Teorema del valor final

Relación entre el comportamiento en el dominio de la frecuencia y del tiempo a gran escala

En análisis matemático , el teorema del valor final (FVT) es uno de varios teoremas similares utilizados para relacionar expresiones del dominio de frecuencia con el comportamiento del dominio del tiempo a medida que el tiempo se acerca al infinito. ^{[1] [2] [3] [4]} Matemáticamente, si en tiempo continuo tiene transformada de Laplace (unilateral) , entonces un teorema del valor final establece condiciones bajo las cuales Del mismo modo, si en tiempo discreto tiene transformada Z (unilateral) , entonces un teorema del valor final establece condiciones bajo las cuales ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$ $${\displaystyle \lim _{t\,\to \,\infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}.}$$ ${\displaystyle f[k]}$ ${\displaystyle F(z)}$ $${\displaystyle \lim _{k\,\to \,\infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}.}$$

Un teorema de valor final abeliano hace suposiciones sobre el comportamiento en el dominio del tiempo de para calcular. A la inversa, un teorema de valor final tauberiano hace suposiciones sobre el comportamiento en el dominio de la frecuencia de para calcular (ver Teoremas abeliano y tauberiano para transformadas integrales ). ${\displaystyle f(t){\text{ (or }}f[k])}$ ${\textstyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}.}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$ ${\displaystyle {\text{(or }}\lim _{k\to \infty }f[k])}$

Teoremas del valor final para la transformada de Laplace

Deduciendolímite t → ∞ f ( t )

En las siguientes afirmaciones, la notación significa que se aproxima a 0, mientras que significa que se aproxima a 0 a través de los números positivos. ${\displaystyle {\text{‘}}s\to 0{\text{’}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\text{‘}}s\downarrow 0{\text{’}}}$ ${\displaystyle s}$

Teorema del valor final estándar

Supóngase que cada polo de está en el semiplano izquierdo abierto o en el origen, y que tiene como máximo un único polo en el origen. Entonces, como y ^[5] ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\to 0,}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L.}$

Teorema del valor final utilizando la transformada de Laplace de la derivada

Supongamos que y ambos tienen transformadas de Laplace que existen para todos Si existe y existe entonces ^{[3] : Teorema 2.36  [4] : 20  [6]} ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f'(t)}$ ${\displaystyle s>0.}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$ ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}.}$

Observación

Ambos límites deben existir para que el teorema se cumpla. Por ejemplo, si entonces no existe, pero ^{[3] : Ejemplo 2.37  [4] : 20} ${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$ $${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{\frac {s}{s^{2}+1}}=0.}$$

Teorema del valor final inverso de Tauber mejorado

Supóngase que es acotado y diferenciable, y que también está acotado en . Si como entonces ^[7] ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle tf'(t)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s\to 0}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L.}$

Teorema del valor final extendido

Supongamos que cada polo de está en el semiplano izquierdo abierto o en el origen. Entonces ocurre una de las siguientes situaciones: ${\displaystyle F(s)}$

1. ${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {R} }$como y ${\displaystyle s\downarrow 0,}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L.}$
2. ${\displaystyle sF(s)\to +\infty \in \mathbb {R} }$como y como ${\displaystyle s\downarrow 0,}$ ${\displaystyle f(t)\to +\infty }$ ${\displaystyle t\to \infty .}$
3. ${\displaystyle sF(s)\to -\infty \in \mathbb {R} }$como y como ${\displaystyle s\downarrow 0,}$ ${\displaystyle f(t)\to -\infty }$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

En particular, si es un polo múltiple de entonces se aplica el caso 2 o 3 ^[5] ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle (f(t)\to +\infty {\text{ or }}f(t)\to -\infty ).}$

Teorema generalizado del valor final

Supongamos que es transformable de Laplace. Sea . Si existe y existe entonces ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \lambda >-1}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}}$ ${\textstyle \lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)}}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}={\frac {1}{\Gamma (\lambda +1)}}\lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)},}$

donde denota la función Gamma . ^[5] ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Aplicaciones

