En matemáticas , la equivariancia es una forma de simetría para funciones de un espacio con simetría a otro (como espacios simétricos ). Se dice que una función es una función equivariante cuando su dominio y codominio son afectados por el mismo grupo de simetría , y cuando la función conmuta con la acción del grupo. Es decir, aplicar una transformación de simetría y luego calcular la función produce el mismo resultado que calcular la función y luego aplicar la transformación.
Los mapas equivariantes generalizan el concepto de invariantes , funciones cuyo valor no cambia con una transformación de simetría de su argumento. El valor de un mapa equivariante se suele denominar (de manera imprecisa) invariante.
En inferencia estadística , la equivariancia bajo transformaciones estadísticas de datos es una propiedad importante de varios métodos de estimación; consulte estimador invariante para obtener más detalles. En matemáticas puras, la equivariancia es un objeto central de estudio en topología equivariante y sus subtemas cohomología equivariante y teoría de homotopía estable equivariante .
En la geometría de triángulos , el área y el perímetro de un triángulo son invariantes bajo transformaciones euclidianas : trasladar, rotar o reflejar un triángulo no cambia su área o perímetro. Sin embargo, los centros de los triángulos como el centroide , el circuncentro , el incentro y el ortocentro no son invariantes, porque mover un triángulo también hará que sus centros se muevan. En cambio, estos centros son equivariantes: aplicar cualquier congruencia euclidiana (una combinación de una traslación y una rotación) a un triángulo y luego construir su centro produce el mismo punto que construir primero el centro y luego aplicar la misma congruencia al centro. De manera más general, todos los centros de los triángulos también son equivariantes bajo transformaciones de similitud (combinaciones de traslación, rotación, reflexión y escala), [1] y el centroide es equivariante bajo transformaciones afines . [2]
La misma función puede ser invariante para un grupo de simetrías y equivariante para un grupo diferente de simetrías. Por ejemplo, bajo transformaciones de semejanza en lugar de congruencias, el área y el perímetro ya no son invariantes: al escalar un triángulo también cambian su área y perímetro. Sin embargo, estos cambios ocurren de una manera predecible: si un triángulo se escala por un factor de s , el perímetro también se escala por s y el área se escala por s 2 . De esta manera, la función que asigna cada triángulo a su área o perímetro puede verse como equivariante para una acción de grupo multiplicativa de las transformaciones de escala sobre los números reales positivos.
Otra clase de ejemplos simples proviene de la estimación estadística . La media de una muestra (un conjunto de números reales) se utiliza comúnmente como una tendencia central de la muestra. Es equivariante ante transformaciones lineales de los números reales, por lo que, por ejemplo, no se ve afectada por la elección de las unidades utilizadas para representar los números. Por el contrario, la media no es equivariante con respecto a las transformaciones no lineales, como las exponenciales.
La mediana de una muestra es equivariante para un grupo mucho más grande de transformaciones, las funciones (estrictamente) monótonas de los números reales. Este análisis indica que la mediana es más robusta frente a ciertos tipos de cambios en un conjunto de datos y que (a diferencia de la media) es significativa para los datos ordinales . [3]
Se han utilizado los conceptos de estimador invariante y estimador equivariante para formalizar este estilo de análisis.
En la teoría de representación de grupos finitos , un espacio vectorial dotado de un grupo que actúa mediante transformaciones lineales del espacio se denomina representación lineal del grupo. Una función lineal que conmuta con la acción se denomina entrelazador . Es decir, un entrelazador es simplemente una función lineal equivariante entre dos representaciones. Alternativamente, un entrelazador para representaciones de un grupo G sobre un cuerpo K es lo mismo que un homomorfismo de módulos de K [ G ] -módulos , donde K [ G ] es el anillo de grupo de G. [ 4 ]
En determinadas condiciones, si X e Y son ambas representaciones irreducibles , entonces sólo existe un entrelazador (distinto de la función cero ) si las dos representaciones son equivalentes (es decir, son isomorfas como módulos ). Ese entrelazador es entonces único hasta un factor multiplicativo (un escalar distinto de cero de K ). Estas propiedades se cumplen cuando la imagen de K [ G ] es un álgebra simple, con centro K (por lo que se denomina lema de Schur : véase módulo simple ). En consecuencia, en casos importantes la construcción de un entrelazador es suficiente para demostrar que las representaciones son efectivamente las mismas. [5]
La equivariancia se puede formalizar utilizando el concepto de un conjunto G para un grupo G . Este es un objeto matemático que consiste en un conjunto matemático S y una acción de grupo (a la izquierda) de G sobre S . Si X e Y son ambos conjuntos G para el mismo grupo G , entonces se dice que una función f : X → Y es equivariante si
para todo g ∈ G y todo x en X . [6]
Si una o ambas acciones son acciones correctas, la condición de equivariancia puede modificarse adecuadamente:
Los mapas equivariantes son homomorfismos en la categoría de G -conjuntos (para un G fijo ). [7] Por lo tanto, también se conocen como G -morfismos , [7] G -mapas , [8] o G -homomorfismos . [9] Los isomorfismos de G -conjuntos son simplemente mapas equivariantes biyectivos . [7]
La condición de equivarianza también puede entenderse como el siguiente diagrama conmutativo . Nótese que denota el mapa que toma un elemento y devuelve .
Los mapas equivariantes se pueden generalizar a categorías arbitrarias de una manera sencilla. Cada grupo G se puede ver como una categoría con un único objeto ( los morfismos en esta categoría son solo los elementos de G ). Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en la categoría C es un funtor de G a C. Tal funtor selecciona un objeto de C y un subgrupo de automorfismos de ese objeto. Por ejemplo, un G - conjunto es equivalente a un funtor de G a la categoría de conjuntos , Set , y una representación lineal es equivalente a un funtor a la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo, Vect K.
Dadas dos representaciones, ρ y σ, de G en C , una función equivariante entre esas representaciones es simplemente una transformación natural de ρ a σ. Usando transformaciones naturales como morfismos, uno puede formar la categoría de todas las representaciones de G en C . Esta es simplemente la categoría de functor C G .
Como otro ejemplo, tomemos C = Top , la categoría de espacios topológicos . Una representación de G en Top es un espacio topológico en el que G actúa continuamente . Una función equivariante es entonces una función continua f : X → Y entre representaciones que conmuta con la acción de G .
