Teorema del triángulo rectángulo de Fermat

Los triángulos rectángulos racionales no pueden tener área cuadrada.

Dos triángulos rectángulos con los dos catetos del superior iguales al cateto y la hipotenusa del inferior. Para estas longitudes, , y forman una progresión aritmética separada por un espacio de . No es posible que las cuatro longitudes , , y sean números enteros. ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

El teorema del triángulo rectángulo de Fermat es una prueba de inexistencia en teoría de números , publicada en 1670 entre las obras de Pierre de Fermat , poco después de su muerte. Es la única prueba completa aportada por Fermat. ^[1] Tiene varias formulaciones equivalentes, una de las cuales fue afirmada (pero no probada) en 1225 por Fibonacci . En sus formas geométricas dice:

• Un triángulo rectángulo en el plano euclidiano cuyas longitudes de tres lados son números racionales no puede tener un área que sea el cuadrado de un número racional. El área de un triángulo rectángulo de lados racionales se llama número congruente , por lo que ningún número congruente puede ser cuadrado.
• Un triángulo rectángulo y un cuadrado con áreas iguales no pueden tener todos sus lados conmensurados entre sí.
• No existen dos triángulos rectángulos de lados enteros en los que los dos catetos de un triángulo sean el cateto y la hipotenusa del otro triángulo.

De manera más abstracta, como resultado de las ecuaciones diofánticas (soluciones de números enteros o racionales a ecuaciones polinómicas), es equivalente a las afirmaciones que:

• Si tres números cuadrados forman una progresión aritmética , entonces la brecha entre números consecutivos en la progresión (llamada congruum ) no puede ser en sí misma cuadrada.
• Los únicos puntos racionales en la curva elíptica son los tres puntos triviales con y . ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x+1)}$ ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}}$ ${\displaystyle y=0}$
• La ecuación de cuarto grado no tiene solución entera distinta de cero. ${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$

Una consecuencia inmediata de la última de estas formulaciones es que el último teorema de Fermat es verdadero en el caso especial de que su exponente sea 4.

Formulación

Cuadrados en progresión aritmética

En 1225, el emperador Federico II desafió al matemático Fibonacci a participar en un concurso matemático contra varios otros matemáticos, con tres problemas planteados por el filósofo de su corte Juan de Palermo. El primero de estos problemas pedía tres números racionales cuyos cuadrados estuvieran igualmente espaciados a cinco unidades, resuelto por Fibonacci con los tres números , y . En El libro de los cuadrados , publicado más tarde ese mismo año por Fibonacci, resolvió el problema más general de encontrar ternas de números cuadrados que estén equidistantes entre sí, formando una progresión aritmética . Fibonacci llamó congruum a la brecha entre estos números . ^[2] Una forma de describir la solución de Fibonacci es que los números a elevar al cuadrado son la diferencia de los catetos, la hipotenusa y la suma de los catetos de un triángulo pitagórico , y que el congruum es cuatro veces el área del mismo triángulo. ^[3] Fibonacci observó que es imposible que un congruum sea en sí mismo un número cuadrado, pero no presentó una prueba satisfactoria de este hecho. ^[4] ${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {41}{12}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {49}{12}}}$

Si tres cuadrados , y pudieran formar una progresión aritmética cuyo congruum fuera también un cuadrado , entonces estos números satisfacerían las ecuaciones diofánticas ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+d^{2}&=b^{2},\\b^{2}+d^{2}&=c^{2}.\\\end{aligned}}}$$

teorema de Pitágorastriángulos rectángulos^[5] ${\displaystyle (d,b)}$

Áreas de triángulos rectángulos

Debido a que los congrua son exactamente los números que tienen cuatro veces el área de un triángulo pitagórico, y la multiplicación por cuatro no cambia si un número es cuadrado, la existencia de un congruum cuadrado es equivalente a la existencia de un triángulo pitagórico con un área cuadrada. . Es esta variante del problema a la que se refiere la demostración de Fermat: demuestra que no existe tal triángulo. Al considerar este problema, Fermat no se inspiró en Fibonacci sino en una edición de Arithmetica de Diofanto , publicada en una traducción al francés en 1621 por Claude Gaspar Bachet de Méziriac . ^[6] Este libro describió varios triángulos rectángulos especiales cuyas áreas tenían formas relacionadas con cuadrados, pero no consideró el caso de áreas que eran en sí mismas cuadradas. ^[7]

Al reorganizar las ecuaciones de los dos triángulos pitagóricos anteriores y luego multiplicarlos, se obtiene la única ecuación diofántica.