Los teoremas del valor final para la obtención tienen aplicaciones para establecer la estabilidad a largo plazo de un sistema . ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$

Deduciendolímite s → 0 s  F ( s )

Teorema del valor final abeliano

Supongamos que es acotado y medible y entonces existe para todos y ^[7] ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\alpha \in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \lim _{s\,\downarrow \,0}{sF(s)}=\alpha .}$

Demostración elemental ^[7]

Supongamos por conveniencia que en y sea . Sea y elijamos de modo que para todos Dado que para cada tenemos ${\displaystyle |f(t)|\leq 1}$ ${\displaystyle (0,\infty ),}$ ${\displaystyle \alpha =\lim _{t\to \infty }f(t)}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |f(t)-\alpha |<\epsilon }$ ${\displaystyle t>A.}$ $${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t=1,}$$ ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle sF(s)-\alpha =s\int _{0}^{\infty }(f(t)-\alpha )e^{-st}\,\mathrm {d} t;}$

por eso

${\displaystyle |sF(s)-\alpha |\leq s\int _{0}^{A}|f(t)-\alpha |e^{-st}\,\mathrm {d} t+s\int _{A}^{\infty }|f(t)-\alpha |e^{-st}\,\mathrm {d} t\leq 2s\int _{0}^{A}e^{-st}\,\mathrm {d} t+\epsilon s\int _{A}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t\equiv I+II.}$

Ahora por cada uno que tenemos ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle II<\epsilon s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,\mathrm {d} t=\epsilon .}$

Por otra parte, como es fijo, es claro que , y por lo tanto si es suficientemente pequeño. ${\displaystyle A<\infty }$ ${\displaystyle \lim _{s\to 0}I=0}$ ${\displaystyle |sF(s)-\alpha |<\epsilon }$ ${\displaystyle s>0}$

Teorema del valor final utilizando la transformada de Laplace de la derivada

Supongamos que se cumplen todas las condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$es continuamente diferenciable y ambos tienen una transformada de Laplace ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$
2. ${\displaystyle f'}$es absolutamente integrable, es decir, es finito ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f'(\tau )|\,\mathrm {d} \tau }$
3. ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$existe y es finito

Entonces ^[8] $${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}sF(s)=\lim _{t\to \infty }f(t).}$$

Observación

La prueba utiliza el teorema de convergencia dominada . ^[8]

Teorema del valor final de la media de una función

Sea una función continua y acotada tal que exista el siguiente límite ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\,dt=\alpha \in \mathbb {C} }$

Entonces ^[9] ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0,\,s>0}{sF(s)}=\alpha .}$

Teorema del valor final para sumas asintóticas de funciones periódicas

Supongamos que es continua y absolutamente integrable en Supongamos además que es asintóticamente igual a una suma finita de funciones periódicas que es ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,\infty ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {as} },}$

${\displaystyle |f(t)-f_{\mathrm {as} }(t)|<\phi (t),}$

donde es absolutamente integrable en y se anula en el infinito. Entonces ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{s\to 0}sF(s)=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x.}$^[10]

Teorema del valor final para una función que diverge al infinito

Sea y la transformada de Laplace de Supongamos que satisface todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle f(t):[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle f(t).}$ ${\displaystyle f(t)}$

1. ${\displaystyle f(t)}$es infinitamente diferenciable en cero
2. ${\displaystyle f^{(k)}(t)}$tiene una transformada de Laplace para todos los números enteros no negativos ${\displaystyle k}$
3. ${\displaystyle f(t)}$diverge hasta el infinito como ${\displaystyle t\to \infty }$

Luego diverge al infinito como ^[11] ${\displaystyle sF(s)}$ ${\displaystyle s\downarrow 0.}$

