En matemáticas , la transformada de Laplace , llamada así en honor a su descubridor Pierre-Simon Laplace ( / l ə ˈ p l ɑː s / ), es una transformada integral que convierte una función de una variable real (normalmente , en el dominio del tiempo ) en una función. de una variable compleja (en el dominio de frecuencia de valores complejos , también conocido como dominio s o plano s ).
La transformada es útil para convertir la diferenciación y la integración en el dominio del tiempo en una multiplicación y división mucho más sencilla en el dominio de Laplace (análoga a cómo los logaritmos son útiles para simplificar la multiplicación y división en suma y resta). Esto le da a la transformación muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería , principalmente como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales [1] y sistemas dinámicos simplificando ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones integrales en ecuaciones polinomiales algebraicas y simplificando la convolución en multiplicación . [2] [3] Una vez resuelta, la transformada inversa de Laplace vuelve al dominio original.
La transformada de Laplace se define (para funciones adecuadas f ) por la integral :
La transformada de Laplace lleva el nombre del matemático y astrónomo Pierre-Simon, marqués de Laplace , quien utilizó una transformada similar en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad . [4] Laplace escribió extensamente sobre el uso de funciones generadoras (1814) y, como resultado, la forma integral de la transformada de Laplace evolucionó naturalmente. [5]
El uso que hacía Laplace de funciones generadoras era similar a lo que ahora se conoce como transformada z , y prestó poca atención al caso de variable continua que fue discutido por Niels Henrik Abel . [6] La teoría fue desarrollada aún más en el siglo XIX y principios del XX por Mathias Lerch , [7] Oliver Heaviside , [8] y Thomas Bromwich . [9]
El uso generalizado actual de la transformada (principalmente en ingeniería) se produjo durante y poco después de la Segunda Guerra Mundial , [10] reemplazando el cálculo operativo anterior de Heaviside . Las ventajas de la transformada de Laplace fueron enfatizadas por Gustav Doetsch , [11] a quien aparentemente se debe el nombre de transformada de Laplace.
Desde 1744, Leonhard Euler investigó las integrales de la forma
Estos tipos de integrales parecen haber atraído la atención de Laplace por primera vez en 1782, donde seguía el espíritu de Euler al utilizar las integrales mismas como soluciones de ecuaciones. [15] Sin embargo, en 1785, Laplace dio un paso decisivo cuando, en lugar de simplemente buscar una solución en forma de integral, comenzó a aplicar las transformadas en el sentido que más tarde se haría popular. Usó una integral de la forma
Laplace también reconoció que el método de series de Fourier de Joseph Fourier para resolver la ecuación de difusión sólo podía aplicarse a una región limitada del espacio, porque esas soluciones eran periódicas . En 1809, Laplace aplicó su transformación para encontrar soluciones que se difundieran indefinidamente en el espacio. [17]
La transformada de Laplace de una función f ( t ) , definida para todos los números reales t ≥ 0 , es la función F ( s ) , que es una transformada unilateral definida por
donde s es un parámetro complejo en el dominio de la frecuencia
Una notación alternativa para la transformada de Laplace esen lugar de . [3]
El significado de la integral depende de los tipos de funciones de interés. Una condición necesaria para la existencia de la integral es que f debe ser localmente integrable en [0, ∞) . Para funciones localmente integrables que decaen en el infinito o son de tipo exponencial ( ), la integral puede entenderse como una integral de Lebesgue (adecuada) . Sin embargo, para muchas aplicaciones es necesario considerarla como una integral impropia condicionalmente convergente en ∞ . De manera aún más general, la integral puede entenderse en un sentido débil , y esto se trata a continuación.
Se puede definir la transformada de Laplace de una medida finita de Borel μ mediante la integral de Lebesgue [18]
Un caso especial importante es cuando μ es una medida de probabilidad , por ejemplo, la función delta de Dirac . En cálculo operativo , la transformada de Laplace de una medida a menudo se trata como si la medida proviniera de una función de densidad de probabilidad f . En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe
Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en 0 es capturada completamente por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar tal límite, sí aparece más naturalmente en conexión con la transformada de Laplace-Stieltjes .
Cuando se dice "la transformada de Laplace" sin reservas, generalmente se entiende por transformada unilateral o unilateral. La transformada de Laplace se puede definir alternativamente como transformada de Laplace bilateral , o transformada de Laplace bilateral , extendiendo los límites de integración para que sean todo el eje real. Si se hace esto, la transformada unilateral común simplemente se convierte en un caso especial de la transformada bilateral, donde la definición de la función que se transforma se multiplica por la función escalonada de Heaviside .
