Capacidad de un conjunto

En matemáticas , la capacidad de un conjunto en el espacio euclidiano es una medida del "tamaño" de ese conjunto. A diferencia de, por ejemplo, la medida de Lebesgue , que mide el volumen o la extensión física de un conjunto, la capacidad es un análogo matemático de la capacidad de un conjunto para mantener una carga eléctrica . Más precisamente, es la capacitancia del conjunto: la carga total que un conjunto puede mantener mientras mantiene una energía potencial dada . La energía potencial se calcula con respecto a un terreno idealizado en el infinito para la capacidad armónica o newtoniana , y con respecto a una superficie para la capacidad del condensador .

Nota histórica

La noción de capacidad de un conjunto y de conjunto "capacitable" fue introducida por Gustave Choquet en 1950: para una explicación detallada, véase la referencia (Choquet 1986).

Definiciones

Capacidad del condensador

Sea Σ una hipersuperficie cerrada , lisa, de dimensión ( n  − 1) en un espacio euclidiano de dimensión n , n ≥ 3; K denotará el conjunto compacto de dimensión n (es decir, cerrado y acotado ) del que Σ es el límite . Sea S otra hipersuperficie de dimensión ( n − 1) que encierra a Σ: en referencia a sus orígenes en el electromagnetismo , el par (Σ,  S ) se conoce como condensador . La capacidad de condensador de Σ relativa a S , denotada C (Σ,  S ) o cap(Σ,  S ), está dada por la integral de superficie. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma ',}$

dónde:

• u es la única función armónica definida en la región D entre Σ y S con las condiciones de contorno u ( x ) = 1 en Σ y u ( x ) = 0 en S ;
• S ′ es cualquier superficie intermedia entre Σ y S ;
• ν es el campo normal unitario externo a S ′ y

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x)=\nabla u(x)\cdot \nu (x)}$

es la derivada normal de u en S ′ ; y

• σ _n  = 2 π ^{n ⁄2}  ⁄ Γ( n  ⁄ 2) es el área de superficie de la esfera unitaria en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

C (Σ,  S ) se puede definir de manera equivalente mediante la integral de volumen

${\displaystyle C(\Sigma ,S)={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

La capacidad del condensador también tiene una caracterización variacional : C (Σ,  S ) es el ínfimo de la función de energía de Dirichlet.

${\displaystyle I[v]={\frac {1}{(n-2)\sigma _{n}}}\int _{D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}$

sobre todas las funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x ) = 1 en Σ y v ( x ) = 0 en S .

Capacidad armónica

Heurísticamente , la capacidad armónica de K , la región limitada por Σ, se puede encontrar tomando la capacidad de condensador de Σ con respecto al infinito. Más precisamente, sea u la función armónica en el complemento de K que satisface u  = 1 en Σ y u ( x ) → 0 cuando x  → ∞. Por lo tanto, u es el potencial newtoniano de la capa simple Σ. Entonces, la capacidad armónica o capacidad newtoniana de K , denotada C ( K ) o cap( K ), se define por

${\displaystyle C(K)=\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus K}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}$

Si S es una hipersuperficie rectificable que encierra completamente a K , entonces la capacidad armónica se puede reescribir de manera equivalente como la integral sobre S de la derivada normal externa de u :

${\displaystyle C(K)=\int _{S}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma .}$

La capacidad armónica también puede entenderse como un límite de la capacidad del condensador. Es decir, sea S _r la esfera de radio r alrededor del origen en . Como K está acotada, para un valor r suficientemente grande , S _r encerrará a K y (Σ,  S _r ) formará un par condensador. La capacidad armónica es entonces el límite cuando r tiende a infinito: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C(K)=\lim _{r\to \infty }C(\Sigma ,S_{r}).}$

La capacidad armónica es una versión matemáticamente abstracta de la capacidad electrostática del conductor K y siempre es no negativa y finita: 0 ≤  C ( K ) < +∞.

