Problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

Paradoja aparente en la teoría del caos

En física , el problema de Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (FPUT) o anteriormente el problema de Fermi–Pasta–Ulam era la aparente paradoja en la teoría del caos de que muchos sistemas físicos suficientemente complicados exhibían un comportamiento casi exactamente periódico –llamado recurrencia de Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (o recurrencia de Fermi–Pasta–Ulam )– en lugar del comportamiento ergódico esperado . Esto fue una sorpresa, ya que Enrico Fermi , ciertamente, esperaba que el sistema se termalizara en un tiempo bastante corto. Es decir, se esperaba que todos los modos vibracionales aparecieran eventualmente con igual fuerza, según el teorema de equipartición o, más generalmente, la hipótesis ergódica . Sin embargo, aquí había un sistema que parecía evadir la hipótesis ergódica. Aunque la recurrencia se observa fácilmente, finalmente se hizo evidente que durante períodos de tiempo mucho, mucho más largos, el sistema eventualmente se termaliza. Se han propuesto múltiples teorías competitivas para explicar el comportamiento del sistema, y ​​sigue siendo un tema de investigación activa.

La intención original era encontrar un problema de física que fuera digno de simulación numérica en la entonces nueva computadora MANIAC . Fermi pensó que la termalización plantearía un desafío de ese tipo. Como tal, representa uno de los primeros usos de las computadoras digitales en la investigación matemática; simultáneamente, los resultados inesperados lanzaron el estudio de los sistemas no lineales .

El experimento FPUT

Si no hay no linealidad (violeta), toda la amplitud de un modo permanecerá en ese modo. Si se introduce una no linealidad cuadrática en la cadena elástica, la energía puede distribuirse entre todos los modos, pero si esperas lo suficiente (dos minutos, en esta animación), verás que toda la amplitud vuelve al modo original.

En el verano de 1953, Enrico Fermi , John Pasta , Stanislaw Ulam y Mary Tsingou realizaron simulaciones por computadora de una cuerda vibrante que incluía un término no lineal (cuadrático en una prueba, cúbico en otra y una aproximación lineal por partes a un cúbico en una tercera). Encontraron que el comportamiento del sistema era bastante diferente de lo que la intuición los habría llevado a esperar. Enrico Fermi pensó que después de muchas iteraciones, el sistema exhibiría termalización , un comportamiento ergódico en el que la influencia de los modos iniciales de vibración se desvanece y el sistema se vuelve más o menos aleatorio con todos los modos excitados más o menos por igual . En cambio, el sistema exhibió un comportamiento cuasiperiódico muy complicado . Publicaron sus resultados en un informe técnico de Los Álamos en 1955. Enrico Fermi murió en 1954, por lo que este informe técnico se publicó después de la muerte de Fermi.

En 2020, la revista National Security Science publicó un artículo sobre Tsingou que incluía sus comentarios y reflexiones históricas sobre el problema FPUT. En el artículo, Tsingou afirma: "Recuerdo estar sentada allí un día con Pasta y Ulam", mientras intercambiaban ideas sobre "algunos problemas que podríamos resolver en la computadora, algunos problemas realmente matemáticos". Probaron varias cosas, pero, finalmente, "se les ocurrió esta cuerda vibrante". ^[1]

El experimento FPUT fue importante tanto para mostrar la complejidad del comportamiento del sistema no lineal como el valor de la simulación por computadora en el análisis de sistemas.

Cambio de nombre

El artículo original nombra a Fermi, Pasta y Ulam como autores (aunque Fermi murió antes de que se escribiera el informe) y reconoce a Tsingou por su trabajo en la programación de las simulaciones de MANIAC . Las contribuciones de Mary Tsingou al problema FPUT fueron ignoradas en gran medida por la comunidad hasta que Thierry Dauxois (2008) publicó información adicional sobre el desarrollo y pidió que se cambiara el nombre del problema para otorgarle también su atribución.

El sistema reticular FPUT

Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou simularon la cuerda vibrante resolviendo el siguiente sistema discreto de osciladores acoplados por el vecino más próximo. Seguimos la explicación que se da en el artículo de Richard Palais . Sea N osciladores que representan una cuerda de longitud con posiciones de equilibrio , donde es el espaciado reticular. Entonces la posición del oscilador j -ésimo en función del tiempo es , por lo que da el desplazamiento desde el equilibrio. FPUT utilizó las siguientes ecuaciones de movimiento: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p_{j}=jh,\ j=0,\dots ,N-1}$ ${\displaystyle h=\ell /(N-1)}$ ${\displaystyle X_{j}(t)=p_{j}+x_{j}(t)}$ ${\displaystyle x_{j}(t)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Esta es simplemente la segunda ley de Newton para la partícula j -ésima. El primer factor es simplemente la forma habitual de la ley de Hooke para la fuerza. El factor con es la fuerza no lineal. Podemos reescribir esto en términos de cantidades continuas definiendo que es la velocidad de onda, donde es el módulo de Young para la cuerda y es la densidad: ${\displaystyle k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c={\sqrt {\kappa /\rho }}}$ ${\displaystyle \kappa =k/h}$ ${\displaystyle \rho =m/h^{3}}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Conexión con la ecuación KdV

