Modelo de valoración de opciones binomiales

Método numérico para la valoración de opciones financieras

En finanzas , el modelo binomial de valoración de opciones ( BOPM ) proporciona un método numérico generalizable para la valoración de opciones . Básicamente, el modelo utiliza un modelo de "tiempo discreto" ( basado en retículas ) del precio variable a lo largo del tiempo del instrumento financiero subyacente , abordando casos en los que la fórmula Black-Scholes de forma cerrada es insuficiente.

El modelo binomial fue propuesto por primera vez por William Sharpe en la edición de 1978 de Investments ( ISBN  013504605X ), ^[1] y formalizado por Cox , Ross y Rubinstein en 1979 ^[2] y por Rendleman y Bartter en ese mismo año. ^[3]

Para árboles binomiales aplicados a derivados de renta fija y tipos de interés, véase Modelo reticular (finanzas) § Derivados de tipos de interés .

Uso del modelo

El modelo de valoración de opciones binomial se ha utilizado ampliamente porque permite manejar una variedad de condiciones para las que otros modelos no se pueden aplicar fácilmente. Esto se debe en gran medida a que el BOPM se basa en la descripción de un instrumento subyacente durante un período de tiempo en lugar de un punto único. En consecuencia, se utiliza para valorar las opciones estadounidenses que se pueden ejercer en cualquier momento en un intervalo determinado, así como las opciones bermudeñas que se pueden ejercer en momentos específicos del tiempo. Al ser relativamente simple, el modelo se puede implementar fácilmente en software informático (incluida una hoja de cálculo ).

Aunque es computacionalmente más lenta que la fórmula de Black-Scholes , es más precisa, en particular para opciones a largo plazo sobre valores con pagos de dividendos . Por estas razones, los profesionales en los mercados de opciones utilizan ampliamente diversas versiones del modelo binomial. ^{[ cita requerida ]}

Para opciones con varias fuentes de incertidumbre (por ejemplo, opciones reales ) y para opciones con características complicadas (por ejemplo, opciones asiáticas ), los métodos binomiales son menos prácticos debido a varias dificultades, y los modelos de opciones de Monte Carlo se utilizan comúnmente en su lugar. Al simular un pequeño número de pasos de tiempo , la simulación de Monte Carlo consumirá más tiempo computacionalmente que BOPM (cf. Métodos de Monte Carlo en finanzas ). Sin embargo, el tiempo de ejecución del BOPM en el peor caso será O(2 ⁿ ) , donde n es el número de pasos de tiempo en la simulación. Las simulaciones de Monte Carlo generalmente tendrán una complejidad de tiempo polinomial y serán más rápidas para un gran número de pasos de simulación. Las simulaciones de Monte Carlo también son menos susceptibles a errores de muestreo, ya que las técnicas binomiales utilizan unidades de tiempo discretas. Esto se vuelve más cierto cuanto más pequeñas se vuelven las unidades discretas.

Método

Red binomial con fórmulas CRR

El modelo de precios binomial rastrea la evolución de las variables subyacentes clave de la opción en tiempo discreto. Esto se hace por medio de un entramado binomial (árbol), para una serie de pasos de tiempo entre las fechas de valoración y de vencimiento. Cada nodo del entramado representa un posible precio del activo subyacente en un momento dado.

La valoración se realiza de forma iterativa, comenzando en cada uno de los nodos finales (aquellos a los que se puede llegar en el momento del vencimiento) y luego avanzando hacia atrás a través del árbol hasta el primer nodo (fecha de valoración). El valor calculado en cada etapa es el valor de la opción en ese momento.

La valoración de opciones mediante este método es, como se describe, un proceso de tres pasos:

1. Generación de árboles de precios,
2. Cálculo del valor de la opción en cada nodo final,
3. Cálculo secuencial del valor de la opción en cada nodo anterior.

Paso 1: Crear el árbol de precios binomial

El árbol de precios se produce trabajando hacia adelante desde la fecha de valoración hasta el vencimiento.

