Radiación de frenado

Radiación electromagnética debida a la desaceleración de partículas cargadas

Radiación de frenado producida por un electrón de alta energía desviado en el campo eléctrico de un núcleo atómico.

En física de partículas , bremsstrahlung / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / ^[1] ( Pronunciación alemana: [ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ] ^ⓘ ; delalemán bremsen 'frenar' yStrahlung 'radiación') esla radiación electromagnéticaproducida por ladesaceleraciónde unapartícula cargadacuando es desviada por otra partícula cargada, típicamente unelectrónpor unnúcleo atómico. La partícula en movimiento pierdeenergía cinética, que se convierte en radiación (es decir,fotones), satisfaciendo así laley de conservación de la energía. El término también se utiliza para referirse al proceso de producción de la radiación.La Bremsstrahlungtiene unespectro continuo, que se vuelve más intenso y cuya intensidad máxima se desplaza hacia frecuencias más altas a medida que aumenta el cambio de la energía de las partículas desaceleradas.

En términos generales, la radiación de frenado o bremsstrahlung es cualquier radiación producida debido a la aceleración (positiva o negativa) de una partícula cargada, que incluye la radiación sincrotrón (es decir, la emisión de fotones por una partícula relativista ), la radiación ciclotrón (es decir, la emisión de fotones por una partícula no relativista) y la emisión de electrones y positrones durante la desintegración beta . Sin embargo, el término se utiliza con frecuencia en el sentido más estricto de la radiación de electrones (de cualquier fuente) que frenan la materia.

La radiación de frenado emitida por el plasma se denomina a veces radiación libre-libre . Esto se refiere al hecho de que la radiación en este caso es creada por electrones que están libres (es decir, no en un estado ligado atómico o molecular ) antes, y permanecen libres después, de la emisión de un fotón. En la misma jerga, la radiación ligada-ligada se refiere a líneas espectrales discretas (un electrón "salta" entre dos estados ligados), mientras que la radiación libre-ligada se refiere al proceso de combinación radiativa, en el que un electrón libre se recombina con un ion.

Este artículo utiliza unidades del SI, junto con la carga de partícula individual escalada . ${\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$

Descripción clásica

Líneas de campo y módulo del campo eléctrico generado por una carga (negativa) que primero se mueve a una velocidad constante y luego se detiene rápidamente para mostrar la radiación de frenado generada.

Si los efectos cuánticos son insignificantes, una partícula cargada en aceleración irradia energía como lo describe la fórmula de Larmor y su generalización relativista.

Potencia radiada total

La potencia radiada total es ^[2] donde (la velocidad de la partícula dividida por la velocidad de la luz), es el factor de Lorentz , es la permitividad del vacío , significa una derivada temporal de , y q es la carga de la partícula. En el caso en que la velocidad es paralela a la aceleración (es decir, movimiento lineal), la expresión se reduce a ^[3] donde es la aceleración. Para el caso de aceleración perpendicular a la velocidad ( ), por ejemplo en sincrotrones , la potencia total es $${\displaystyle P={\frac {2{\bar {q}}^{2}\gamma ^{4}}{3c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right),}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ ${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ $${\displaystyle P_{a\parallel v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}},}$$ ${\displaystyle a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0}$ $${\displaystyle P_{a\perp v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}.}$$

La potencia radiada en los dos casos límite es proporcional a o . Como , vemos que para partículas con la misma energía la potencia radiada total es o , lo que explica por qué los electrones pierden energía a la radiación de frenado mucho más rápidamente que las partículas cargadas más pesadas (por ejemplo, muones, protones, partículas alfa). Esta es la razón por la que un colisionador electrón-positrón de energía TeV (como el propuesto Colisionador Lineal Internacional ) no puede utilizar un túnel circular (que requiere una aceleración constante), mientras que un colisionador protón-protón (como el Gran Colisionador de Hadrones ) puede utilizar un túnel circular. Los electrones pierden energía debido a la radiación de frenado a una tasa veces mayor que los protones. ${\displaystyle \gamma ^{4}}$ ${\displaystyle \left(a\perp v\right)}$ ${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle \left(a\parallel v\right)}$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m^{-4}}$ ${\displaystyle m^{-6}}$ ${\displaystyle (m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^{4}\approx 10^{13}}$