La transformada bilateral de Laplace F ( s ) se define de la siguiente manera:
Una notación alternativa para la transformada de Laplace bilateral es , en lugar de F.
Dos funciones integrables tienen la misma transformada de Laplace sólo si difieren en un conjunto de medida de Lebesgue cero. Esto significa que, en el rango de la transformada, hay una transformada inversa. De hecho, además de las funciones integrables, la transformada de Laplace es un mapeo uno a uno de un espacio funcional a otro en muchos otros espacios funcionales también, aunque generalmente no existe una caracterización fácil del rango.
Los espacios funcionales típicos en los que esto es cierto incluyen los espacios de funciones continuas acotadas, el espacio L ∞ (0, ∞) o, más generalmente , distribuciones moderadas en (0, ∞) . La transformada de Laplace también es definida e inyectiva para espacios adecuados de distribuciones templadas.
En estos casos, la imagen de la transformada de Laplace vive en un espacio de funciones analíticas en la región de convergencia. La transformada inversa de Laplace viene dada por la siguiente integral compleja, que se conoce con varios nombres ( integral de Bromwich , integral de Fourier-Mellin y fórmula inversa de Mellin ):
donde γ es un número real de modo que la trayectoria del contorno de integración está en la región de convergencia de F ( s ) . En la mayoría de las aplicaciones, el contorno se puede cerrar, permitiendo el uso del teorema del residuo . Una fórmula alternativa para la transformada inversa de Laplace viene dada por la fórmula de inversión de Post . El límite aquí se interpreta en la topología débil-* .
En la práctica, suele ser más conveniente descomponer una transformada de Laplace en transformadas conocidas de funciones obtenidas de una tabla y construir la inversa mediante inspección.
En probabilidad pura y aplicada , la transformada de Laplace se define como un valor esperado . Si X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f , entonces la transformada de Laplace de f viene dada por la expectativa
Por convención , esto se conoce como transformada de Laplace de la propia variable aleatoria X. Aquí, reemplazar s por − t da la función generadora de momentos de X. La transformada de Laplace tiene aplicaciones en toda la teoría de la probabilidad, incluidos los primeros tiempos de paso de procesos estocásticos como las cadenas de Markov y la teoría de la renovación .
De particular utilidad es la capacidad de recuperar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X , mediante la transformada de Laplace de la siguiente manera: [19]
La transformada de Laplace se puede definir alternativamente de manera puramente algebraica aplicando una construcción de campo de fracciones al anillo de convolución de funciones en la media línea positiva. El espacio resultante de operadores abstractos es exactamente equivalente al espacio de Laplace, pero en esta construcción las transformadas directa e inversa nunca necesitan definirse explícitamente (evitando las dificultades relacionadas con la prueba de la convergencia). [20]
Si f es una función localmente integrable (o más generalmente una medida de Borel localmente de variación acotada), entonces la transformada de Laplace F ( s ) de f converge siempre que el límite
La transformada de Laplace converge absolutamente si la integral
El conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge absolutamente es de la forma Re( s ) > a o Re( s ) ≥ a , donde a es una constante real extendida con −∞ ≤ a ≤ ∞ (una consecuencia de la teorema de convergencia dominada ). La constante a se conoce como abscisa de convergencia absoluta y depende del comportamiento de crecimiento de f ( t ) . [21] De manera análoga, la transformada de dos caras converge absolutamente en una franja de la forma a < Re( s ) < b , y posiblemente incluyendo las líneas Re( s ) = a o Re( s ) = b . [22] El subconjunto de valores de s para los cuales la transformada de Laplace converge absolutamente se llama región de convergencia absoluta, o dominio de convergencia absoluta. En el caso de dos lados, a veces se le llama franja de convergencia absoluta. La transformada de Laplace es analítica en la región de convergencia absoluta: esto es una consecuencia del teorema de Fubini y del teorema de Morera .
De manera similar, el conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge (condicional o absolutamente) se conoce como región de convergencia condicional, o simplemente región de convergencia (ROC). Si la transformada de Laplace converge (condicionalmente) en s = s 0 , entonces converge automáticamente para todo s con Re( s ) > Re( s 0 ) . Por lo tanto, la región de convergencia es un semiplano de la forma Re( s ) > a , que posiblemente incluya algunos puntos de la línea límite Re( s ) = a .