En cada paso, se supone que el instrumento subyacente subirá o bajará según un factor específico ( o ) por paso del árbol (donde, por definición, y ). Por lo tanto, si es el precio actual, entonces en el próximo período el precio será o . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle u\geq 1}$ ${\displaystyle 0<d\leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$ ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d}$

Los factores de subida y bajada se calculan utilizando la volatilidad subyacente , y la duración temporal de un paso, , medida en años (utilizando la convención de recuento de días del instrumento subyacente). A partir de la condición de que la varianza del logaritmo del precio sea , tenemos: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta }}t}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta }}t}={\frac {1}{u}}.}$

Arriba está el método original de Cox, Ross y Rubinstein (CRR); existen otras técnicas para generar la red, como el árbol de "probabilidades iguales", consulte. ^{[4] [5]}

El método CRR garantiza que el árbol sea recombinante, es decir, si el activo subyacente sube y luego baja (u,d), el precio será el mismo que si hubiera bajado y luego subido (d,u); en este caso, las dos rutas se fusionan o recombinan. Esta propiedad reduce la cantidad de nodos del árbol y, por lo tanto, acelera el cálculo del precio de la opción.

Esta propiedad también permite calcular el valor del activo subyacente en cada nodo directamente mediante una fórmula, y no requiere que se construya el árbol primero. El valor del nodo será:

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}$

¿Dónde está el número de ticks ascendentes y es el número de ticks descendentes? ${\displaystyle N_{u}}$ ${\displaystyle N_{d}}$

Paso 2: Encuentra el valor de la opción en cada nodo final

En cada nodo final del árbol, es decir, al vencimiento de la opción, el valor de la opción es simplemente su valor intrínseco o de ejercicio:

Máx. [ ( S _n − K ), 0 ] , para una opción de compra

Máx [ ( K − S _n ), 0 ] , para una opción de venta ,

Donde K es el precio de ejercicio y es el precio spot del activo subyacente en el n ^-ésimo período. ${\displaystyle S_{n}}$

Paso 3: Encuentra el valor de la opción en los nodos anteriores

Una vez completado el paso anterior, se busca el valor de la opción para cada nodo, comenzando en el penúltimo paso de tiempo y retrocediendo hasta el primer nodo del árbol (la fecha de valoración), donde el resultado calculado es el valor de la opción.

En resumen: el "valor binomial" se encuentra en cada nodo, utilizando el supuesto de neutralidad de riesgo ; consulte Valoración neutral de riesgo . Si se permite el ejercicio en el nodo, entonces el modelo toma el mayor entre el valor binomial y el valor de ejercicio en el nodo.

Los pasos son los siguientes:

1. Según el supuesto de neutralidad de riesgo, el precio justo actual de un derivado es igual al valor esperado de su pago futuro descontado por la tasa libre de riesgo . Por lo tanto, el valor esperado se calcula utilizando los valores de las opciones de los dos nodos posteriores ( Opción al alza y Opción a la baja ) ponderados por sus respectivas probabilidades: "probabilidad" p de un movimiento al alza en el subyacente y "probabilidad" (1−p) de un movimiento a la baja. El valor esperado se descuenta entonces a r , la tasa libre de riesgo correspondiente a la vida de la opción.

   La siguiente fórmula para calcular el valor esperado se aplica en cada nodo:

   ${\displaystyle {\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)}$, o

   ${\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,}$

   dónde

   ${\displaystyle C_{t,i}\,}$es el valor de la opción para el nodo en el momento t , ${\displaystyle i^{th}\,}$

   ${\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}$se elige de modo que la distribución binomial relacionada simule el movimiento browniano geométrico del stock subyacente con parámetros r y σ ,

   q es el rendimiento del dividendo del subyacente correspondiente a la vida de la opción. De ello se deduce que en un mundo neutral al riesgo, el precio de futuros debería tener una tasa de crecimiento esperada de cero y, por lo tanto, podemos considerar futuros. ${\displaystyle q=r}$

   Nótese que para que p esté en el intervalo se debe cumplir la siguiente condición . ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

   (Tenga en cuenta que el enfoque de valoración alternativo, fijación de precios sin arbitraje , produce resultados idénticos; consulte “ cobertura delta ”).

