La estadística matemática es la aplicación de la teoría de la probabilidad , una rama de las matemáticas , a la estadística , a diferencia de las técnicas de recopilación de datos estadísticos. Las técnicas matemáticas específicas que se utilizan para esto incluyen análisis matemático , álgebra lineal , análisis estocástico , ecuaciones diferenciales y teoría de la medida . [1] [2]
La recopilación de datos estadísticos se ocupa de la planificación de estudios, especialmente del diseño de experimentos aleatorios y de la planificación de encuestas que utilizan muestreo aleatorio . El análisis inicial de los datos a menudo sigue el protocolo del estudio especificado antes de realizar el estudio. Los datos de un estudio también se pueden analizar para considerar hipótesis secundarias inspiradas en los resultados iniciales o para sugerir nuevos estudios. Un análisis secundario de los datos de un estudio planificado utiliza herramientas del análisis de datos , y el proceso para hacerlo es la estadística matemática.
El análisis de datos se divide en:
Si bien las herramientas de análisis de datos funcionan mejor con datos de estudios aleatorios, también se aplican a otros tipos de datos. Por ejemplo, a partir de experimentos naturales y estudios observacionales , en cuyo caso la inferencia depende del modelo elegido por el estadístico y, por tanto, subjetiva. [3] [4]
Los siguientes son algunos de los temas importantes de la estadística matemática: [5] [6]
Una distribución de probabilidad es una función que asigna una probabilidad a cada subconjunto mensurable de los posibles resultados de un experimento aleatorio , encuesta o procedimiento de inferencia estadística . Se encuentran ejemplos en experimentos cuyo espacio muestral es no numérico, donde la distribución sería una distribución categórica ; experimentos cuyo espacio muestral está codificado por variables aleatorias discretas , donde la distribución puede especificarse mediante una función de masa de probabilidad ; y experimentos con espacios muestrales codificados por variables aleatorias continuas, donde la distribución puede especificarse mediante una función de densidad de probabilidad . Los experimentos más complejos, como los que involucran procesos estocásticos definidos en tiempo continuo , pueden exigir el uso de medidas de probabilidad más generales .
Una distribución de probabilidad puede ser univariada o multivariada . Una distribución univariada da las probabilidades de que una sola variable aleatoria tome varios valores alternativos; Una distribución multivariada (una distribución de probabilidad conjunta ) proporciona las probabilidades de que un vector aleatorio (un conjunto de dos o más variables aleatorias) adopte varias combinaciones de valores. Las distribuciones de probabilidad univariadas importantes y comúnmente encontradas incluyen la distribución binomial , la distribución hipergeométrica y la distribución normal . La distribución normal multivariada es una distribución multivariada que se encuentra comúnmente.
La inferencia estadística es el proceso de sacar conclusiones a partir de datos que están sujetos a variaciones aleatorias, por ejemplo, errores de observación o variaciones de muestreo. [7] Los requisitos iniciales de tal sistema de procedimientos para inferencia e inducción son que el sistema debe producir respuestas razonables cuando se aplica a situaciones bien definidas y que debe ser lo suficientemente general como para aplicarse en una variedad de situaciones. La estadística inferencial se utiliza para probar hipótesis y hacer estimaciones utilizando datos de muestra. Mientras que la estadística descriptiva describe una muestra, la estadística inferencial infiere predicciones sobre una población más grande que representa la muestra.
El resultado de la inferencia estadística puede ser una respuesta a la pregunta "¿qué se debe hacer a continuación?", donde esto podría ser una decisión sobre realizar más experimentos o encuestas, o sobre sacar una conclusión antes de implementar alguna política organizacional o gubernamental. En su mayor parte, la inferencia estadística hace proposiciones sobre poblaciones, utilizando datos extraídos de la población de interés mediante algún tipo de muestreo aleatorio. De manera más general, los datos sobre un proceso aleatorio se obtienen a partir de su comportamiento observado durante un período de tiempo finito. Dado un parámetro o hipótesis sobre el cual se desea hacer una inferencia, la inferencia estadística utiliza con mayor frecuencia:
En estadística , el análisis de regresión es un proceso estadístico para estimar las relaciones entre variables. Incluye muchas formas de modelar y analizar varias variables, cuando la atención se centra en la relación entre una variable dependiente y una o más variables independientes . Más específicamente, el análisis de regresión ayuda a comprender cómo cambia el valor típico de la variable dependiente (o 'variable de criterio') cuando se varía cualquiera de las variables independientes, mientras que las otras variables independientes se mantienen fijas. Más comúnmente, el análisis de regresión estima la expectativa condicional de la variable dependiente dadas las variables independientes, es decir, el valor promedio de la variable dependiente cuando las variables independientes son fijas. Con menos frecuencia, la atención se centra en un cuantil u otro parámetro de ubicación de la distribución condicional de la variable dependiente dadas las variables independientes. En todos los casos, el objetivo de estimación es una función de las variables independientes denominada función de regresión . En el análisis de regresión, también es interesante caracterizar la variación de la variable dependiente alrededor de la función de regresión, que puede describirse mediante una distribución de probabilidad .