Distribución angular

La fórmula más general para la potencia radiada en función del ángulo es: ^[4] donde es un vector unitario que apunta desde la partícula hacia el observador, y es un ángulo sólido infinitesimal. $${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Omega }$

En el caso donde la velocidad es paralela a la aceleración (por ejemplo, movimiento lineal), esto se simplifica a ^[4] donde es el ángulo entre y la dirección de observación . $${\displaystyle {\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Descripción mecánica cuántica simplificada

El tratamiento mecánico-cuántico completo de la radiación de frenado es muy complejo. El "caso del vacío" de la interacción de un electrón, un ion y un fotón, utilizando el potencial de Coulomb puro, tiene una solución exacta que probablemente fue publicada por primera vez por Arnold Sommerfeld en 1931. ^[5] Esta solución analítica implica matemáticas complicadas y se han publicado varios cálculos numéricos, como los de Karzas y Latter. ^[6] Se han presentado otras fórmulas aproximadas, como en trabajos recientes de Weinberg ^[7] y Pradler y Semmelrock. ^[8]

Esta sección ofrece un análogo mecánico cuántico de la sección anterior, pero con algunas simplificaciones para ilustrar la física importante. Damos un tratamiento no relativista del caso especial de un electrón de masa , carga , y velocidad inicial que desacelera en el campo de Coulomb de un gas de iones pesados ​​de carga y densidad numérica . La radiación emitida es un fotón de frecuencia y energía . Deseamos encontrar la emisividad que es la potencia emitida por (ángulo sólido en el espacio de velocidad del fotón * frecuencia del fotón), sumada sobre ambas polarizaciones transversales del fotón. La expresamos como un resultado clásico aproximado multiplicado por el factor de Gaunt de emisión libre-libre g _ff teniendo en cuenta las correcciones cuánticas y otras: si , es decir, el electrón no tiene suficiente energía cinética para emitir el fotón. Existe una fórmula general, mecánico cuántica para pero es muy complicada, y generalmente se encuentra mediante cálculos numéricos. Presentamos algunos resultados aproximados con las siguientes suposiciones adicionales: ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Ze}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \nu =c/\lambda }$ ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle j(v,\nu )}$ $${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$ ${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$ ${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$ ${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$

• Interacción con el vacío: ignoramos cualquier efecto del medio de fondo, como los efectos de apantallamiento del plasma. Esto es razonable para una frecuencia de fotones mucho mayor que la frecuencia del plasma con la densidad electrónica del plasma. Tenga en cuenta que las ondas de luz son evanescentes y se necesitaría un enfoque significativamente diferente. ${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$ ${\displaystyle n_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$
• Fotones suaves: es decir, la energía del fotón es mucho menor que la energía cinética inicial del electrón. ${\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2}$

Con estas suposiciones, dos parámetros sin unidad caracterizan el proceso: , que mide la fuerza de la interacción de Coulomb electrón-ión, y , que mide la "suavidad" del fotón y suponemos que siempre es pequeña (la elección del factor 2 es para conveniencia posterior). En el límite , la aproximación de Born de la mecánica cuántica da: ${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$ ${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}}$ ${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$ $${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

En el límite opuesto , el resultado mecánico cuántico completo se reduce al resultado puramente clásico, donde es la constante de Euler-Mascheroni . Nótese que es una expresión puramente clásica sin la constante de Planck . ${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$ $${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$ ${\displaystyle h}$

Una forma heurística semiclásica de entender el factor de Gaunt es escribirlo como donde y son los "parámetros de impacto" máximos y mínimos para la colisión electrón-ión, en presencia del campo eléctrico del fotón. Con nuestras suposiciones, : para parámetros de impacto mayores, la oscilación sinusoidal del campo de fotones proporciona una "mezcla de fases" que reduce fuertemente la interacción. es la mayor de las longitudes de onda de De Broglie de la mecánica cuántica y la distancia clásica de aproximación más cercana donde la energía potencial de Coulomb electrón-ión es comparable a la energía cinética inicial del electrón. ${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$ ${\displaystyle b_{\max }}$ ${\displaystyle b_{\min }}$ ${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$ ${\displaystyle b_{\rm {min}}}$ ${\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v}$ ${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}$

Las aproximaciones anteriores se aplican generalmente siempre que el argumento del logaritmo sea grande y fallan cuando es menor que la unidad. Es decir, estas formas para el factor de Gaunt se vuelven negativas, lo cual no es físico. Una aproximación aproximada a los cálculos completos, con los límites de Born y clásicos apropiados, es $${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

Bremsstrahlung térmico en un medio: emisión y absorción.

