Derivada formal

En matemáticas , la derivada formal es una operación sobre elementos de un anillo de polinomios o un anillo de series de potencias formales que imita la forma de la derivada del cálculo . Aunque parecen similares, la ventaja algebraica de una derivada formal es que no depende de la noción de límite , que en general es imposible de definir para un anillo . Muchas de las propiedades de la derivada son verdaderas para la derivada formal, pero algunas, especialmente aquellas que hacen afirmaciones numéricas, no lo son.

La diferenciación formal se utiliza en álgebra para comprobar si hay raíces múltiples de un polinomio .

Definición

Fijemos un anillo (no necesariamente conmutativo) y sea el anillo de polinomios sobre . (Si no es conmutativo, esta es el álgebra libre sobre una única variable indeterminada). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A=R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Entonces la derivada formal es una operación sobre elementos de , donde si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

entonces su derivada formal es

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots +a_{1}.}$

En la definición anterior, para cualquier entero no negativo y , se define como es habitual en un anillo: (con si ). ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle ir}$ ${\displaystyle ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{i{\text{ times}}}}$ ${\displaystyle ir=0}$ ${\displaystyle i=0}$

Esta definición también funciona incluso si no tiene una identidad multiplicativa (es decir, es un rng ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Definición axiomática alternativa

También se puede definir la derivada formal axiomáticamente como la función que satisface las siguientes propiedades. ${\displaystyle (\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]}$

1. ${\displaystyle r'=0}$a pesar de ${\displaystyle r\in R\subset R[x].}$
2. El axioma de normalización, ${\displaystyle x'=1.}$
3. El mapa conmuta con la operación de adición en el anillo polinomial, ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'.}$
4. El mapa satisface la ley de Leibniz con respecto a la operación de multiplicación del anillo polinomial, ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.}$

Se puede demostrar que esta definición axiomática produce un mapa bien definido respetando todos los axiomas de anillo habituales.

La fórmula anterior (es decir, la definición de la derivada formal cuando el anillo de coeficientes es conmutativo) es una consecuencia directa de los axiomas mencionados anteriormente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)'&=\sum _{i}\left(a_{i}x^{i}\right)'\\&=\sum _{i}\left((a_{i})'x^{i}+a_{i}\left(x^{i}\right)'\right)\\&=\sum _{i}\left(0x^{i}+a_{i}\left(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}\right)\right)\\&=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}\\&=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.\end{aligned}}}$

Propiedades

Se puede verificar que:

• La diferenciación formal es lineal: para dos polinomios cualesquiera f ( x ), g ( x ) en R [ x ] y elementos r , s de R tenemos

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$

• La derivada formal satisface la regla del producto :

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

Tenga en cuenta el orden de los factores; cuando R no es conmutativo esto es importante.

Estas dos propiedades hacen que D sea una derivación de A (véase el módulo de formas diferenciales relativas para un análisis de una generalización).

Obsérvese que la derivada formal no es un homomorfismo de anillo , porque la regla del producto es diferente a decir (y no es el caso) que . Sin embargo, es un homomorfismo (mapa lineal) de R -módulos , según las reglas anteriores. ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g'}$

Aplicación para encontrar factores repetidos

Al igual que en el cálculo, la derivada detecta múltiples raíces. Si R es un cuerpo, entonces R [ x ] es un dominio euclidiano , y en esta situación podemos definir la multiplicidad de raíces; para cada polinomio f ( x ) en R [ x ] y cada elemento r de R , existe un entero no negativo m _r y un polinomio g ( x ) tal que

${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x)}$

donde g ( r )  ≠  0. m _r es la multiplicidad de r como raíz de f . De la regla de Leibniz se deduce que en esta situación, m _r es también el número de diferenciaciones que deben realizarse sobre f ( x ) antes de que r deje de ser una raíz del polinomio resultante. La utilidad de esta observación es que, aunque en general no todo polinomio de grado n en R [ x ] tiene n raíces contando la multiplicidad (este es el máximo, por el teorema anterior), podemos pasar a extensiones de campo en las que esto sea cierto (a saber, clausuras algebraicas ). Una vez que lo hagamos, podemos descubrir una raíz múltiple que no fuera una raíz en absoluto simplemente sobre R . Por ejemplo, si R es el campo finito con tres elementos, el polinomio

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

no tiene raíces en R ; sin embargo, su derivada formal ( ) es cero ya que 3 = 0 en R y en cualquier extensión de R , por lo que cuando pasamos a la clausura algebraica tiene una raíz múltiple que no podría haber sido detectada por factorización en el propio R. Así, la diferenciación formal permite una noción efectiva de multiplicidad. Esto es importante en la teoría de Galois , donde se hace la distinción entre extensiones de cuerpo separables (definidas por polinomios sin raíces múltiples) y las inseparables. ${\displaystyle f'(x)\,=\,6x^{5}}$

Correspondencia con la derivada analítica

Cuando el anillo R de escalares es conmutativo, existe una definición alternativa y equivalente de la derivada formal, que se asemeja a la que se observa en el cálculo diferencial. El elemento Y–X del anillo R [X,Y] divide a Y ⁿ – X ⁿ para cualquier entero no negativo n , y por lo tanto divide a f (Y) – f (X) para cualquier polinomio f en un indeterminado. Si el cociente en R [X,Y] se denota por g , entonces

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}.}$

No es difícil entonces verificar que g (X,X) (en R [X]) coincide con la derivada formal de f tal como se definió anteriormente.

Esta formulación de la derivada funciona igualmente bien para una serie de potencias formales , siempre que el anillo de coeficientes sea conmutativo.

En realidad, si la división en esta definición se lleva a cabo en la clase de funciones de continua en , se recuperará la definición clásica de la derivada. Si se lleva a cabo en la clase de funciones continuas tanto en como , obtenemos una diferenciabilidad uniforme, y la función será continuamente diferenciable. Del mismo modo, al elegir diferentes clases de funciones (por ejemplo, la clase Lipschitz), obtenemos diferentes tipos de diferenciabilidad. De esta manera, la diferenciación se convierte en parte del álgebra de funciones. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Derivado
• Dominio euclidiano
• Módulo de formas diferenciales relativas
• Teoría de Galois
• Serie de potencias formales
• Derivado de Pincherle

Referencias

1. John B. Fraleigh; Victor J. Katz (2002). Un primer curso de álgebra abstracta . Pearson. pág. 443.

Fuentes

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Michael Livshits, Podrías simplificar el cálculo, arXiv:0905.3611v1