Se han desarrollado muchas técnicas para realizar análisis de regresión. Los métodos familiares, como la regresión lineal , son paramétricos , en el sentido de que la función de regresión se define en términos de un número finito de parámetros desconocidos que se estiman a partir de los datos (por ejemplo, utilizando mínimos cuadrados ordinarios ). La regresión no paramétrica se refiere a técnicas que permiten que la función de regresión se encuentre en un conjunto específico de funciones , que puede ser de dimensión infinita .
Las estadísticas no paramétricas son valores calculados a partir de datos de una manera que no se basa en familias parametrizadas de distribuciones de probabilidad . Incluyen estadísticas tanto descriptivas como inferenciales . Los parámetros típicos son la media, la varianza, etc. A diferencia de las estadísticas paramétricas , las estadísticas no paramétricas no hacen suposiciones sobre las distribuciones de probabilidad de las variables que se evalúan. [8]
Los métodos no paramétricos se utilizan ampliamente para estudiar poblaciones que siguen un orden de clasificación (como reseñas de películas que reciben de una a cuatro estrellas). El uso de métodos no paramétricos puede ser necesario cuando los datos tienen una clasificación pero no una interpretación numérica clara, como cuando se evalúan las preferencias . En términos de niveles de medición , los métodos no paramétricos dan como resultado datos "ordinales".
Como los métodos no paramétricos parten de menos suposiciones, su aplicabilidad es mucho más amplia que la de los métodos paramétricos correspondientes. En particular, podrán aplicarse en situaciones en las que se sepa menos sobre la aplicación en cuestión. Además, debido a que se basan en menos supuestos, los métodos no paramétricos son más sólidos .
Una desventaja de los métodos no paramétricos es que, dado que no se basan en suposiciones, generalmente son menos potentes que sus homólogos paramétricos. [9] Las pruebas no paramétricas de baja potencia son problemáticas porque un uso común de estos métodos es cuando una muestra tiene un tamaño de muestra bajo. [9] Se ha demostrado que muchos métodos paramétricos son las pruebas más poderosas a través de métodos como el lema de Neyman-Pearson y la prueba del índice de verosimilitud .
Otra justificación para el uso de métodos no paramétricos es la simplicidad. En ciertos casos, incluso cuando el uso de métodos paramétricos está justificado, los métodos no paramétricos pueden ser más fáciles de utilizar. Debido a esta simplicidad y a su mayor solidez, algunos estadísticos consideran que los métodos no paramétricos dejan menos lugar para un uso inadecuado y malentendidos.
La estadística matemática es un subconjunto clave de la disciplina de la estadística . Los teóricos de la estadística estudian y mejoran los procedimientos estadísticos con las matemáticas, y la investigación estadística a menudo plantea cuestiones matemáticas.
Matemáticos y estadísticos como Gauss , Laplace y CS Peirce utilizaron la teoría de la decisión con distribuciones de probabilidad y funciones de pérdida (o funciones de utilidad ). El enfoque de la teoría de la decisión para la inferencia estadística fue revitalizado por Abraham Wald y sus sucesores, [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] y hace un uso extensivo de la computación , el análisis y la optimización científicos. ; para el diseño de experimentos , los estadísticos utilizan el álgebra y la combinatoria . Pero si bien la práctica estadística a menudo se basa en la probabilidad y la teoría de la decisión , su aplicación puede ser controvertida [4]
Véase la reimpresión de Dover, 2004: ISBN 0-486-43912-7.