En esta sección se analiza la emisión de radiación de frenado y el proceso de absorción inversa (llamado radiación de frenado inversa) en un medio macroscópico. Comenzamos con la ecuación de transferencia radiativa, que se aplica a procesos generales y no solo a la radiación de frenado: $${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$es la intensidad espectral de la radiación, o potencia por (área × ángulo sólido en el espacio de velocidad de fotones × frecuencia de fotones) sumada sobre ambas polarizaciones. es la emisividad, análoga a la definida anteriormente, y es la absortividad. y son propiedades de la materia, no de la radiación, y dan cuenta de todas las partículas en el medio, no solo un par de un electrón y un ion como en la sección anterior. Si es uniforme en el espacio y el tiempo, entonces el lado izquierdo de la ecuación de transferencia es cero, y encontramos ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle j(v,\nu )}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$ $${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

Si la materia y la radiación también están en equilibrio térmico a cierta temperatura, entonces debe ser el espectro de cuerpo negro : Dado que y son independientes de , esto significa que debe ser el espectro de cuerpo negro siempre que la materia esté en equilibrio a cierta temperatura, independientemente del estado de la radiación. Esto nos permite saber inmediatamente ambos y una vez que se conoce uno, para la materia en equilibrio. ${\displaystyle I_{\nu }}$ $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}}$$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$

En plasma: resultados clásicos aproximados

NOTA : esta sección actualmente proporciona fórmulas que se aplican en el límite de Rayleigh-Jeans y no utiliza un tratamiento cuantizado (de Planck) de la radiación. Por lo tanto, no aparece un factor habitual como . La aparición de a continuación se debe al tratamiento mecánico cuántico de las colisiones. ${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$ ${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle y}$

Resultado clásico de Bekefi para el espectro de potencia de emisión de radiación de frenado a partir de una distribución electrónica de Maxwell. Disminuye rápidamente para valores grandes de , y también se suprime cerca de . Este gráfico corresponde al caso cuántico de , y . La curva azul es la fórmula completa con , la curva roja es la forma logarítmica aproximada para . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle T_{\text{e}}>Z^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\text{p}}/T_{\text{e}}=0.1}$ ${\displaystyle E_{1}(y)}$ ${\displaystyle y\ll 1}$

En un plasma , los electrones libres chocan continuamente con los iones, produciendo radiación de frenado. Un análisis completo requiere tener en cuenta tanto las colisiones binarias de Coulomb como el comportamiento colectivo (dieléctrico). Bekefi ^[9] ofrece un tratamiento detallado, mientras que Ichimaru ofrece uno simplificado. ^[10] En esta sección seguimos el tratamiento dieléctrico de Bekefi, con colisiones incluidas aproximadamente a través del número de onda de corte, . ${\displaystyle k_{\text{max}}}$

Consideremos un plasma uniforme, con electrones térmicos distribuidos según la distribución de Maxwell-Boltzmann con la temperatura . Siguiendo a Bekefi, la densidad espectral de potencia (potencia por intervalo de frecuencia angular por volumen, integrada sobre todo el sr del ángulo sólido y en ambas polarizaciones) de la radiación de frenado radiada, se calcula como donde es la frecuencia del plasma de electrones, es la frecuencia del fotón, es la densidad numérica de electrones e iones, y otros símbolos son constantes físicas . El segundo factor entre corchetes es el índice de refracción de una onda de luz en un plasma, y ​​muestra que la emisión se suprime en gran medida para (esta es la condición de corte para una onda de luz en un plasma; en este caso la onda de luz es evanescente ). Por tanto, esta fórmula solo se aplica para . Esta fórmula debe sumarse sobre las especies de iones en un plasma de múltiples especies. ${\displaystyle T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle 4\pi }$ $${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$ ${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$ ${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$

La función especial se define en el artículo integral exponencial y la cantidad sin unidades es ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$es un número de onda máximo o de corte, que surge debido a colisiones binarias, y puede variar con las especies iónicas. Aproximadamente, cuando (típico en plasmas que no son demasiado fríos), donde eV es la energía de Hartree y ^{[ aclaración necesaria ]} es la longitud de onda de De Broglie térmica del electrón . De lo contrario, donde es la distancia clásica de Coulomb de aproximación más cercana. ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$ ${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$ ${\displaystyle l_{\text{C}}}$

