio irreducible separable g en F [ X ] (donde se supone que F tiene característica prima p ). ^[10] ${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$

Si el endomorfismo de Frobenius de F no es sobreyectivo, existe un elemento que no es una potencia p de un elemento de F . En este caso, el polinomio es irreducible e inseparable. Por el contrario, si existe un polinomio irreducible (distinto de cero) inseparable en F [ X ] , entonces el endomorfismo de Frobenius de F no puede ser un automorfismo , ya que, de lo contrario, tendríamos para algún , y el polinomio f se factorizaría como ^[11] ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle X^{p}-a}$ ${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$ ${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$

Si K es un cuerpo finito de característica prima p , y si X es un indeterminado , entonces el cuerpo de funciones racionales sobre K , K ( X ) , es necesariamente imperfecto , y el polinomio f ( Y )= Y ^p − X es inseparable (su derivada formal en Y es 0). ^[1] De manera más general, si F es cualquier cuerpo de característica prima (no nula) para el cual el endomorfismo de Frobenius no es un automorfismo, F posee una extensión algebraica inseparable. ^[12]

Un cuerpo F es perfecto si y solo si todos los polinomios irreducibles son separables. De ello se deduce que F es perfecto si y solo si F tiene característica cero o F tiene característica prima p (no cero) y el endomorfismo de Frobenius de F es un automorfismo. Esto incluye todo cuerpo finito.

Elementos separables y extensiones separables

Sea una extensión de campo. Un elemento es separable sobre F si es algebraico sobre F y su polinomio mínimo es separable (el polinomio mínimo de un elemento es necesariamente irreducible). ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$

Si son separables sobre F , entonces , y son separables sobre F . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha \beta }$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Por lo tanto, el conjunto de todos los elementos de E separables en F forma un subcuerpo de E , llamado clausura separable de F en E . ^[13]

El cierre separable de F en un cierre algebraico de F se denomina simplemente cierre separable de F. Al igual que el cierre algebraico, es único hasta un isomorfismo y, en general, este isomorfismo no es único.

Una extensión de campo es separable si E es el cierre separable de F en E. Este es el caso si y solo si E es generado sobre F por elementos separables. ${\displaystyle E\supseteq F}$

Si son extensiones de campo, entonces E es separable sobre F si y sólo si E es separable sobre L y L es separable sobre F. ^[14 ] ${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$

Si es una extensión finita (es decir, E es un F - espacio vectorial de dimensión finita ), entonces los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle E\supseteq F}$

1. E esseparable sobre F.
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$donde son elementos separables de E . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$
3. ${\displaystyle E=F(a)}$donde a es un elemento separable de E .
4. Si K es un cierre algebraico de F , entonces hay exactamente homomorfismos de campo de E en K que fijan F . ${\displaystyle [E:F]}$
5. Para cualquier extensión normal K de F que contenga E , entonces hay exactamente homomorfismos de campo de E en K que fijan F . ${\displaystyle [E:F]}$

La equivalencia de 3. y 1. se conoce como teorema de los elementos primitivos o teorema de Artin sobre los elementos primitivos . Las propiedades 4. y 5. son la base de la teoría de Galois y, en particular, del teorema fundamental de la teoría de Galois .

Extensiones separables dentro de extensiones algebraicas

Sea una extensión algebraica de cuerpos de característica p . La clausura separable de F en E es Para cada elemento existe un entero positivo k tal que y por tanto E es una extensión puramente inseparable de S . De ello se deduce que S es el único cuerpo intermedio que es separable sobre F y sobre el cual E es puramente inseparable . ^[15] ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$ ${\displaystyle x\in E\setminus S}$ ${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$

Si es una extensión finita , su grado [ E  : F ] es el producto de los grados [ S  : F ] y [ E  : S ] . El primero, a menudo denominado [ E  : F ] _sep , se denomina la parte separable de [ E  : F ] o la ${\displaystyle E\supseteq F}$ grado separable de E / F ; este último se denomina laparte inseparabledel grado o lagrado inseparable .^[16]El grado inseparable es 1 en característica cero y una potencia de p encaracterística p > 0.^[17]

Por otra parte, una extensión algebraica arbitraria puede no poseer una extensión intermedia K que sea puramente inseparable sobre F y sobre la cual E sea separable . Sin embargo, tal extensión intermedia puede existir si, por ejemplo, es una extensión normal de grado finito (en este caso, K es el cuerpo fijo del grupo de Galois de E sobre F ). Supóngase que tal extensión intermedia existe, y [ E  : F ] es finito, entonces [ S  : F ] = [ E  : K ] , donde S es la clausura separable de F en E. ^[18] Las pruebas conocidas de esta igualdad usan el hecho de que si es una extensión puramente inseparable, y si f es un polinomio irreducible separable en F [ X ] , entonces f permanece irreducible en K [ X ] ^[19] ). Esta igualdad implica que, si [ E  : F ] es finito, y U es un campo intermedio entre F y E , entonces [ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅[ U  : F ] _sep . ^[20] ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle K\supseteq F}$

La clausura separable F ^sep de un cuerpo F es la clausura separable de F en una clausura algebraica de F . Es la extensión de Galois máxima de F . Por definición, F es perfecta si y solo si sus clausuras separables y algebraicas coinciden.

