Apantallamiento de campo eléctrico

Amortiguación de campos eléctricos

En física , el apantallamiento es la amortiguación de los campos eléctricos causados ​​por la presencia de portadores de carga móviles . Es una parte importante del comportamiento de los fluidos portadores de carga , como los gases ionizados ( plasmas clásicos ), los electrolitos y los portadores de carga en conductores electrónicos ( semiconductores , metales ). En un fluido, con una permitividad dada ε , compuesto de partículas constituyentes cargadas eléctricamente, cada par de partículas (con cargas q ₁ y q ₂ ) interactúan a través de la fuerza de Coulomb como donde el vector r es la posición relativa entre las cargas. Esta interacción complica el tratamiento teórico del fluido. Por ejemplo, un cálculo mecánico cuántico ingenuo de la densidad de energía del estado fundamental produce infinito, lo cual es irrazonable. La dificultad radica en el hecho de que, aunque la fuerza de Coulomb disminuye con la distancia como 1/ r ² , el número promedio de partículas a cada distancia r es proporcional a r ² , suponiendo que el fluido es bastante isótropo . Como resultado, una fluctuación de carga en cualquier punto tiene efectos no despreciables a grandes distancias. $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

En realidad, estos efectos de largo alcance se suprimen mediante el flujo de partículas en respuesta a los campos eléctricos. Este flujo reduce la interacción efectiva entre partículas a una interacción de Coulomb "apantallada" de corto alcance. Este sistema corresponde al ejemplo más simple de una interacción renormalizada. ^[1]

En la física del estado sólido , especialmente en el caso de metales y semiconductores , el efecto de apantallamiento describe el campo electrostático y el potencial de Coulomb de un ion dentro del sólido. Al igual que el campo eléctrico del núcleo se reduce dentro de un átomo o ion debido al efecto de apantallamiento , los campos eléctricos de los iones en sólidos conductores se reducen aún más por la nube de electrones de conducción .

Descripción

Consideremos un fluido compuesto de electrones que se mueven en un fondo uniforme de carga positiva (plasma de un componente). Cada electrón posee una carga negativa. Según la interacción de Coulomb, las cargas negativas se repelen entre sí. En consecuencia, este electrón repelerá a otros electrones creando una pequeña región a su alrededor en la que hay menos electrones. Esta región puede tratarse como un "agujero de protección" cargado positivamente. Visto desde una gran distancia, este agujero de protección tiene el efecto de una carga positiva superpuesta que cancela el campo eléctrico producido por el electrón. Solo a distancias cortas, dentro de la región del agujero, se puede detectar el campo del electrón. Para un plasma, este efecto se puede hacer explícito mediante un cálculo de cuerpo β. ^{[2] : §5} Si el fondo está formado por iones positivos, su atracción por el electrón de interés refuerza el mecanismo de protección anterior. En física atómica, existe un efecto relacionado con los átomos con más de una capa electrónica: el efecto de apantallamiento . En física del plasma, el apantallamiento del campo eléctrico también se denomina apantallamiento o blindaje de Debye. Se manifiesta a escalas macroscópicas mediante una vaina ( vaina de Debye ) junto a un material con el que el plasma está en contacto. ${\displaystyle N}$

El potencial apantallado determina la fuerza interatómica y la relación de dispersión de fonones en los metales. El potencial apantallado se utiliza para calcular la estructura de banda electrónica de una gran variedad de materiales, a menudo en combinación con modelos pseudopotenciales . El efecto de apantallamiento conduce a la aproximación de electrones independientes , lo que explica el poder predictivo de los modelos introductorios de sólidos como el modelo de Drude , el modelo de electrones libres y el modelo de electrones casi libres .

Teoría y modelos

El primer tratamiento teórico del apantallamiento electrostático, debido a Peter Debye y Erich Hückel , ^[3] abordó una carga puntual estacionaria incrustada en un fluido.

Consideremos un fluido de electrones en un fondo de iones pesados ​​con carga positiva. Para simplificar, ignoramos el movimiento y la distribución espacial de los iones, aproximándolos como una carga de fondo uniforme. Esta simplificación es admisible ya que los electrones son más ligeros y más móviles que los iones, siempre que consideremos distancias mucho mayores que la separación iónica. En física de la materia condensada , este modelo se conoce como jellium .

Interacciones de Coulomb apantalladas

Sea ρ la densidad numérica de electrones y φ el potencial eléctrico . Al principio, los electrones están distribuidos de manera uniforme, de modo que hay una carga neta cero en cada punto. Por lo tanto, φ también es inicialmente una constante.

Ahora introducimos una carga puntual fija Q en el origen. La densidad de carga asociada es Qδ ( r ), donde δ ( r ) es la función delta de Dirac . Una vez que el sistema ha vuelto al equilibrio, sea Δ ρ ( r ) y Δ φ ( r ) respectivamente el cambio en la densidad electrónica y el potencial eléctrico . La densidad de carga y el potencial eléctrico están relacionados por la ecuación de Poisson , que da donde ε ₀ es la permitividad del vacío . $${\displaystyle -\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r)],}$$

Para continuar, debemos encontrar una segunda ecuación independiente que relacione Δρ y Δφ . Consideramos dos aproximaciones posibles, bajo las cuales las dos cantidades son proporcionales: la aproximación de Debye-Hückel, válida a altas temperaturas (por ejemplo, plasmas clásicos), y la aproximación de Thomas-Fermi, válida a bajas temperaturas (por ejemplo, electrones en metales).

