Cálculo de Malliavin

Mathematical techniques used in probability theory and related fields

En teoría de la probabilidad y campos relacionados, el cálculo de Malliavin es un conjunto de técnicas e ideas matemáticas que extienden el campo matemático del cálculo de variaciones desde funciones deterministas hasta procesos estocásticos . En particular, permite el cálculo de derivadas de variables aleatorias . El cálculo de Malliavin también se llama cálculo estocástico de variaciones . P. Malliavin fue el primero en iniciar el cálculo en el espacio de dimensiones infinitas. Luego, los contribuyentes importantes como S. Kusuoka, D. Stroock, JM. Bismut , Shinzo Watanabe , I. Shigekawa, etc. finalmente completaron los cimientos.

El cálculo de Malliavin lleva el nombre de Paul Malliavin, cuyas ideas llevaron a la prueba de que la condición de Hörmander implica la existencia y suavidad de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; La prueba original de Hörmander se basó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . El cálculo también se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .

El cálculo permite la integración por partes con variables aleatorias ; Esta operación se utiliza en finanzas matemáticas para calcular las sensibilidades de los derivados financieros . El cálculo tiene aplicaciones, por ejemplo, en el filtrado estocástico .

Descripción general e historia

Malliavin introdujo el cálculo de Malliavin para proporcionar una prueba estocástica de que la condición de Hörmander implica la existencia de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; La prueba original de Hörmander se basó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . Su cálculo permitió a Malliavin demostrar límites de regularidad para la densidad de la solución. El cálculo se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .

Principio de invariancia

El principio de invariancia habitual para la integración de Lebesgue sobre toda la recta real es que, para cualquier número real ε y función integrable f , se cumple lo siguiente

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)}$y por lo tanto ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.}$

Esto se puede utilizar para derivar la fórmula de integración por partes ya que, estableciendo f = gh , implica

${\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .}$

Se puede aplicar una idea similar en el análisis estocástico para la diferenciación a lo largo de la dirección Cameron-Martin-Girsanov. De hecho, sea un proceso predecible integrable al cuadrado y establezca ${\displaystyle h_{s}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.}$

Si es un proceso de Wiener , el teorema de Girsanov produce el siguiente análogo del principio de invariancia: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E(F(X+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].}$

Derivando con respecto a ε en ambos lados y evaluando en ε=0, se obtiene la siguiente fórmula de integración por partes:

${\displaystyle E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.}$

Aquí, el lado izquierdo es la derivada de Malliavin de la variable aleatoria en la dirección y la integral que aparece en el lado derecho debe interpretarse como una integral de Itô . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi }$

Espacio de probabilidad gaussiano

El modelo de juguete del cálculo de Malliavin es un espacio de probabilidad gaussiano irreducible . Este es un espacio de probabilidad (completo) junto con un subespacio cerrado ^{[ desambiguación necesaria ]} tal que todas son variables gaussianas de media cero y . Si se elige una base, entonces se llama modelo numérico . Por otro lado, para cualquier espacio de Hilbert separable existe un espacio de probabilidad gaussiano canónico irreducible llamado modelo de Segal que tiene como subespacio gaussiano. Las propiedades de un espacio de probabilidad gaussiano que no dependen de la elección particular de la base se denominan intrínsecas y las que sí dependen de la elección extrénseca . ^[1] Denotamos el producto infinitamente numerable de espacios reales como . ${\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma (H:H\in {\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$

Sea la medida gaussiana canónica, al transferir el teorema de Cameron-Martin a un modelo numérico , el grupo aditivo de definirá un grupo de cuasi-automorfismo en . Se puede realizar una construcción de la siguiente manera: elegir una base ortonormal en , denotar la traducción en por , denotar el mapa en el espacio de Cameron-Martin por , denotar ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} }=\otimes _{n\in \mathbb {N} }\gamma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha }(x)=x+\alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle j:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}}$

${\displaystyle L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=\bigcap \limits _{p<\infty }L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\quad }$y ${\displaystyle \quad q:L^{\infty -0}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} })\to L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P),}$

obtenemos una representación canónica del grupo aditivo que actúa sobre los endomorfismos definiendo ${\displaystyle \rho :{\mathcal {H}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))}$

${\displaystyle \rho (h)=q\circ \tau _{j(h)}\circ q^{-1}.}$

Se puede demostrar que la acción de es un significado extrínseco, no depende de la elección de la base para , además, para y para el generador infinitesimal de ese ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho (h+h')=\rho (h)\rho (h')}$ ${\displaystyle h,h'\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (\rho (h))_{h}}$

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\rho (\varepsilon h)-I}{\varepsilon }}=M_{h}}$

donde es el operador de identidad y denota el operador de multiplicación por la variable aleatoria asociada a (actuando sobre los endomorfismos). ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M_{h}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$