La capacidad de Wiener o constante de Robin W(K) de K viene dada por

${\displaystyle C(K)=e^{-W(K)}}$

Capacidad logarítmica

En dos dimensiones, la capacidad se define como se indica anteriormente, pero eliminando el factor de en la definición: ${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle C(\Sigma ,S)=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{S'}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,\mathrm {d} \sigma '={\frac {1}{2\pi }}\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}$

A esto se le suele llamar capacidad logarítmica , el término logarítmico surge cuando la función potencial pasa de ser una potencia inversa a un logaritmo en el límite. Esto se explica a continuación. También se le puede llamar capacidad conforme , en referencia a su relación con el radio conforme . ${\displaystyle n\to 2}$

Propiedades

La función armónica u se denomina potencial de capacidad , potencial newtoniano cuando y potencial logarítmico cuando . Se puede obtener mediante una función de Green como ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle u(x)=\int _{S}G(x-y)d\mu (y)}$

siendo x un punto exterior a S , y

${\displaystyle G(x-y)={\frac {1}{|x-y|^{n-2}}}}$

cuando y ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle G(x-y)=\log {\frac {1}{|x-y|}}}$

para . ${\displaystyle n=2}$

La medida se denomina medida capacitiva o medida de equilibrio . Generalmente se considera una medida de Borel . Está relacionada con la capacidad como ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle C(K)=\int _{S}d\mu (y)=\mu (S)}$

La definición variacional de capacidad sobre la energía de Dirichlet se puede reexpresar como

${\displaystyle C(K)=\left[\inf _{\lambda }E(\lambda )\right]^{-1}}$

con el ínfimo tomado sobre todas las medidas positivas de Borel concentradas en K , normalizado de modo que y con es la integral de energía ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (K)=1}$ ${\displaystyle E(\lambda )}$

${\displaystyle E(\lambda )=\int \int _{K\times K}G(x-y)d\lambda (x)d\lambda (y)}$

Generalizaciones

La caracterización de la capacidad de un conjunto como el mínimo de un funcional de energía que alcanza valores límite particulares, dada anteriormente, puede extenderse a otros funcionales de energía en el cálculo de variaciones .

Divergencia de operadores elípticos

Soluciones a una ecuación diferencial parcial uniformemente elíptica con forma divergente

${\displaystyle \nabla \cdot (A\nabla u)=0}$

son minimizadores de la energía funcional asociada

${\displaystyle I[u]=\int _{D}(\nabla u)^{T}A(\nabla u)\,\mathrm {d} x}$

sujeto a condiciones límite apropiadas.

La capacidad de un conjunto E con respecto a un dominio D que contiene a E se define como el ínfimo de la energía sobre todas las funciones continuamente diferenciables v en D con v ( x ) = 1 en E ; y v ( x ) = 0 en el límite de D .

La energía mínima se logra mediante una función conocida como el potencial capacitivo de E con respecto a D , y resuelve el problema del obstáculo en D con la función de obstáculo proporcionada por la función indicadora de E. El potencial capacitivo se caracteriza alternativamente como la solución única de la ecuación con las condiciones de contorno apropiadas.

Véase también

• Capacidad analítica  : número que indica cuán grande puede llegar a ser una determinada función analítica acotada.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Capacitancia  : Capacidad de un cuerpo para almacenar una carga eléctrica.
• Potencial newtoniano  – Función de Green para Laplaciano
• Teoría del potencial  : funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace
• Teoría de Choquet  – Área de análisis funcional y análisis convexo

Referencias

• Brélot, Marcel (1967) [1960], Lecciones sobre teoría del potencial (Notas de KN Gowrisankaran y MK Venkatesha Murthy.) (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics. Matemáticas., vol. 19 (2.ª ed.), Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR  0259146, Zbl  0257.31001La segunda edición de estas notas de clase, revisada y ampliada con la ayuda de S. Ramaswamy, recompuesta, corregida una vez y disponible gratuitamente para su descarga.
• Choquet, Gustave (1986), "La naissance de la théorie des capacités: réflexion sur une expérience personalle", Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série générale, La Vie des sciences (en francés), 3 (4): 385–397, MR  0867115, Zbl  0607.01017, disponible en Gallica . Un relato histórico del desarrollo de la teoría de la capacidad por parte de su fundador y uno de los principales contribuyentes; una traducción al inglés del título dice: "El nacimiento de la teoría de la capacidad: reflexiones sobre una experiencia personal".
• Doob, Joseph Leo (1984), Teoría potencial clásica y su contraparte probabilística, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 262, Berlín– Heidelberg –Nueva York: Springer-Verlag, págs. xxiv+846, ISBN 0-387-90881-1, MR  0731258, Zbl  0549.31001
• Littman, W.; Stampacchia, G .; Weinberger, H. (1963), "Puntos regulares para ecuaciones elípticas con coeficientes discontinuos", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze , Serie III, 17 (12): 43–77, MR  0161019, Zbl  0116.30302, disponible en NUMDAM.
• Ransford, Thomas (1995), Teoría del potencial en el plano complejo , London Mathematical Society Student Texts, vol. 28, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7, Zbl0828.31001 ​
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Capacidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Constante de Robin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Energía de medidas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press