En matemáticas , el fenómeno de Gibbs es el comportamiento oscilatorio de la serie de Fourier de una función periódica continuamente diferenciable por partes alrededor de una discontinuidad de salto . La serie de Fourier parcial de la función (formada por la suma de las senos paranasales constituyentes más bajas de la serie de Fourier de la función) produce grandes picos alrededor del salto que sobrepasan o no alcanzan los valores de la función. A medida que se utilizan más senos paranasales, este error de aproximación se acerca a un límite de aproximadamente el 9% del salto, aunque la suma infinita de la serie de Fourier finalmente converge casi en todas partes (convergencia puntual en puntos continuos) excepto en los puntos de discontinuidad. [1]
El fenómeno de Gibbs fue observado por físicos experimentales y se creía que se debía a imperfecciones en el aparato de medición, [2] pero en realidad es un resultado matemático. Es una de las causas de los artefactos de zumbido en el procesamiento de señales . Recibe su nombre en honor a Josiah Willard Gibbs .
El fenómeno de Gibbs es un comportamiento de la serie de Fourier de una función con una discontinuidad de salto y se describe de la siguiente manera:
A medida que se toman más constituyentes o componentes de la serie de Fourier, la serie de Fourier muestra el primer sobreimpulso en el comportamiento oscilatorio alrededor del punto de salto acercándose a ~ 9% del salto (completo) y esta oscilación no desaparece sino que se acerca al punto tal que la integral de la oscilación se acerca a cero.
En el punto de salto, la serie de Fourier da el promedio de los límites de ambos lados de la función hacia el punto.
Las tres imágenes de la derecha demuestran el fenómeno de Gibbs para una onda cuadrada (con una amplitud pico a pico de a y una periodicidad ) cuya serie parcial de Fourier es
donde . Más precisamente, esta onda cuadrada es la función que es igual a entre y y entre y para cada entero ; por lo tanto, esta onda cuadrada tiene una discontinuidad de salto de altura de pico a pico en cada múltiplo entero de .
A medida que se añaden más términos sinusoidales (es decir, se aumenta ), el error de la serie parcial de Fourier converge a una altura fija. Pero debido a que el ancho del error continúa estrechándose, el área del error (y, por lo tanto, la energía del error) converge a 0. [3] El análisis de onda cuadrada revela que el error excede la altura (desde cero) de la onda cuadrada en ( OEIS : A243268 )
o alrededor del 9% del salto completo . De manera más general, en cualquier discontinuidad de una función continuamente diferenciable por partes con un salto de , la serie parcial de Fourier de la función (para un valor muy grande ) sobrepasará este salto por un error que se aproxima en un extremo y lo dejará corto por la misma cantidad en el otro extremo; por lo tanto, el "salto completo" en la serie parcial de Fourier será aproximadamente un 18% mayor que el salto completo en la función original. En la discontinuidad, la serie parcial de Fourier convergerá al punto medio del salto (independientemente del valor real de la función original en la discontinuidad) como consecuencia del teorema de Dirichlet . [4] La cantidad ( OEIS : A036792 ) a veces se conoce como la constante de Wilbraham -Gibbs . [5]
El fenómeno de Gibbs fue observado y analizado por primera vez por Henry Wilbraham en un artículo de 1848. [6] El artículo atrajo poca atención hasta 1914 cuando fue mencionado en la revisión de análisis matemático de Heinrich Burkhardt en la enciclopedia de Klein . [7] En 1898, Albert A. Michelson desarrolló un dispositivo que podía calcular y resintetizar la serie de Fourier. [8] Un mito muy extendido dice que cuando los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada se ingresaban en la máquina, el gráfico oscilaría en las discontinuidades, y que debido a que era un dispositivo físico sujeto a fallas de fabricación, Michelson estaba convencido de que el sobreimpulso era causado por errores en la máquina. De hecho, los gráficos producidos por la máquina no eran lo suficientemente buenos para exhibir el fenómeno de Gibbs claramente, y Michelson puede no haberlo notado ya que no mencionó este efecto en su artículo (Michelson & Stratton 1898) sobre su máquina o sus cartas posteriores a Nature . [9]