$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}}$$

${\displaystyle e=ac}$

$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}.}$$

el último teorema de Fermat^[7] ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$ ${\displaystyle (b^{4}-d^{4}-2b^{2}d^{2})^{2}}$ ${\displaystyle (b^{4}+d^{4})^{2}}$ ${\displaystyle (b^{4}-d^{4}+2b^{2}d^{2})^{2}}$ ${\displaystyle 4b^{2}d^{2}(b^{4}-d^{4})=(2bde)^{2}}$ ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ ${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$ ${\displaystyle 4}$

Otra formulación equivalente del mismo problema involucra números congruentes , los números que son áreas de triángulos rectángulos cuyos tres lados son todos números racionales . Multiplicando los lados por un denominador común, cualquier número congruente se puede transformar en el área de un triángulo pitagórico, de lo que se deduce que los números congruentes son exactamente los números formados al multiplicar un congruum por el cuadrado de un número racional. ^[8] Por tanto, la existencia de un cuadrado congruente equivale a afirmar que el número 1 no es un número congruente. ^[9] Otra forma más geométrica de expresar esta formulación es que es imposible que un cuadrado (la forma geométrica) y un triángulo rectángulo tengan áreas iguales y todos los lados sean proporcionales entre sí. ^[10]

Curva elíptica

La curva elíptica y ² = x ( x + 1)( x − 1) . Los tres puntos racionales (−1,0), (0,0) y (1,0) son los cruces de esta curva con el eje x .

Otra forma equivalente del teorema de Fermat implica la curva elíptica que consta de los puntos cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-1).}$$

^[11] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=x(x+n)(x-n)}$

La prueba de Fermat

Durante su vida, Fermat desafió a varios otros matemáticos a demostrar la inexistencia de un triángulo pitagórico con área cuadrada, pero él mismo no publicó la prueba. Sin embargo, escribió una prueba en su copia de la Arithmetica de Diofanto , la misma copia en la que escribió que podía demostrar el último teorema de Fermat . El hijo de Fermat, Clement-Samuel, publicó una edición de este libro, incluidas las notas marginales de Fermat con la demostración del teorema del triángulo rectángulo, en 1670. ^[12]

La prueba de Fermat es una prueba por descenso infinito . Muestra que, de cualquier ejemplo de triángulo pitagórico con área cuadrada, se puede derivar un ejemplo más pequeño. Dado que los triángulos pitagóricos tienen áreas enteras positivas y no existe una secuencia descendente infinita de números enteros positivos, tampoco puede existir un triángulo pitagórico con área cuadrada. ^[13]

Con más detalle, supongamos que , y son los lados enteros de un triángulo rectángulo con área cuadrada. Al dividir por cualquier factor común, se puede suponer que este triángulo es primitivo ^[10] y a partir de la forma conocida de todos los triples pitagóricos primitivos, se puede establecer , y , mediante lo cual el problema se transforma en encontrar números enteros relativamente primos y (uno de los cuales es par) tal que el área es cuadrada. Para que este número sea un cuadrado, sus cuatro factores lineales , , y (que son primos relativos) deben ser cuadrados; dejar y . Ambos y deben ser impares ya que exactamente uno de o es par y el otro es impar. Por lo tanto, ambos y son pares, y uno de ellos es divisible por 4. Al dividirlos por dos se obtienen dos números enteros más y , uno de los cuales es par por la frase anterior. Porque es un cuadrado, y son los catetos de otro triángulo pitagórico primitivo cuya área es . Como es en sí mismo un cuadrado y como es par, es un cuadrado. Por lo tanto, cualquier triángulo pitagórico con área cuadrada conduce a un triángulo pitagórico más pequeño con área cuadrada, completando la prueba. ^[14] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x=2pq}$ ${\displaystyle y=p^{2}-q^{2}}$ ${\displaystyle z=p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle pq(p^{2}-q^{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p+q}$ ${\displaystyle p-q}$ ${\displaystyle p+q=r^{2}}$ ${\displaystyle p-q=s^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r-s}$ ${\displaystyle r+s}$ ${\displaystyle u=(r-s)/2}$ ${\displaystyle v=(r+s)/2}$ ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=(r^{2}+s^{2})/2=p}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle uv/2=q/4}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle uv}$ ${\displaystyle q/4}$