El límite continuo de las ecuaciones que rigen la cuerda (con el término de fuerza cuadrática) es la ecuación de Korteweg–de Vries (ecuación KdV). El descubrimiento de esta relación y de las soluciones solitón de la ecuación KdV por Martin David Kruskal y Norman Zabusky en 1965 fue un importante paso adelante en la investigación de sistemas no lineales. A continuación reproducimos una derivación de este límite, que es bastante complicada, como se encuentra en el artículo de Palais. Partiendo de la "forma continua" de las ecuaciones de red anteriores, primero definimos u ( x ,  t ) como el desplazamiento de la cuerda en la posición x y el tiempo t . Luego necesitaremos una correspondencia para que sea . ${\displaystyle u(p_{j},t)}$ ${\displaystyle x_{j}(t)}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Podemos usar el teorema de Taylor para reescribir el segundo factor para números pequeños (los subíndices de u denotan derivadas parciales): ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\right)&={\frac {u(x+h,t)+u(x-h,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{aligned}}}$

De manera similar, el segundo término del tercer factor es

${\displaystyle \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}{3}}\right)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).}$

Por lo tanto, el sistema FPUT es

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}+O(\alpha h^{2},h^{4}).}$

Si se mantuvieran los términos hasta O ( h ) solamente y se supusiera que se acerca a un límite, la ecuación resultante es una que desarrolla shocks , lo cual no se observa. Por lo tanto, se mantiene también el término O ( h ^{2 ):} ${\displaystyle 2\alpha h}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}.}$

Ahora hacemos las siguientes sustituciones, motivadas por la descomposición de las soluciones de ondas viajeras (de la ecuación de onda ordinaria , a la que se reduce cuando se anula) en ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha, de modo que solo consideramos una onda que se mueve hacia la derecha. Sea . Bajo este cambio de coordenadas, la ecuación se convierte en ${\displaystyle \alpha ,h}$ ${\displaystyle \xi =x-ct,\ \tau =(\alpha h)ct,\ y(\xi ,\tau )=u(x,t)}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }-\left({\frac {\alpha h}{2}}\right)y_{\tau \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\left({\frac {h}{24\alpha }}\right)y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Para tomar el límite continuo, supongamos que tiende a una constante y tiende a cero. Si tomamos , entonces ${\displaystyle \alpha /h}$ ${\displaystyle \alpha ,h}$ ${\displaystyle \delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha )}}}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Tomando resultados en la ecuación KdV: ${\displaystyle v=y_{\xi }}$

${\displaystyle v_{\tau }+vv_{\xi }+\delta ^{2}v_{\xi \xi \xi }=0.}$

Zabusky y Kruskal argumentaron que el hecho de que las soluciones solitón de la ecuación KdV puedan pasar unas a otras sin afectar las formas asintóticas explicaba la cuasiperiodicidad de las ondas en el experimento FPUT. En resumen, la termalización no podía ocurrir debido a una cierta "simetría solitón" en el sistema, que rompía la ergodicidad.

Un conjunto similar de manipulaciones (y aproximaciones) conducen a la red de Toda , que también es famosa por ser un sistema completamente integrable . También tiene soluciones de solitones , los pares Lax , y por lo tanto también se puede utilizar para argumentar la falta de ergodicidad en el modelo FPUT. ^{[2] [3]}

Rutas hacia la termalización

En 1966, Félix Izrailev y Boris Chirikov propusieron que el sistema se termalizaría si se le proporciona una cantidad suficiente de energía inicial. ^[4] La idea aquí es que la no linealidad cambia la relación de dispersión , lo que permite que se produzcan interacciones resonantes que desviarán energía de un modo a otro. Se puede encontrar una revisión de dichos modelos en Roberto Livi et al . ^[5] Sin embargo, en 1970, Joseph Ford y Gary H. Lunsford insisten en que la mezcla se puede observar incluso con energías iniciales arbitrariamente pequeñas. ^[6] Existe una larga y compleja historia de enfoques para el problema; consulte Thierry Dauxois (2008) para una revisión (parcial). ^[7]

Un trabajo reciente de Miguel Onorato et al. demuestra una ruta muy interesante hacia la termalización. ^[8] Reescribiendo el modelo FPUT en términos de modos normales , el término no lineal se expresa como una interacción de tres modos (usando el lenguaje de la mecánica estadística , esto podría llamarse una "interacción de tres fonones "). Sin embargo, no es una interacción resonante , ^[9] y, por lo tanto, no puede propagar energía de un modo a otro; solo puede generar la recurrencia FPUT. La interacción de tres fonones no puede termalizar el sistema.