Inspirado por la correspondencia en Nature entre Michelson y AEH Love sobre la convergencia de la serie de Fourier de la función de onda cuadrada, J. Willard Gibbs publicó una nota en 1898 señalando la importante distinción entre el límite de los gráficos de las sumas parciales de la serie de Fourier de una onda de diente de sierra y el gráfico del límite de esas sumas parciales. En su primera carta, Gibbs no se dio cuenta del fenómeno de Gibbs, y el límite que describió para los gráficos de las sumas parciales era inexacto. En 1899 publicó una corrección en la que describió el sobreimpulso en el punto de discontinuidad ( Nature , 27 de abril de 1899, p. 606). En 1906, Maxime Bôcher realizó un análisis matemático detallado de ese sobreimpulso, acuñando el término "fenómeno de Gibbs" [10] y dándole un uso generalizado. [9]
Después de que la existencia del artículo de Henry Wilbraham se hizo ampliamente conocida, en 1925 Horatio Scott Carslaw comentó: "Todavía podemos llamar a esta propiedad de la serie de Fourier (y algunas otras series) el fenómeno de Gibbs; pero ya no debemos afirmar que la propiedad fue descubierta por primera vez por Gibbs". [11]
De manera informal, el fenómeno de Gibbs refleja la dificultad inherente a la aproximación de una función discontinua mediante una serie finita de ondas sinusoidales continuas . Es importante hacer hincapié en la palabra finito , porque aunque cada suma parcial de la serie de Fourier se sobrepasa alrededor de cada discontinuidad que está aproximando, el límite de sumar un número infinito de ondas sinusoidales no lo hace. Los picos de sobrepaso se acercan cada vez más a la discontinuidad a medida que se suman más términos, por lo que la convergencia es posible.
No hay contradicción (entre el error de sobreimpulso que converge a una altura distinta de cero aunque la suma infinita no tenga sobreimpulso), porque los picos de sobreimpulso se mueven hacia la discontinuidad. El fenómeno de Gibbs exhibe así convergencia puntual , pero no convergencia uniforme . Para una función continuamente diferenciable por partes (clase C 1 ) , la serie de Fourier converge a la función en cada punto excepto en las discontinuidades de salto. En las discontinuidades de salto, la suma infinita convergerá al punto medio de la discontinuidad de salto (es decir, el promedio de los valores de la función a cada lado del salto), como consecuencia del teorema de Dirichlet . [4]
El fenómeno de Gibbs está estrechamente relacionado con el principio de que la suavidad de una función controla la tasa de decaimiento de sus coeficientes de Fourier. Los coeficientes de Fourier de las funciones más suaves decaerán más rápidamente (lo que dará como resultado una convergencia más rápida), mientras que los coeficientes de Fourier de las funciones discontinuas decaerán lentamente (lo que dará como resultado una convergencia más lenta). Por ejemplo, la onda cuadrada discontinua tiene coeficientes de Fourier que decaen solo a una tasa de , mientras que la onda triangular continua tiene coeficientes de Fourier que decaen a una tasa mucho más rápida de .
Esto sólo proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, ya que las series de Fourier con coeficientes de Fourier absolutamente convergentes serían uniformemente convergentes según la prueba M de Weierstrass y, por lo tanto, no podrían exhibir el comportamiento oscilatorio anterior. Por la misma razón, es imposible que una función discontinua tenga coeficientes de Fourier absolutamente convergentes, ya que la función sería entonces el límite uniforme de las funciones continuas y, por lo tanto, sería continua, una contradicción. Véase Convergencia de series de Fourier § Convergencia absoluta .
Dado que el fenómeno de Gibbs proviene de un error de cálculo, se puede eliminar utilizando núcleos que nunca sean negativos, como el núcleo de Fejér . [12] [13]
En la práctica, las dificultades asociadas con el fenómeno de Gibbs se pueden mejorar utilizando un método más suave de suma de series de Fourier, como la suma de Fejér o la suma de Riesz , o utilizando la aproximación sigma . Utilizando una transformada wavelet continua , el fenómeno de Gibbs wavelet nunca supera al fenómeno de Gibbs de Fourier. [14] Además, utilizando la transformada wavelet discreta con funciones de base de Haar , el fenómeno de Gibbs no ocurre en absoluto en el caso de datos continuos en discontinuidades de salto, [15] y es mínimo en el caso discreto en grandes puntos de cambio. En el análisis wavelet, esto se conoce comúnmente como el fenómeno de Longo. En el entorno de interpolación polinomial, el fenómeno de Gibbs se puede mitigar utilizando el algoritmo S-Gibbs. [16]
Sea una función continuamente diferenciable por partes que es periódica con un período . Supongamos que en algún punto , el límite izquierdo y el límite derecho de la función difieren en un salto distinto de cero de :
Para cada entero positivo ≥ 1, sea la ésima serie parcial de Fourier ( puede tratarse como un operador matemático en funciones).