2. Este resultado es el "valor binomial". Representa el precio justo del derivado en un momento determinado (es decir, en cada nodo), dada la evolución del precio del activo subyacente hasta ese momento. Es el valor de la opción si se la mantuviera, en lugar de si se la ejerciera en ese momento.
3. Dependiendo del estilo de la opción, evaluar la posibilidad de ejercicio anticipado en cada nodo: si (1) la opción puede ejercerse, y (2) el valor de ejercicio excede el Valor Binomial, entonces (3) el valor en el nodo es el valor de ejercicio.
   • Para una opción europea , no existe opción de ejercicio anticipado y el valor binomial se aplica en todos los nodos.
   • Para una opción americana , dado que la opción puede mantenerse o ejercerse antes del vencimiento, el valor en cada nodo es: Máx. (Valor binomial, Valor de ejercicio).
   • Para una opción de Bermudas , el valor en los nodos donde se permite el ejercicio anticipado es: Máx. (Valor binomial, Valor de ejercicio); en los nodos donde no se permite el ejercicio anticipado, solo se aplica el valor binomial.

Al calcular el valor en el siguiente paso de tiempo calculado (es decir, un paso más cerca de la valoración), el modelo debe utilizar el valor seleccionado aquí, para "Opción al alza"/"Opción a la baja" según corresponda, en la fórmula en el nodo. El algoritmo de Aside demuestra el enfoque para calcular el precio de una opción de venta estadounidense, aunque se puede generalizar fácilmente para opciones de compra y para opciones europeas y bermudeñas:

Relación con Black-Scholes

Supuestos similares sustentan tanto el modelo binomial como el modelo Black-Scholes , y el modelo binomial proporciona así una aproximación temporal discreta al proceso continuo que subyace al modelo Black-Scholes. El modelo binomial supone que los movimientos del precio siguen una distribución binomial ; para muchos ensayos, esta distribución binomial se aproxima a la distribución log-normal supuesta por Black-Scholes. En este caso, entonces, para las opciones europeas sin dividendos, el valor del modelo binomial converge al valor de la fórmula Black-Scholes a medida que aumenta el número de pasos de tiempo. ^{[4] [5]}

Además, cuando se analiza como un procedimiento numérico, el método binomial CRR puede verse como un caso especial del método de diferencias finitas explícito para la EDP de Black-Scholes ; véase métodos de diferencias finitas para la fijación de precios de opciones . ^[6]

Véase también

• Árbol trinomial , un modelo similar con tres caminos posibles por nodo.
• Árbol (estructura de datos)
• Modelo de red (finanzas) , para una discusión más general y aplicación a otros subyacentes
• Black-Scholes : las redes binomiales pueden manejar una variedad de condiciones para las cuales no se puede aplicar Black-Scholes.
• Modelo de opciones de Monte Carlo , utilizado en la valoración de opciones con características complicadas que las hacen difíciles de valorar a través de otros métodos.
• Análisis de opciones reales , donde el BOPM es ampliamente utilizado.
• Finanzas cuánticas , modelo de precios binomiales cuánticos.
• Finanzas matemáticas , que tiene una lista de artículos relacionados.
• Opciones sobre acciones de los empleados § Valoración , donde el BOPM se utiliza ampliamente.
• Árbol binomial implícito
• Árbol binomial de Edgeworth

Referencias

1. William F. Sharpe, biografía, nobelprize.org
2. Cox, JC ; Ross, SA ; Rubinstein, M. (1979). "Fijación de precios de opciones: un enfoque simplificado". Journal of Financial Economics . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . doi :10.1016/0304-405X(79)90015-1. 
3. Richard J. Rendleman, Jr. y Brit J. Bartter. 1979. "Fijación de precios de opciones en dos estados". Journal of Finance 24: 1093-1110. doi :10.2307/2327237
4. Mark s. Joshi (2008). La convergencia de árboles binomiales para fijar el precio de la opción put americana
5. Chance, Don M. Marzo de 2008 Una síntesis de modelos de fijación de precios de opciones binomiales para activos distribuidos de forma logarítmica normal Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Journal of Applied Finance, vol. 18
6. Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos binomiales y trinomiales de fijación de precios de opciones". Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. S2CID  11743572. Archivado desde el original el 22 de junio de 2007. 

Enlaces externos

• El modelo binomial para la determinación del precio de las opciones, Prof. Thayer Watkins
• Precios de opciones binomiales ( PDF ), Prof. Robert M. Conroy
• Modelo de fijación de precios de opciones binomiales de Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project
• Sobre la irrelevancia de los rendimientos esperados de las acciones en la fijación de precios de las opciones en el modelo binomial: una nota pedagógica de Valeri Zakamouline
• Una derivación simple de la probabilidad neutral al riesgo en el modelo de fijación de precios de opciones binomial por Greg Orosi