Sin embargo, una idea clave es que estos modos son combinaciones de modos "libres" y "ligados". Es decir, los armónicos superiores están "ligados" a la fundamental, de la misma manera que los armónicos superiores en las soluciones de la ecuación KdV están ligados a la fundamental. No tienen ninguna dinámica propia y, en cambio, están bloqueados en fase con la fundamental. La termalización, si está presente, solo puede estar entre los modos libres.

Para obtener los modos libres, se puede aplicar una transformación canónica que elimine todos los modos que no son libres (que no participan en interacciones resonantes). Al hacerlo para el sistema FPUT, se obtienen modos de oscilador que tienen una interacción de cuatro ondas (se ha eliminado la interacción de tres ondas). Estos cuartetos sí interactúan de manera resonante, es decir, mezclan cuatro modos a la vez. Sin embargo, curiosamente, cuando la cadena FPUT tiene solo 16, 32 o 64 nodos, estos cuartetos están aislados entre sí. Cualquier modo dado pertenece solo a un cuarteto, y la energía no puede pasar de un cuarteto a otro. Continuando con órdenes superiores de interacción, hay una interacción de seis ondas que es resonante; además, cada modo participa en al menos dos interacciones de seis ondas diferentes. En otras palabras, todos los modos se interconectan y la energía se transferirá entre todos los modos diferentes.

La interacción de tres ondas es de fuerza (la misma que en las secciones anteriores, arriba). La interacción de cuatro ondas es de fuerza y ​​la interacción de seis ondas es de fuerza . Con base en los principios generales de correlación de interacciones (derivados de la jerarquía BBGKY ) se espera que el tiempo de termalización corra como el cuadrado de la interacción. Por lo tanto, la red FPUT original (de tamaño 16, 32 o 64) eventualmente se termalizará, en una escala de tiempo de orden : claramente, esto se convierte en un tiempo muy largo para interacciones débiles ; mientras tanto, la recurrencia FPUT parecerá correr sin cesar. Este resultado particular se mantiene para estos tamaños de red particulares; Las interacciones resonantes de cuatro o seis ondas para diferentes tamaños de red pueden o no mezclar modos (porque las zonas de Brillouin son de un tamaño diferente y, por lo tanto, se altera la combinatoria de qué vectores de onda pueden sumar cero). Los procedimientos genéricos para obtener transformaciones canónicas que linealizan los modos ligados siguen siendo un tema de investigación activa. ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{4}}$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{8}}$ ${\displaystyle \alpha \ll 1}$

Sin embargo, un estudio reciente ^[10] encontró que existen divergencias en la transformación canónica utilizada para eliminar las interacciones de tres ondas debido a la presencia de denominadores pequeños. Estos denominadores pequeños se vuelven más prominentes cuando se excitan los modos inferiores y son más significativos a medida que aumenta el tamaño del sistema. Estos resultados también muestran una indicación de que podría haber un umbral de estocasticidad en el sistema -Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou. ${\displaystyle \alpha }$