donde los coeficientes de Fourier para números enteros se dan mediante las fórmulas habituales
Entonces tenemos y pero
De manera más general, si es cualquier secuencia de números reales que converge a como , y si el salto de es positivo entonces y
Si en cambio el salto de es negativo, es necesario intercambiar el límite superior ( ) con el límite inferior ( ), y también intercambiar los signos y , en las dos desigualdades anteriores.
Dicho de otro modo, sea una función continuamente diferenciable por partes que es periódica con un período , y esta función tiene múltiples puntos de discontinuidad de salto denotados donde y así sucesivamente. En cada discontinuidad, la cantidad del salto completo vertical es .
Entonces, se puede expresar como la suma de una función continua y una función de múltiples pasos que es la suma de funciones de pasos como [17]
como la serie parcial de Fourier de convergerá bien en todos los puntos excepto en los puntos cercanos a las discontinuidades . Alrededor de cada punto de discontinuidad , solo tendrá el fenómeno de Gibbs propio (el error de convergencia oscilatoria máxima de ~ 9% del salto , como se muestra en el análisis de onda cuadrada) porque otras funciones son continuas ( ) o cero plano ( donde ) alrededor de ese punto. Esto demuestra cómo ocurre el fenómeno de Gibbs en cada discontinuidad.
Desde el punto de vista del procesamiento de señales , el fenómeno de Gibbs es la respuesta de paso de un filtro de paso bajo , y las oscilaciones se denominan "ringing" o "ringing artefactos" . Truncar la transformada de Fourier de una señal en la línea real, o la serie de Fourier de una señal periódica (equivalentemente, una señal en el círculo), corresponde a filtrar las frecuencias más altas con un filtro de paso bajo ideal ( de pared de ladrillos ). Esto se puede representar como una convolución de la señal original con la respuesta al impulso del filtro (también conocida como kernel ), que es la función sinc . Por lo tanto, el fenómeno de Gibbs puede verse como el resultado de convolucionar una función de paso de Heaviside (si no se requiere periodicidad) o una onda cuadrada (si es periódica) con una función sinc: las oscilaciones en la función sinc causan las ondulaciones en la salida.
En el caso de la convolución con una función escalonada de Heaviside, la función resultante es exactamente la integral de la función sinc, la integral seno ; para una onda cuadrada, la descripción no es tan simple. Para la función escalonada, la magnitud del subimpulso es, por lo tanto, exactamente la integral de la cola izquierda hasta el primer cero negativo: para la sinc normalizada de período de muestreo unitario, esto es El sobreimpulso es, en consecuencia, de la misma magnitud: la integral de la cola derecha o (equivalentemente) la diferencia entre la integral desde el infinito negativo hasta el primer cero positivo menos 1 (el valor que no sobreimpulsa).
El sobreimpulso y el subimpulso se pueden entender de la siguiente manera: los núcleos generalmente se normalizan para tener una integral de 1, por lo que dan como resultado una asignación de funciones constantes a funciones constantes; de lo contrario, tienen ganancia . El valor de una convolución en un punto es una combinación lineal de la señal de entrada, con coeficientes (pesos) que son los valores del núcleo.
Si un kernel no es negativo, como en el caso de un kernel gaussiano , entonces el valor de la señal filtrada será una combinación convexa de los valores de entrada (los coeficientes (el kernel) se integran en 1 y no son negativos) y, por lo tanto, se encontrará entre el mínimo y el máximo de la señal de entrada; no se quedará por debajo ni por encima. Si, por otro lado, el kernel asume valores negativos, como la función sinc, entonces el valor de la señal filtrada será en cambio una combinación afín de los valores de entrada y puede quedar fuera del mínimo y el máximo de la señal de entrada, lo que resultará en un exceso o defecto, como en el fenómeno de Gibbs.