En la región de convergencia Re( s ) > Re( s 0 ) , la transformada de Laplace de f se puede expresar integrando por partes como la integral
Es decir, F ( s ) puede expresarse efectivamente, en la región de convergencia, como la transformada de Laplace absolutamente convergente de alguna otra función. En particular, es analítico.
Existen varios teoremas de Paley-Wiener sobre la relación entre las propiedades de desintegración de f y las propiedades de la transformada de Laplace dentro de la región de convergencia.
En aplicaciones de ingeniería, una función correspondiente a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es estable si cada entrada acotada produce una salida acotada. Esto es equivalente a la convergencia absoluta de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso en la región Re( s ) ≥ 0 . Como resultado, los sistemas LTI son estables, siempre que los polos de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso tengan parte real negativa.
Esta República de China se utiliza para conocer la causalidad y la estabilidad de un sistema.
La propiedad clave de la transformada de Laplace es que convierte la diferenciación y la integración en el dominio del tiempo en multiplicaciones y divisiones en el dominio de Laplace. Por lo tanto, la variable de Laplace s también se conoce como variable operador en el dominio de Laplace: ya sea el operador derivativo o (para s −1 ) el operador de integración .
Dadas las funciones f ( t ) y g ( t ) , y sus respectivas transformadas de Laplace F ( s ) y G ( s ) ,
la siguiente tabla es una lista de propiedades de la transformada de Laplace unilateral: [23]
La transformada de Laplace puede verse como un análogo continuo de una serie de potencias . [25] Si a ( n ) es una función discreta de un entero positivo n , entonces la serie de potencias asociada a a ( n ) es la serie
Cambiando la base de la potencia de x a e se obtiene
Para que esto converja para, digamos, todas las funciones acotadas f , es necesario exigir que ln x < 0 . Al realizar la sustitución − s = ln x se obtiene simplemente la transformada de Laplace:
En otras palabras, la transformada de Laplace es un análogo continuo de una serie de potencias, en la que el parámetro discreto n se reemplaza por el parámetro continuo t y x se reemplaza por e − s .
Las cantidades
son los momentos de la función f . Si los primeros n momentos de f convergen absolutamente, entonces por derivación repetida bajo la integral ,
A menudo es conveniente utilizar la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace para encontrar la transformada de la derivada de una función. Esto se puede derivar de la expresión básica de una transformada de Laplace de la siguiente manera:
El resultado general
Una propiedad útil de la transformada de Laplace es la siguiente:
Al enchufarlo, el lado izquierdo se convierte en:
Este método se puede utilizar para calcular integrales que de otro modo serían difíciles de calcular utilizando métodos elementales de cálculo real. Por ejemplo,
La transformada (unilateral) de Laplace-Stieltjes de una función g : ℝ → ℝ está definida por la integral de Lebesgue-Stieltjes
Se supone que la función g tiene una variación acotada . Si g es la antiderivada de f :
entonces la transformada de Laplace-Stieltjes de g y la transformada de Laplace de f coinciden. En general, la transformada de Laplace-Stieltjes es la transformada de Laplace de la medida de Stieltjes asociada a g . Entonces, en la práctica, la única distinción entre las dos transformadas es que se considera que la transformada de Laplace opera sobre la función de densidad de la medida, mientras que se considera que la transformada de Laplace-Stieltjes opera sobre su función de distribución acumulativa . [26]
La transformada de Fourier es un caso especial (bajo ciertas condiciones) de la transformada bilateral de Laplace. Mientras que la transformada de Fourier de una función es una función compleja de una variable real (frecuencia), la transformada de Laplace de una función es una función compleja de una variable compleja . La transformada de Laplace suele estar restringida a la transformación de funciones de t con t ≥ 0 . Una consecuencia de esta restricción es que la transformada de Laplace de una función es una función holomorfa de la variable s . A diferencia de la transformada de Fourier, la transformada de Laplace de una distribución es generalmente una función que se comporta bien . También se pueden utilizar técnicas de variables complejas para estudiar directamente las transformadas de Laplace. Como función holomorfa, la transformada de Laplace tiene una representación en serie de potencias . Esta serie de potencias expresa una función como una superposición lineal de momentos de la función. Esta perspectiva tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad.