Fórmula de Clark-Ocone

Uno de los resultados más útiles del cálculo de Malliavin es el teorema de Clark-Ocone , que permite identificar explícitamente el proceso en el teorema de representación de martingala . Una versión simplificada de este teorema es la siguiente:

Considere la medida estándar de Wiener en el espacio canónico , equipada con su filtración canónica. Para satisfacer cuál es Lipschitz y tal que F tiene un núcleo derivado fuerte, en el sentido de que para en C [0,1] ${\displaystyle C[0,1]}$ ${\displaystyle F:C[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E(F(X)^{2})<\infty }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X}$

entonces

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},}$

donde H es la proyección previsible de F '( x , ( t ,1]) que puede verse como la derivada de la función F con respecto a un desplazamiento paralelo adecuado del proceso X sobre la porción ( t ,1] de su dominio.

Esto puede expresarse de forma más concisa mediante

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F\mid {\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.}$

Gran parte del trabajo en el desarrollo formal del cálculo de Malliavin implica extender este resultado a la clase más grande posible de funcionales F reemplazando el núcleo derivado usado anteriormente por la " derivada de Malliavin " indicada en la declaración anterior del resultado. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle D_{t}}$

Integral de Skorokhod

El operador integral de Skorokhod que convencionalmente se denota como δ se define como el adjunto de la derivada de Malliavin en el caso del ruido blanco cuando el espacio de Hilbert es un espacio, por lo tanto para u en el dominio del operador que es un subconjunto de , para F en el dominio de la derivada de Malliavin, requerimos ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,\infty )\times \Omega )}$

${\displaystyle E(\langle DF,u\rangle )=E(F\delta (u)),}$

donde el producto interno es el de a saber ${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,ds.}$

La existencia de este adjunto se deriva del teorema de representación de Riesz para operadores lineales en espacios de Hilbert .

Se puede demostrar que si u está adaptado entonces

${\displaystyle \delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},}$

donde la integral debe entenderse en el sentido Itô. Por tanto, esto proporciona un método para extender la integral de Itô a integrandos no adaptados.

Aplicaciones

El cálculo permite la integración por partes con variables aleatorias ; Esta operación se utiliza en finanzas matemáticas para calcular las sensibilidades de los derivados financieros . El cálculo tiene aplicaciones, por ejemplo, en el filtrado estocástico .

Referencias

1. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 4-15. ISBN 3-540-57024-1.
2. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 20-22. ISBN 3-540-57024-1.

• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1981) "Aplicaciones de Malliavin Calculus I", Análisis estocástico, Actas del Simposio Internacional Taniguchi Katata y Kyoto 1982, págs. 271–306
• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1985) "Aplicaciones de Malliavin Calculus II", J. Faculty Sci. Uni. Secta de Tokio. 1A Matemáticas. , 32 págs. 1–76
• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1987) "Aplicaciones de Malliavin Calculus III", J. Faculty Sci. Univ. Secta de Tokio. 1A Matemáticas. , 34 págs. 391–442
• Malliavin, Paul y Thalmaier, Anton. Cálculo estocástico de variaciones en finanzas matemáticas , Springer 2005, ISBN 3-540-43431-3 
• Nualart, David (2006). El cálculo de Malliavin y temas relacionados (Segunda ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
• Bell, Denis. (2007) El cálculo de Malliavin , Dover. ISBN 0-486-44994-7 ; libro electronico 
• Sanz-Solé, Marta (2005) Malliavin Calculus, con aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas . EPFL Press, distribuido por CRC Press, Taylor & Francis Group.
• Schiller, Alex (2009) Cálculo Malliavin para simulación de Monte Carlo con aplicaciones financieras. Tesis, Departamento de Matemáticas, Universidad de Princeton
• Øksendal, Bernt K. (1997) Introducción al cálculo de Malliavin con aplicaciones a la economía. Apuntes de conferencias, Departamento de Matemáticas, Universidad de Oslo (archivo zip que contiene tesis y apéndice)
• Di Nunno, Giulia , Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) "Cálculo de Malliavin para procesos de Lévy con aplicaciones a las finanzas", Universitext, Springer. ISBN 978-3-540-78571-2 

enlaces externos

• Citas relacionadas con el cálculo de Malliavin en Wikiquote
• Friz, Peter K. (10 de abril de 2005). "Una introducción al cálculo de Malliavin" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de abril de 2007 . Consultado el 23 de julio de 2007 .Apuntes de conferencias, 43 páginas

• Zhang, H. (11 de noviembre de 2004). "El cálculo de Malliavin" (PDF) . Consultado el 11 de noviembre de 2004 .Tesis, 100 páginas.