Para el caso habitual , encontramos ${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

La fórmula para es aproximada, ya que no tiene en cuenta la emisión mejorada que se produce para valores ligeramente superiores a . ${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$

En el límite , podemos aproximarnos como donde es la constante de Euler-Mascheroni . El término logarítmico principal se utiliza con frecuencia y se asemeja al logaritmo de Coulomb que aparece en otros cálculos de plasma de colisión. El término logarítmico es negativo y la aproximación es claramente inadecuada. Bekefi proporciona expresiones corregidas para el término logarítmico que coinciden con los cálculos detallados de colisión binaria. ${\displaystyle y\ll 1}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$

La densidad de potencia de emisión total, integrada en todas las frecuencias, es $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$y disminuye con ; siempre es positivo. Para , encontramos ${\displaystyle y_{\text{p}}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

Nótese la aparición de debido a la naturaleza cuántica de . En unidades prácticas, una versión comúnmente utilizada de esta fórmula para es ^[11] ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle G=1}$ $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

Esta fórmula es 1,59 veces la dada anteriormente, con la diferencia debida a detalles de colisiones binarias. Esta ambigüedad se expresa a menudo introduciendo el factor Gaunt , por ejemplo, en ^[12] se encuentra que todo se expresa en unidades CGS . ${\displaystyle g_{\rm {B}}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$

Correcciones relativistas

Correcciones relativistas a la emisión de un fotón de 30 keV por un electrón que impacta sobre un protón.

Para temperaturas muy altas existen correcciones relativistas a esta fórmula, es decir, términos adicionales del orden de . ^[13] ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$

Refrigeración por radiación de frenado

Si el plasma es ópticamente delgado , la radiación de frenado sale del plasma, llevándose parte de la energía interna del plasma. Este efecto se conoce como enfriamiento por frenado . Es un tipo de enfriamiento radiativo . La energía que se lleva la radiación de frenado se denomina pérdidas por frenado y representa un tipo de pérdidas radiativas. Generalmente se utiliza el término pérdidas por frenado en el contexto en el que el enfriamiento del plasma no es deseado, como por ejemplo en los plasmas de fusión .

Bremsstrahlung polarizacional

La radiación de frenado polarizada (a veces denominada "radiación de frenado atómica") es la radiación emitida por los electrones atómicos del objetivo cuando el átomo del objetivo está polarizado por el campo de Coulomb de la partícula cargada incidente. ^{[14] [15]} Se han observado contribuciones de la radiación de frenado polarizada al espectro total de radiación de frenado en experimentos que involucran partículas incidentes relativamente masivas, ^[16] procesos de resonancia, ^[17] y átomos libres. ^[18] Sin embargo, todavía hay cierto debate sobre si existen o no contribuciones significativas de la radiación de frenado polarizada en experimentos que involucran electrones rápidos incidentes sobre objetivos sólidos. ^{[19] [20]}

Cabe señalar que el término "polarización" no implica que la radiación de frenado emitida esté polarizada. Además, la distribución angular de la radiación de frenado polarización es teóricamente bastante diferente de la radiación de frenado ordinaria. ^[21]

Fuentes

Tubo de rayos X

Espectro de rayos X emitidos por un tubo de rayos X con un blanco de rodio , operado a 60 kV . La curva continua se debe a la radiación de frenado y los picos son líneas K características del rodio. La curva tiende a cero a las 21 pm de acuerdo con la ley de Duane-Hunt , como se describe en el texto.

En un tubo de rayos X , los electrones son acelerados en el vacío por un campo eléctrico hacia un trozo de material llamado "objetivo". Los rayos X se emiten cuando los electrones chocan con el objetivo.

Ya a principios del siglo XX los físicos descubrieron que los rayos X constan de dos componentes, uno independiente del material del objetivo y otro con características de fluorescencia . ^[22] Ahora decimos que el espectro de salida consiste en un espectro continuo de rayos X con picos agudos adicionales a ciertas energías. El primero se debe a la radiación de frenado, mientras que los segundos son rayos X característicos asociados a los átomos del objetivo. Por esta razón, la radiación de frenado en este contexto también se llama rayos X continuos . ^[23] El término alemán en sí fue introducido en 1909 por Arnold Sommerfeld para explicar la naturaleza de la primera variedad de rayos X. ^[22]

La forma de este espectro continuo está descrita aproximadamente por la ley de Kramers .