La transformada de Fourier equivale a evaluar la transformada de Laplace bilateral con argumento imaginario s = iω o s = 2 πiξ [27] cuando se cumple la condición que se explica a continuación,
Esta convención de la transformada de Fourier ( en Transformada de Fourier § Otras convenciones ) requiere un factor de1/2 πen la transformada inversa de Fourier. Esta relación entre las transformadas de Laplace y Fourier se utiliza a menudo para determinar el espectro de frecuencia de una señal o sistema dinámico.
La relación anterior es válida como se indica si y sólo si la región de convergencia (ROC) de F ( s ) contiene el eje imaginario, σ = 0 .
Por ejemplo, la función f ( t ) = cos( ω 0 t ) tiene una transformada de Laplace F ( s ) = s /( s 2 + ω 0 2 ) cuya ROC es Re( s ) > 0 . Como s = iω 0 es un polo de F ( s ) , sustituir s = iω en F ( s ) no produce la transformada de Fourier de f ( t ) u ( t ) , que contiene términos proporcionales a las funciones delta de Dirac δ ( ω ± ω 0 ) .
Sin embargo, una relación de la forma
La transformada de Mellin y su inversa están relacionadas con la transformada de Laplace bilateral mediante un simple cambio de variables.
Si en la transformada de Mellin
La transformada Z unilateral o unilateral es simplemente la transformada de Laplace de una señal idealmente muestreada con la sustitución de
Dejar
La transformada de Laplace de la señal muestreada x q ( t ) es
Esta es la definición precisa de la transformada Z unilateral de la función discreta x [ n ]
Comparando las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre la transformada Z unilateral y la transformada de Laplace de la señal muestreada,
La similitud entre las transformadas Z y Laplace se amplía en la teoría del cálculo de la escala de tiempo .
La forma integral de la transformada de Borel.
Dado que una transformada de Laplace ordinaria se puede escribir como un caso especial de una transformada de dos caras, y dado que la transformada de dos caras se puede escribir como la suma de dos transformadas de una cara, la teoría de las transformadas de Laplace-, Fourier-, Mellin -, y las transformadas Z son en el fondo el mismo tema. Sin embargo, cada una de estas cuatro transformaciones integrales principales está asociada con un punto de vista diferente y problemas característicos diferentes.
La siguiente tabla proporciona transformadas de Laplace para muchas funciones comunes de una sola variable. [28] [29] Para definiciones y explicaciones, consulte las Notas explicativas al final de la tabla.
Como la transformada de Laplace es un operador lineal,
Usando esta linealidad y varias propiedades y/o identidades trigonométricas , hiperbólicas y de números complejos (etc.), algunas transformadas de Laplace se pueden obtener a partir de otras más rápidamente que usando la definición directamente.
La transformada unilateral de Laplace toma como entrada una función cuyo dominio del tiempo son los reales no negativos , razón por la cual todas las funciones en el dominio del tiempo en la siguiente tabla son múltiplos de la función escalón de Heaviside, u ( t ) .
Se requiere que las entradas de la tabla que implican un retraso de tiempo τ sean causales (lo que significa que τ > 0 ). Un sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h ( t ) es cero durante todo el tiempo t antes de t = 0 . En general, la región de convergencia de los sistemas causales no es la misma que la de los sistemas anticausales .
La transformada de Laplace se utiliza a menudo en el análisis de circuitos y se pueden realizar conversiones simples al dominio s de elementos del circuito. Los elementos del circuito se pueden transformar en impedancias , muy similares a las impedancias fasoriales .
Aquí hay un resumen de equivalentes:
Tenga en cuenta que la resistencia es exactamente la misma en el dominio del tiempo y en el dominio s . Las fuentes se instalan si existen condiciones iniciales en los elementos del circuito. Por ejemplo, si un capacitor tiene un voltaje inicial a través de él, o si el inductor tiene una corriente inicial a través de él, las fuentes insertadas en el dominio s tienen en cuenta eso.
Los equivalentes para fuentes de corriente y voltaje se derivan simplemente de las transformaciones de la tabla anterior.