Tomar una expansión más larga –cortar a una frecuencia más alta– corresponde en el dominio de la frecuencia a ensanchar la pared de ladrillos, lo que en el dominio del tiempo corresponde a estrechar la función sinc y aumentar su altura por el mismo factor, dejando sin cambios las integrales entre los puntos correspondientes. Esta es una característica general de la transformada de Fourier: la ampliación en un dominio corresponde a estrechar y aumentar la altura en el otro. Esto da como resultado que las oscilaciones en sinc sean más estrechas y más altas, y (en la función filtrada después de la convolución) produce oscilaciones que son más estrechas (y por lo tanto con un área más pequeña ) pero que no tienen una magnitud reducida : cortar en cualquier frecuencia finita da como resultado una función sinc, por estrecha que sea, con las mismas integrales de cola. Esto explica la persistencia del sobreimpulso y el subimpulso.
Así pues, las características del fenómeno de Gibbs se interpretan de la siguiente manera:
Examinamos la serie parcial de Fourier de una onda cuadrada con la periodicidad y una discontinuidad de un salto vertical "completo" desde en . Como el caso de impar es muy similar, tratemos sólo el caso cuando es par:
con . ( donde es el número de componentes de la serie de Fourier sinusoidal no nula, por lo que hay literatura que utiliza en lugar de .) Sustituyendo (un punto de discontinuidad), obtenemos lo que se afirma anteriormente. (El primer término que solo sobrevive es el promedio de la serie de Fourier).
A continuación, encontramos el primer máximo de la oscilación alrededor de la discontinuidad comprobando la primera y la segunda derivada de . La primera condición para el máximo es que la primera derivada sea igual a cero como
donde la segunda igualdad proviene de una de las identidades trigonométricas de Lagrange . Al resolver esta condición se obtiene que para los números enteros se excluyen los múltiplos de para evitar el denominador cero, por lo que se permiten y sus negativos.
La segunda derivada de at es
Por lo tanto, el primer máximo se produce en ( ) y en este valor es
Si introducimos la función sinc normalizada para , podemos reescribir esto como
Para un valor suficientemente grande , la expresión entre corchetes es una aproximación de suma de Riemann a la integral (más precisamente, es una aproximación de regla de punto medio con espaciamiento ). Dado que la función sinc es continua, esta aproximación converge a la integral cuando . Por lo tanto, tenemos
que se afirmó en la sección anterior. Un cálculo similar muestra
El fenómeno de Gibbs es indeseable porque provoca artefactos, en concreto, recortes debidos a los sobreimpulsos y subimpulsos, y artefactos de zumbido debidos a las oscilaciones. En el caso del filtrado de paso bajo, estos pueden reducirse o eliminarse utilizando diferentes filtros de paso bajo.
En la resonancia magnética , el fenómeno de Gibbs provoca artefactos en presencia de regiones adyacentes con una intensidad de señal marcadamente diferente. Esto se observa con mayor frecuencia en las resonancias magnéticas de columna, donde el fenómeno de Gibbs puede simular la apariencia de una siringomielia .
El fenómeno de Gibbs se manifiesta como un artefacto de patrón cruzado en la transformada de Fourier discreta de una imagen, [18] donde la mayoría de las imágenes (por ejemplo, micrografías o fotografías) tienen una discontinuidad aguda entre los límites en la parte superior/inferior e izquierda/derecha de una imagen. Cuando se imponen condiciones de límite periódicas en la transformada de Fourier, esta discontinuidad de salto se representa mediante un continuo de frecuencias a lo largo de los ejes en el espacio recíproco (es decir, un patrón cruzado de intensidad en la transformada de Fourier).
Y aunque este artículo se centró principalmente en la dificultad de intentar construir discontinuidades sin artefactos en el dominio del tiempo con solo una serie de Fourier parcial, también es importante considerar que debido a que la transformada de Fourier inversa es extremadamente similar a la transformada de Fourier , existe de manera equivalente una dificultad al intentar construir discontinuidades en el dominio de la frecuencia utilizando solo una serie de Fourier parcial. Así, por ejemplo, debido a que los filtros de pared de ladrillo y rectangulares idealizados tienen discontinuidades en el dominio de la frecuencia , su representación exacta en el dominio del tiempo requiere necesariamente una respuesta de impulso de filtro sinc infinitamente larga , ya que una respuesta de impulso finita dará como resultado una ondulación de Gibbs en la respuesta de frecuencia cerca de las frecuencias de corte , aunque esta ondulación se puede reducir mediante la creación de ventanas en los filtros de respuesta de impulso finito (a expensas de bandas de transición más amplias). [19]
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