La fórmula de la ley de Kramers se da generalmente como la distribución de la intensidad (número de fotones) en función de la longitud de onda de la radiación emitida: ^[24] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}$$

La constante K es proporcional al número atómico del elemento objetivo y es la longitud de onda mínima dada por la ley de Duane-Hunt . ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

El espectro tiene un corte brusco en , que se debe a la energía limitada de los electrones entrantes. Por ejemplo, si un electrón en el tubo se acelera a través de 60 kV , entonces adquirirá una energía cinética de 60 keV , y cuando golpea el objetivo puede crear rayos X con energía de 60 keV como máximo, por conservación de la energía . (Este límite superior corresponde a que el electrón se detenga emitiendo solo un fotón de rayos X . Por lo general, el electrón emite muchos fotones, y cada uno tiene una energía menor a 60 keV). Un fotón con energía de 60 keV como máximo tiene una longitud de onda de al menos ${\displaystyle \lambda _{\min }}$21  pm , por lo que el espectro continuo de rayos X tiene exactamente ese límite, como se ve en el gráfico. De manera más general, la fórmula para el límite de longitud de onda baja, la ley de Duane-Hunt, es: ^[25] donde h es la constante de Planck , c es la velocidad de la luz , V es el voltaje a través del cual se aceleran los electrones, e es la carga elemental y pm son picómetros . $${\displaystyle \lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm/kV} }$$

Desintegración beta

Las sustancias que emiten partículas beta a veces presentan una radiación débil con un espectro continuo que se debe a la radiación de frenado (véase la "radiación de frenado externa" más abajo). En este contexto, la radiación de frenado es un tipo de "radiación secundaria", ya que se produce como resultado de detener (o ralentizar) la radiación primaria ( partículas beta ). Es muy similar a los rayos X producidos al bombardear objetivos metálicos con electrones en generadores de rayos X (como se indicó anteriormente), excepto que se produce por electrones de alta velocidad de la radiación beta.

Bremsstrahlung interior y exterior

La radiación de frenado "interna" (también conocida como "radiación de frenado interna") surge de la creación del electrón y su pérdida de energía (debido al fuerte campo eléctrico en la región del núcleo que se está desintegrando) cuando abandona el núcleo. Esta radiación es una característica de la desintegración beta en los núcleos, pero ocasionalmente (con menos frecuencia) se observa en la desintegración beta de neutrones libres a protones, donde se crea cuando el electrón beta abandona el protón.

En la emisión de electrones y positrones por desintegración beta, la energía del fotón proviene del par electrón- nucleón , y el espectro de la radiación de frenado disminuye continuamente con el aumento de la energía de la partícula beta. En la captura de electrones, la energía se produce a expensas del neutrino , y el espectro es máximo en aproximadamente un tercio de la energía normal del neutrino, disminuyendo hasta cero energía electromagnética en la energía normal del neutrino. Tenga en cuenta que en el caso de la captura de electrones, se emite radiación de frenado aunque no se emita ninguna partícula cargada. En cambio, se puede pensar que la radiación de frenado se crea a medida que el electrón capturado se acelera para ser absorbido. Dicha radiación puede estar en frecuencias que son las mismas que la radiación gamma suave , pero no exhibe ninguna de las líneas espectrales agudas de la desintegración gamma y, por lo tanto, técnicamente no es radiación gamma.

El proceso interno debe contrastarse con la radiación de frenado "externa" debido al impacto en el núcleo de electrones que vienen del exterior (es decir, emitidos por otro núcleo), como se explicó anteriormente. ^[26]

Seguridad radiológica

En algunos casos, como la descomposición de32P , la radiación de frenado producida al proteger la radiación beta con los materiales densos normalmente utilizados (por ejemplo, plomo ) es en sí misma peligrosa; en tales casos, el blindaje debe lograrse con materiales de baja densidad, como plexiglás ( lucita ), plástico , madera o agua ; ^[27] como el número atómico es menor para estos materiales, la intensidad de la radiación de frenado se reduce significativamente, pero se requiere un mayor espesor de blindaje para detener los electrones (radiación beta).