Notas

1. Edwards (2000). Muchos matemáticos posteriores publicaron pruebas, entre ellos Gottfried Wilhelm Leibniz (1678), Leonhard Euler (1747) y Bernard Frenicle de Bessy (antes de 1765); véase Dickson (1920) y Goldstein (1995).
2. Bradley (2006).
3. Beiler (1964).
4. Mineral (2012); Dickson (1920).
5. Cooper y Poirel (2008) describen como "bien conocido" el hecho de que no puede haber dos triángulos rectángulos que compartan dos de sus lados, y la conexión entre este problema y el problema de los cuadrados en progresión aritmética.
6. Edwards (2000).
7. Stillwell (1998).
8. Conrado (2008); Koblitz (1993, pág. 3).
9. Conrad (2008), Teorema 2; Koblitz (1993), Ejercicio 3, pág. 5.
10. Dickson (1920).
11. Koblitz (1993), Proposición 19, págs. 46–47; Kato y Saitō (2000).
12. Edwards (2000); Dickson (1920). Para otras pruebas, véanse Grant y Perella (1999) y Barbara (2007).
13. Edwards (2000); Dickson (1920).
14. Edwards (2000); Dickson (1920); Stillwell (1998).

Referencias

• Barbara, Roy (julio de 2007), "91.33 El último teorema de Fermat en el caso ", Notas, The Mathematical Gazette , 91 (521): 260–262, doi :10.1017/S002555720018163X, JSTOR  40378352, S2CID  125255403 ${\displaystyle n=4}$
• Beiler, Albert H. (1964), Recreaciones en la teoría de números: la reina de las matemáticas entretiene, Dover Books, pág. 153, ISBN 978-0-486-21096-4
• Bradley, Michael John (2006), El nacimiento de las matemáticas: desde la antigüedad hasta 1300, Infobase Publishing, pág. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7
• Conrad, Keith (otoño de 2008), "El problema de los números congruentes" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, archivado desde el original (PDF) el 20 de enero de 2013
• Cooper, Josué; Poirel, Chris (2008), Regularidad de partición pitagórica y sistemas triples ordenados con la propiedad de suma , arXiv : 0809.3478
• Dickson, Leonard Eugene (1920), "La suma o diferencia de dos bicuadrados nunca es un cuadrado; el área de un triángulo rectángulo racional nunca es un cuadrado", Historia de la teoría de números, Volumen II: Análisis diofántico , Carnegie Institution of Washington, págs. 615–620
• Edwards, Harold M. (2000), "1.6 La única prueba de Fermat", El último teorema de Fermat: una introducción genética a la teoría algebraica de números , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 50, Springer, págs. 10-14, ISBN 978-0-387-95002-0
• Goldstein, Catherine (1995), Un théorème de Fermat et ses lecteurs , Saint-Denis: Presses Universaires de Vincennes
• Conceder, Mike; Perella, Malcolm (julio de 1999), "83.25 Descending to the irrational", Notes, The Mathematical Gazette , 83 (497): 263–267, doi :10.2307/3619054, JSTOR  3619054, S2CID  125167994
• Kato, Kazuya; Saitō, Takeshi (2000), Teoría de números: el sueño de Fermat, Traducciones de monografías matemáticas, traducidas por Nobushige Kurokawa, American Mathematical Society, p. 17, ISBN 978-0-8218-0863-4
• Koblitz, Neal (1993), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 97 (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2
• Ore, Øystein (2012), La teoría de números y su historia, Dover Books, págs. 202-203, ISBN 978-0-486-13643-1
• Stillwell, John (1998), "4.7 El área de los triángulos rectángulos racionales", Números y geometría , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, págs. 131-133, ISBN 978-0-387-98289-2