Objeto proyectivo

En la teoría de categorías , la noción de objeto proyectivo generaliza la noción de módulo proyectivo . Los objetos proyectivos en categorías abelianas se utilizan en álgebra homológica . La noción dual de objeto proyectivo es la de objeto inyectivo .

Definición

Un objeto de una categoría es proyectivo si para cualquier epimorfismo y morfismo , existe un morfismo tal que , es decir, el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle e:E\twoheadrightarrow X}$ ${\displaystyle f:P\to X}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$ ${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$

Es decir, cada morfismo se factoriza a través de cada epimorfismo . ^[1] ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$

Si C es localmente pequeño , es decir, en particular es un conjunto para cualquier objeto X en C , esta definición es equivalente a la condición de que el funtor hom (también conocido como funtor correpresentable ) ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

conserva epimorfismos . ^[2]

Objetos proyectivos en categorías abelianas

Si la categoría C es una categoría abeliana como, por ejemplo, la categoría de grupos abelianos , entonces P es proyectiva si y sólo si

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$

es un funtor exacto , donde Ab es la categoría de los grupos abelianos .

Se dice que una categoría abeliana tiene suficientes proyectivos si, para cada objeto de , hay un objeto proyectivo de y un epimorfismo de P a A o, equivalentemente, una secuencia exacta corta ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle 0\to K\to P\to A\to 0.}$

El propósito de esta definición es asegurar que cualquier objeto A admita una resolución proyectiva , es decir, una secuencia exacta (larga)

${\displaystyle \dots P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0}$

donde los objetos son proyectivos. ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots }$

Proyectividad respecto de clases restringidas

Semadeni (1963) analiza la noción de objetos proyectivos (y dualmente inyectivos) en relación con una denominada bicategoría, que consiste en un par de subcategorías de "inyecciones" y "sobreyecciones" en la categoría dada C. Estas subcategorías están sujetas a ciertas propiedades formales, incluido el requisito de que cualquier sobreyección sea un epimorfismo. Un objeto proyectivo (en relación con la clase fija de sobreyecciones) es entonces un objeto P , de modo que Hom( P , −) convierte la clase fija de sobreyecciones (a diferencia de todos los epimorfismos) en sobreyecciones de conjuntos (en el sentido habitual).

Propiedades

• El coproducto de dos objetos proyectivos es proyectivo. ^[3]
• La retracción de un objeto proyectivo es proyectiva. ^[4]

Ejemplos

La afirmación de que todos los conjuntos son proyectivos es equivalente al axioma de elección .

Los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos son los grupos abelianos libres .

Sea un anillo con identidad. Considérese la categoría (abeliana) - Mod de módulos izquierdos . Los objetos proyectivos en - Mod son precisamente los R-módulos izquierdos proyectivos . En consecuencia, es en sí mismo un objeto proyectivo en - Mod . Dualmente, los objetos inyectivos en - Mod son exactamente los R-módulos izquierdos inyectivos . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

La categoría de módulos izquierdos (derechos) también tiene suficientes proyectivas. Esto es cierto porque, para cada módulo izquierdo (derecho) , podemos tomar como el módulo libre (y por lo tanto proyectivo) generado por un conjunto generador para (por ejemplo, podemos tomar como ). Entonces, la proyección canónica es la sobreyección requerida . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \colon F\to M}$

Los objetos proyectivos de la categoría de espacios compactos de Hausdorff son precisamente los espacios extremamente desconectados . Este resultado se debe a Gleason (1958), con una demostración simplificada dada por Rainwater (1959).

En la categoría de espacios de Banach y contracciones (es decir, funcionales cuya norma es como máximo 1), los epimorfismos son precisamente los mapas con imagen densa . Wiweger (1969) muestra que el espacio cero es el único objeto proyectivo en esta categoría. Sin embargo, existen espacios no triviales que son proyectivos con respecto a la clase de contracciones sobreyectivas. En la categoría de espacios vectoriales normados con contracciones (y mapas sobreyectivos como "sobreyecciones"), los objetos proyectivos son precisamente los -espacios. ^[5]Error de harvtxt: no hay destino: CITEREFWiweger1969 ( ayuda ) ${\displaystyle l^{1}}$

${\displaystyle l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}||x_{s}||<\infty \}.}$

Referencias

1. Awodey (2010, §2.1)
2. Mac Lane (1978, pág. 118)
3. Awodey (2010, pág. 72)
4. Awodey (2010, pág. 33)
5. Semadeni (1963)

• Awodey, Steve (2010), Teoría de categorías (2.ª ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC  740446073
• Gleason, Andrew M. (1958), "Espacios topológicos proyectivos", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR  0121775
• Mac Lane, Saunders (1978), Categorías para el matemático en activo (segunda edición), Nueva York, NY: Springer New York, pág. 114, ISBN 1441931236, OCLC  851741862
• Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4.Sr. 0202787  .
• Pothoven, Kenneth (1969), "Objetos proyectivos e inyectivos en la categoría de espacios de Banach", Actas de la American Mathematical Society , 22 (2): 437–438, doi : 10.2307/2037073 , JSTOR  2037073
• Rainwater, John (1959), "Una nota sobre resoluciones proyectivas", Actas de la American Mathematical Society , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR  2033466
• Semadeni, Z. (1963), "Proyectividad, inyectividad y dualidad", Rozprawy Mat. , 35 , MR  0154832

Enlaces externos

objeto proyectivo en el laboratorio n