En astrofísica

El componente luminoso dominante en un cúmulo de galaxias es el medio intracúmulo de 10 ⁷ a 10 ⁸ kelvin . La emisión del medio intracúmulo se caracteriza por bremsstrahlung térmico. Esta radiación está en el rango de energía de los rayos X y se puede observar fácilmente con telescopios espaciales como el Observatorio de rayos X Chandra , XMM-Newton , ROSAT , ASCA , EXOSAT , Suzaku , RHESSI y misiones futuras como IXO [1] y Astro-H [2].

La radiación de frenado también es el mecanismo de emisión dominante para las regiones H II en longitudes de onda de radio.

En descargas eléctricas

En las descargas eléctricas, por ejemplo, en las descargas de laboratorio entre dos electrodos o en las descargas de rayos entre una nube y el suelo o dentro de las nubes, los electrones producen fotones de Bremsstrahlung al dispersarse en las moléculas del aire. Estos fotones se manifiestan en destellos de rayos gamma terrestres y son la fuente de haces de electrones, positrones, neutrones y protones. ^[28] La aparición de fotones de Bremsstrahlung también influye en la propagación y la morfología de las descargas en mezclas de nitrógeno y oxígeno con bajos porcentajes de oxígeno. ^[29]

Descripción mecánica cuántica

La descripción mecánica cuántica completa fue realizada por primera vez por Bethe y Heitler. ^[30] Supusieron ondas planas para los electrones que se dispersan en el núcleo de un átomo y derivaron una sección transversal que relaciona la geometría completa de ese proceso con la frecuencia del fotón emitido. La sección transversal diferencial cuádruple, que muestra una simetría mecánica cuántica para la producción de pares , es

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

donde es el número atómico , la constante de estructura fina , la constante de Planck reducida y la velocidad de la luz . La energía cinética del electrón en el estado inicial y final está relacionada con su energía total o sus momentos mediante donde es la masa de un electrón . La conservación de la energía da donde es la energía del fotón. Las direcciones del fotón emitido y del electrón dispersado están dadas por donde es el momento del fotón. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$ ${\displaystyle E_{i,f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$ $${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ $${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Los diferenciales se dan como $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

El valor absoluto del fotón virtual entre el núcleo y el electrón es

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$

El rango de validez viene dado por la aproximación de Born donde esta relación debe cumplirse para la velocidad del electrón en el estado inicial y final. $${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$ ${\displaystyle v}$

Para aplicaciones prácticas (por ejemplo, en códigos de Monte Carlo ) puede ser interesante centrarse en la relación entre la frecuencia del fotón emitido y el ángulo entre este fotón y el electrón incidente. Köhn y Ebert integraron la sección eficaz diferencial cuádruple de Bethe y Heitler sobre y y obtuvieron: ^[31] con ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta _{f}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$

Sin embargo, una expresión mucho más simple para la misma integral se puede encontrar en ^[32] (Ec. 2BN) y en ^[33] (Ec. 4.1).

Un análisis de la sección transversal doblemente diferencial anterior muestra que los electrones cuya energía cinética es mayor que la energía en reposo (511 keV) emiten fotones en dirección hacia adelante, mientras que los electrones con una energía pequeña emiten fotones isótropamente.

Bremsstrahlung electrón-electrón

Un mecanismo, considerado importante para números atómicos pequeños , es la dispersión de un electrón libre en los electrones de la capa de un átomo o molécula. ^[34] Dado que la radiación de frenado electrón-electrón es una función de y la radiación de frenado electrón-núcleo habitual es una función de , la radiación de frenado electrón-electrón es insignificante para los metales. Sin embargo, para el aire, desempeña un papel importante en la producción de destellos de rayos gamma terrestres . ^[35] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{2}}$

Véase también

• Rayo de luz
• Radiación ciclotrónica
• Wiggler (sincrotrón)
• Láser de electrones libres
• Historia de los rayos X
• Efecto Landau-Pomeranchuk-Migdal
• Fusión nuclear: pérdidas por bremsstrahlung
• Longitud de radiación que caracteriza la pérdida de energía por radiación de frenado de electrones de alta energía en la materia
• Fuente de luz de sincrotrón

Referencias

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Lectura adicional

• Eberhard Haug; Werner Nakel (2004). El proceso elemental de la radiación de frenado. Apuntes de clases científicas de física. Vol. 73. River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 978-981-238-578-9.

Enlaces externos

• Índice de artículos antiguos sobre Bremsstrahlung