La transformada de Laplace se utiliza frecuentemente en ingeniería y física ; La salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede calcular convolucionando su respuesta de impulso unitario con la señal de entrada. Realizar este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación; siendo este último más fácil de resolver debido a su forma algebraica. Para obtener más información, consulte teoría del control . La transformada de Laplace es invertible en una gran clase de funciones. Dada una descripción matemática o funcional simple de una entrada o salida de un sistema , la transformada de Laplace proporciona una descripción funcional alternativa que a menudo simplifica el proceso de análisis del comportamiento del sistema o de síntesis de un nuevo sistema basado en un conjunto de especificaciones. [35]
La transformada de Laplace también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales y se utiliza ampliamente en ingeniería mecánica e ingeniería eléctrica . La transformada de Laplace reduce una ecuación diferencial lineal a una ecuación algebraica, que luego puede resolverse mediante las reglas formales del álgebra. Luego, la ecuación diferencial original se puede resolver aplicando la transformada inversa de Laplace. El ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside propuso por primera vez un esquema similar, aunque sin utilizar la transformada de Laplace; y el cálculo operativo resultante se acredita como cálculo de Heaviside.
Dejar . Entonces (ver la tabla de arriba)
De donde se obtiene:
En el límite uno llega
La validez de esta identidad puede probarse por otros medios. Es un ejemplo de integral de Frullani .
Otro ejemplo es la integral de Dirichlet .
En la teoría de los circuitos eléctricos , el flujo de corriente en un capacitor es proporcional a la capacitancia y la tasa de cambio en el potencial eléctrico (con ecuaciones como para el sistema de unidades SI ). Simbólicamente, esto se expresa mediante la ecuación diferencial
Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación, obtenemos
Resolviendo para V ( s ) tenemos
La definición de impedancia compleja Z (en ohmios ) es la relación entre el voltaje complejo V dividido por la corriente compleja I mientras se mantiene el estado inicial V 0 en cero:
Usando esta definición y la ecuación anterior, encontramos:
Considere un sistema lineal invariante en el tiempo con función de transferencia.
La respuesta al impulso es simplemente la transformada de Laplace inversa de esta función de transferencia:
Para evaluar esta transformada inversa, comenzamos expandiendo H ( s ) usando el método de expansión de fracción parcial,
Las constantes desconocidas P y R son los residuos ubicados en los polos correspondientes de la función de transferencia. Cada residuo representa la contribución relativa de esa singularidad a la forma general de la función de transferencia.
Según el teorema del residuo , la transformada inversa de Laplace depende sólo de los polos y sus residuos. Para encontrar el residuo P , multiplicamos ambos lados de la ecuación por s + α para obtener
Entonces, al hacer que s = − α , la contribución de R desaparece y todo lo que queda es
De manera similar, el residuo R viene dado por
Tenga en cuenta que
Finalmente, usando la propiedad de linealidad y la transformada conocida para la caída exponencial (consulte el elemento n.° 3 en la Tabla de transformadas de Laplace , arriba), podemos tomar la transformada de Laplace inversa de H ( s ) para obtener
Se puede lograr el mismo resultado utilizando la propiedad de convolución como si el sistema fuera una serie de filtros con funciones de transferencia 1/( s + α ) y 1/( s + β ) . Es decir, lo inverso de
Comenzando con la transformada de Laplace,
Ahora podemos tomar la transformada de Laplace inversa de nuestros términos:
Este es solo el seno de la suma de los argumentos, dando como resultado:
Podemos aplicar una lógica similar para encontrar que
En mecánica estadística , la transformada de Laplace de la densidad de estados define la función de partición . [36] Es decir, la función de partición canónica viene dada por
La aplicabilidad amplia y general de la transformada de Laplace y su inversa se ilustra con una aplicación en astronomía que proporciona cierta información sobre la distribución espacial de la materia de una fuente astronómica de radiación térmica de radiofrecuencia demasiado distante para resolverla como más de un punto, dado su flujo. espectro de densidad , en lugar de relacionar el dominio del tiempo con el espectro (dominio de la frecuencia).
Suponiendo ciertas propiedades del objeto, por ejemplo, forma esférica y temperatura constante, los cálculos basados en la realización de una transformación inversa de Laplace en el espectro del objeto pueden producir el único modelo posible de la distribución de la materia en él (densidad en función de la distancia desde el centro) consistente con el espectro. [37] Cuando se dispone de información independiente sobre la estructura de un objeto, se ha descubierto que el método de la transformada inversa de Laplace concuerda bien.
La transformada de Laplace y la transformada z están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier. La Transformada de Laplace tiene un alcance algo más general que la Transformada de Fourier y es ampliamente utilizada por los ingenieros para describir circuitos y sistemas continuos, incluidos los sistemas de control automático.
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