Teorema del valor final para funciones impropiamente integrables (Teorema de Abelpara integrales)

Sea medible y tal que la integral (posiblemente impropia) converge para Entonces Esta es una versión del teorema de Abel . ${\displaystyle h:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}h(t)\,\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle x\to \infty .}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }h(t)\,\mathrm {d} t:=\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{s\downarrow 0}\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Para ver esto, observe que y aplique el teorema del valor final después de una integración por partes : Para ${\displaystyle f'(t)=h(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s>0,}$

${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t={\Big [}-e^{-st}f(t){\Big ]}_{t=o}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,\mathrm {d} t.}$

Por el teorema del valor final, el lado izquierdo converge a ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle s\to 0.}$

Para establecer la convergencia de la integral impropia en la práctica, suele ser útil la prueba de Dirichlet para integrales impropias . Un ejemplo es la integral de Dirichlet . ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$

Aplicaciones

Los teoremas del valor final para obtener tienen aplicaciones en probabilidad y estadística para calcular los momentos de una variable aleatoria . Sea función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua y sea la transformada de Laplace-Stieltjes de Entonces el momento -ésimo de se puede calcular como La estrategia es escribir donde es continua y para cada una para una función Para cada poner como la transformada de Laplace inversa de obtener y aplicar un teorema del valor final para deducir Entonces ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}}$ ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle R(x).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}={\mathcal {F}}{\bigl (}G_{1}(s),G_{2}(s),\dots ,G_{k}(s),\dots {\bigr )},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\dots )}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle G_{k}(s)=sF_{k}(s)}$ ${\displaystyle F_{k}(s).}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle f_{k}(t)}$ ${\displaystyle F_{k}(s),}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f_{k}(t),}$ ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{G_{k}(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{sF_{k}(s)}=\lim _{t\to \infty }f_{k}(t).}$

${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}={\mathcal {F}}{\Bigl (}\lim _{s\,\to \,0}G_{1}(s),\lim _{s\,\to \,0}G_{2}(s),\dots ,\lim _{s\,\to \,0}G_{k}(s),\dots {\Bigr )},}$

y por lo tanto se obtiene. ${\displaystyle E[X^{n}]}$

Ejemplos

Ejemplo donde se cumple FVT

Por ejemplo, para un sistema descrito por la función de transferencia

${\displaystyle H(s)={\frac {6}{s+2}},}$

La respuesta al impulso converge a

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.}$

Es decir, el sistema vuelve a cero después de ser perturbado por un impulso corto. Sin embargo, la transformada de Laplace de la respuesta al escalón unitario es

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}}$

y entonces la respuesta al escalón converge a

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

Por lo tanto, un sistema de estado cero seguirá un aumento exponencial hasta un valor final de 3.

Ejemplo donde FVT no se cumple

Para un sistema descrito por la función de transferencia

${\displaystyle H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}},}$

El teorema del valor final parece predecir que el valor final de la respuesta al impulso será 0 y el valor final de la respuesta al escalón será 1. Sin embargo, no existe ningún límite en el dominio del tiempo, por lo que las predicciones del teorema del valor final no son válidas. De hecho, tanto la respuesta al impulso como la respuesta al escalón oscilan y (en este caso especial) el teorema del valor final describe los valores promedio alrededor de los cuales oscilan las respuestas.

Hay dos comprobaciones realizadas en la teoría de control que confirman resultados válidos para el teorema del valor final:

1. Todas las raíces distintas de cero del denominador de deben tener partes reales negativas. ${\displaystyle H(s)}$
2. ${\displaystyle H(s)}$no debe tener más de un polo en el origen.