Separabilidad de extensiones trascendentales

Pueden surgir problemas de separabilidad cuando se trabaja con extensiones trascendentales . Este suele ser el caso de la geometría algebraica sobre un cuerpo de característica prima, donde el cuerpo de funciones de una variedad algebraica tiene un grado de trascendencia sobre el cuerpo base que es igual a la dimensión de la variedad.

Para definir la separabilidad de una extensión trascendental, es natural utilizar el hecho de que cada extensión de cuerpo es una extensión algebraica de una extensión puramente trascendental . Esto conduce a la siguiente definición.

Una base de trascendencia separadora de una extensión es una base de trascendencia T de E tal que E es una extensión algebraica separable de F ( T ) . Una extensión de campo finitamente generada es separable si y solo tiene una base de trascendencia separadora; una extensión que no es finitamente generada se llama separable si cada subextensión finitamente generada tiene una base de trascendencia separadora. ^[21] ${\displaystyle E\supseteq F}$

Sea una extensión de campo de exponente característico p (es decir, p = 1 en característica cero y, en caso contrario, p es la característica). Las siguientes propiedades son equivalentes: ${\displaystyle E\supseteq F}$

• E es una extensión separable de F ,
• ${\displaystyle E^{p}}$y F son linealmente disjuntos a lo largo de ${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$se reduce ,
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$se reduce para cada extensión de campo L de E ,

donde denota el producto tensorial de los campos , es el campo de las p ésimas potencias de los elementos de F (para cualquier campo F ), y es el campo obtenido al agregar a F la p ésima raíz de todos sus elementos (ver Álgebra separable para más detalles). ${\displaystyle \otimes _{F}}$ ${\displaystyle F^{p}}$ ${\displaystyle F^{1/p}}$

Criterios diferenciales

La separabilidad se puede estudiar con la ayuda de derivaciones . Sea E una extensión de campo finitamente generada de un campo F. Denotando el E -espacio vectorial de las F -derivaciones lineales de E , se tiene ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

y la igualdad se cumple si y sólo si E es separable sobre F (aquí "tr.deg" denota el grado de trascendencia ).

En particular, si es una extensión algebraica, entonces si y sólo si es separable. ^[22] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$ ${\displaystyle E/F}$

Sea una base de y . Entonces es separable algebraicamente sobre si y solo si la matriz es invertible. En particular, cuando , esta matriz es invertible si y solo si es una base de trascendencia separadora. ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$ ${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$ ${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$

Notas

1. Isaacs, pág. 281
2. Isaacs, Teorema 18.11, pág. 281
3. Isaacs, Teorema 18.13, pág. 282
4. Isaacs, pág. 298
5. Isaacs, pág. 280
6. Isaacs, Lema 18.7, pág. 280
7. Isaacs, Teorema 19.4, pág. 295
8. Isaacs, Corolario 19.5, pág. 296
9. Isaacs, Corolario 19.6, pág. 296
10. Isaacs, Corolario 19.9, pág. 298
11. Isaacs, Teorema 19.7, pág. 297
12. Isaacs, pág. 299
13. Isaacs, Lema 19.15, pág. 300
14. Isaacs, Corolario 18.12, pág. 281 y Corolario 19.17, pág. 301
15. Isaacs, Teorema 19.14, pág. 300
16. Isaacs, pág. 302
17. Lang 2002, Corolario V.6.2
18. Isaacs, Teorema 19.19, pág. 302
19. Isaacs, Lema 19.20, pág. 302
20. Isaacs, Corolario 19.21, pág. 303
21. Fried y Jarden (2008) pág. 38
22. Fried y Jarden (2008) pág. 49

Referencias

• Borel, A. Grupos algebraicos lineales , 2ª ed.
• PM Cohn (2003). Álgebra básica
• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9.Zbl 1145.12001  .
• I. Martin Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1.ª ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de matemáticas en Chicago (segunda edición). University of Chicago Press. Págs. 55-59. ISBN. 0-226-42451-0.Zbl1001.16500  .​
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556
• M. Nagata (1985). Teoría de campos conmutativos: nueva edición, Shokabo. (Japonés) [1]
• Silverman, Joseph (1993). La aritmética de las curvas elípticas . Springer. ISBN 0-387-96203-4.

Enlaces externos

• "extensión separable de un campo k", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]