Referencias

1. Grant, Virginia (2020). "Agradecemos a la señorita Mary Tsingou". Ciencia de la seguridad nacional .
2. Benettin, G.; Christodoulidi, H.; Ponno, A. (2013). "El problema de Fermi-Pasta-Ulam y su dinámica integrable subyacente". Revista de física estadística . 152 (2): 195–212. Bibcode :2013JSP...152..195B. doi :10.1007/s10955-013-0760-6. S2CID  120275594.
3. Casetti, Lapo; Cerruti-Sola, Mónica; Pettini, Marco; Cohen, EGD (1997). "Revisión del problema de Fermi-Pasta-Ulam: umbrales de estocasticidad en sistemas hamiltonianos no lineales". Revisión física E. 55 (6): 6566–6574. arXiv : chao-dyn/9609017 . Código bibliográfico : 1997PhRvE..55.6566C. doi : 10.1103/PhysRevE.55.6566. S2CID  123324018.
4. Izrailev, FM; Chirikov, BV (1966). "Propiedades estadísticas de una cuerda no lineal". Soviet Physics Doklady . 11 : 30. Bibcode :1966SPhD...11...30I.
5. Livi, Roberto; Pettini, Marco; Ruffo, Stefano; Sparpaglione, Massimo; Vulpiani, Angelo (1985). "Umbral de equipartición en grandes sistemas hamiltonianos no lineales: el modelo de Fermi-Pasta-Ulam". Revisión física A. 31 (2): 1039-1045. Código bibliográfico : 1985PhRvA..31.1039L. doi :10.1103/PhysRevA.31.1039. PMID  9895584.
6. Ford, Joseph; Lunsford, Gary H. (1970). "Comportamiento estocástico de sistemas osciladores resonantes casi lineales en el límite de acoplamiento no lineal cero". Physical Review A . 1 (1): 59–70. Bibcode :1970PhRvA...1...59F. doi :10.1103/PhysRevA.1.59.
7. Ruffo, Stefano; Dauxois, Thierry (2008). "Oscilaciones de la red no lineal de Fermi-Pasta-Ulam". Scholarpedia . 3 (8): 5538. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.5538D. doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
8. Onorato, Miguel; Vozella, Lara; Proment, Davide; Lvov, Yuri V. (2015). "Ruta hacia la termalización en el sistema α-Fermi–Pasta–Ulam". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Bibcode :2015PNAS..112.4208O. doi : 10.1073 /pnas.1404397112 . PMC: 4394280. PMID:  25805822. S2CID  : 1823791. 
9. Una interacción resonante es aquella en la que todos los vectores de onda se suman o restan a cero, módulo de la zona de Brillouin , así como las frecuencias correspondientes obtenidas a partir de la relación de dispersión . Dado que suman cero, no hay una base vectorial preferida para el espacio vectorial correspondiente, por lo que todas las amplitudes se pueden reorganizar libremente. En efecto, esto coloca todos los modos en el mismo componente ergódico, donde pueden mezclarse "instantáneamente". En la matriz S y/o el formalismo de Feynman, esto es equivalente a la declaración de conservación de energía/momento: la suma de la energía/momento de los estados entrantes debe ser igual a la de los estados salientes. A menos que esto se cumpla, los estados no pueden interactuar.
10. Ganapa, Santhosh (2023). " Revisión de la cuasiperiodicidad en el problema de -Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou: un enfoque que utiliza ideas de la turbulencia de ondas". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 33 (9). AIP Publishing. arXiv : 2303.10297 . doi :10.1063/5.0154157. PMID  37656916. ${\displaystyle \alpha }$

Lectura adicional

• Dauxois, Thierry (2008). "Fermi, Pasta, Ulam y una dama misteriosa". Physics Today . 6 (1): 55–57. arXiv : 0801.1590 . Código Bibliográfico :2008PhT....61a..55D. doi :10.1063/1.2835154. S2CID  118607235.
• Fermi, E. ; Pasta, J. ; Ulam, S. (1955). "Estudios de problemas no lineales" (PDF) . Documento LA-1940. Laboratorio Nacional de Los Álamos.
• Grant, Virginia (2020). “Agradecemos a la señorita Mary Tsingou”. National Security Science. Invierno de 2020: 36–43.
• Zabusky, NJ ; Kruskal, MD (1965). "Interacciones de solitones en un plasma sin colisiones y la recurrencia de estados iniciales". Physical Review Letters . 15 (6): 240–243. Bibcode :1965PhRvL..15..240Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
• Palais, R. (1997). "Las simetrías de los solitones" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 34 (4): 339–403. arXiv : dg-ga/9708004 . doi :10.1090/S0273-0979-97-00732-5. MR  1462745. S2CID  14550937.
• Dauxois, T.; Ruffo, S. (2008). "Oscilaciones reticulares no lineales de Fermi–Pasta–Ulam". Scholarpedia . 3 (8): 5538. Bibcode :2008SchpJ...3.5538D. doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
• Gallavotti, G. , ed. (2008). El problema de Fermi–Pasta–Ulam: un informe de situación . Apuntes de clase de física . Vol. 728. Springer . ISBN. 978-3-540-72994-5.
• Porter, MA; Zabusky, NJ ; Hu, B.; Campbell, DK (2009). "Fermi, Pasta, Ulam y el nacimiento de las matemáticas experimentales" (PDF) . American Scientist . 97 (3): 214–221. doi :10.1511/2009.78.214.
• Onorato, M.; Vozella, L.; Proment, D.; Lvov, Y. (2015). "Ruta hacia la termalización en el sistema α-Fermi–Pasta–Ulam" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Bibcode :2015PNAS..112.4208O. doi : 10.1073/pnas.1404397112 . PMC  4394280 . PMID  25805822.
• Ganapa, Santhosh (2023). "Revisión de la cuasiperiodicidad en el problema α-Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou: un enfoque que utiliza ideas de la turbulencia de ondas". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 33 (9). Instituto Americano de Publicaciones de Física. arXiv : 2303.10297 . doi :10.1063/5.0154157. PMID  37656916.

Enlaces externos

• "Fermi Pasta Ulam: la paradoja que lanzó la computación científica".