La regla 1 no se cumplió en este ejemplo, ya que las raíces del denominador son y ${\displaystyle 0+j3}$ ${\displaystyle 0-j3.}$

Teoremas del valor final para la transformada Z

Deduciendolímite k → ∞ f [ k ]

Teorema del valor final

Si existe y existe entonces ^{[4] : 101} ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]}$ ${\displaystyle \lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}.}$

Valor final de sistemas lineales

Sistemas LTI de tiempo continuo

Valor final del sistema

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)}$

En respuesta a una entrada escalonada con amplitud es: ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathbf {y} (t)=-\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} R}$

Sistemas de datos muestreados

El sistema de datos muestreados del sistema LTI de tiempo continuo anterior en los tiempos de muestreo aperiódicos es el sistema de tiempo discreto ${\displaystyle t_{i},i=1,2,...}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }(t_{i+1})=\mathbf {\Phi } (h_{i})\mathbf {x} (t_{i})+\mathbf {\Gamma } (h_{i})\mathbf {u} (t_{i})}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t_{i})=\mathbf {C} \mathbf {x} (t_{i})}$

donde y ${\displaystyle h_{i}=t_{i+1}-t_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (h_{i})=e^{\mathbf {A} h_{i}}}$, ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } (h_{i})=\int _{0}^{h_{i}}e^{\mathbf {A} s}\,\mathrm {d} s}$

El valor final de este sistema en respuesta a una entrada escalonada con amplitud es el mismo que el valor final de su sistema de tiempo continuo original. ^[12] ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle R}$

Véase también

• Teorema del valor inicial
• Transformada Z
• Transformada de Laplace
• Teoremas abeliano y tauberio

Notas

1. Wang, Ruye (17 de febrero de 2010). «Teoremas del valor inicial y final». Archivado desde el original el 26 de diciembre de 2017. Consultado el 21 de octubre de 2011 .
2. Alan V. Oppenheim; Alan S. Willsky; S. Hamid Nawab (1997). Señales y sistemas . Nueva Jersey, EE. UU.: Prentice Hall. ISBN 0-13-814757-4.
3. Schiff, Joel L. (1999). La transformada de Laplace: teoría y aplicaciones . Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4757-7262-3.
4. Graf, Urs (2004). Transformadas de Laplace y transformadas z aplicadas para científicos e ingenieros . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2427-9.
5. Chen, Jie; Lundberg, Kent H.; Davison, Daniel E.; Bernstein, Dennis S. (junio de 2007). "El teorema del valor final revisitado: límites infinitos y función irracional". Revista IEEE Control Systems . 27 (3): 97–99. doi :10.1109/MCS.2007.365008.
6. "Teorema del valor final de la transformada de Laplace". ProofWiki . Consultado el 12 de abril de 2020 .
7. Ullrich, David C. (26 de mayo de 2018). "El teorema del valor final de Tauber". Math Stack Exchange .
8. Sopasakis, Pantelis (18 de mayo de 2019). "Una prueba del teorema del valor final usando el teorema de convergencia dominada". Math Stack Exchange .
9. Murthy, Kavi Rama (7 de mayo de 2019). "Versión alternativa del teorema del valor final para la transformada de Laplace". Math Stack Exchange .
10. Gluskin, Emanuel (1 de noviembre de 2003). "Enseñemos esta generalización del teorema del valor final". Revista Europea de Física . 24 (6): 591–597. doi :10.1088/0143-0807/24/6/005.
11. Hew, Patrick (22 de abril de 2020). "¿Teorema del valor final para una función que diverge hasta el infinito?". Math Stack Exchange .^{[ enlace muerto permanente ]}
12. Mohajeri, Kamran; Madadi, Ali; Tavassoli, Babak (2021). "Control de seguimiento con muestreo aperiódico en redes con retraso y abandono". Revista internacional de ciencia de sistemas . 52 (10): 1987–2002. doi :10.1080/00207721.2021.1874074.

Enlaces externos

• https://web.archive.org/web/20101225034508/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Archivado el 26 de diciembre de 2017 en Wayback Machine : valor final para Laplace
• https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf: prueba del valor final para las transformadas Z