Aproximación de Debye-Hückel

En la aproximación de Debye–Hückel, ^[3] mantenemos el sistema en equilibrio termodinámico, a una temperatura T lo suficientemente alta como para que las partículas del fluido obedezcan la estadística de Maxwell–Boltzmann . En cada punto del espacio, la densidad de electrones con energía j tiene la forma donde k _B es la constante de Boltzmann . Perturbando en φ y expandiendo la exponencial a primer orden, obtenemos donde $${\displaystyle \rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$ $${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$ $${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

La longitud asociada λ _D ≡ 1/ k ₀ se denomina longitud de Debye . La longitud de Debye es la escala de longitud fundamental de un plasma clásico.

Aproximación de Thomas-Fermi

En la aproximación de Thomas-Fermi, ^[4] llamada así por Llewellyn Thomas y Enrico Fermi , el sistema se mantiene a un potencial químico electrónico constante ( nivel de Fermi ) y a baja temperatura. La primera condición corresponde, en un experimento real, a mantener el metal/fluido en contacto eléctrico con una diferencia de potencial fija con tierra . El potencial químico μ es, por definición, la energía de añadir un electrón extra al fluido. Esta energía puede descomponerse en una parte de energía cinética T y una parte de energía potencial − eφ . Dado que el potencial químico se mantiene constante, $${\displaystyle \Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0.}$$

Si la temperatura es extremadamente baja, el comportamiento de los electrones se acerca al modelo mecánico cuántico de un gas de Fermi . Por lo tanto, aproximamos T por la energía cinética de un electrón adicional en el modelo de gas de Fermi, que es simplemente la energía de Fermi E _F . La energía de Fermi para un sistema 3D está relacionada con la densidad de electrones (incluida la degeneración de espín) por donde k _F es el vector de onda de Fermi. Perturbando hasta el primer orden, encontramos que $${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}$$ $${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }.}$$

Insertando esto en la ecuación anterior para Δ μ se obtiene donde se llama vector de onda de apantallamiento de Thomas-Fermi. $${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$$ $${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}}$$

Este resultado se desprende de las ecuaciones de un gas de Fermi, que es un modelo de electrones que no interactúan, mientras que el fluido que estamos estudiando contiene la interacción de Coulomb. Por lo tanto, la aproximación de Thomas-Fermi solo es válida cuando la densidad electrónica es baja, de modo que las interacciones entre partículas son relativamente débiles.

Resultado: Potencial evaluado

Ahora, nuestros resultados de la aproximación de Debye–Hückel o Thomas–Fermi pueden insertarse en la ecuación de Poisson. El resultado es lo que se conoce como ecuación de Poisson apantallada . La solución es lo que se llama potencial de Coulomb apantallado. Es un potencial de Coulomb multiplicado por un término de amortiguamiento exponencial, con la fuerza del factor de amortiguamiento dada por la magnitud de k ₀ , el vector de onda de Debye o Thomas–Fermi. Nótese que este potencial tiene la misma forma que el potencial de Yukawa . Este apantallamiento produce una función dieléctrica . $${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r),}$$ $${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},}$$ ${\displaystyle \varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}$

Teoría de muchos cuerpos

Física clásica y respuesta lineal

Un enfoque de cuerpo mecánico proporciona conjuntamente la derivación del efecto de apantallamiento y del amortiguamiento de Landau . ^{[2] [5]} Se trata de una única realización de un plasma de un componente cuyos electrones tienen una dispersión de velocidad (para un plasma térmico, debe haber muchas partículas en una esfera de Debye, un volumen cuyo radio es la longitud de Debye). Al utilizar el movimiento linealizado de los electrones en su propio campo eléctrico, se obtiene una ecuación del tipo ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}\Phi =S,}$$

donde es un operador lineal, es un término fuente debido a las partículas y es la transformada de Fourier-Laplace del potencial electrostático. Al sustituir una integral sobre una función de distribución suave por la suma discreta sobre las partículas en , se obtiene donde es la permitividad del plasma, o función dieléctrica, obtenida clásicamente por una ecuación linealizada de Vlasov-Poisson , ^{[6] : §6.4} es el vector de onda, es la frecuencia y es la suma de los términos fuente debidos a las partículas. ^{[2] : Ecuación 20} ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ $${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ ${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle N}$

Por la transformada inversa de Fourier-Laplace, el potencial debido a cada partícula es la suma de dos partes ^{[2] : §4.1} Una corresponde a la excitación de las ondas de Langmuir por la partícula, y la otra es su potencial apantallado, como se obtiene clásicamente mediante un cálculo Vlasoviano linealizado que involucra una partícula de prueba. ^{[6] : §9.2} El potencial apantallado es el potencial de Coulomb apantallado anterior para un plasma térmico y una partícula térmica. Para una partícula más rápida, el potencial se modifica. ^{[6] : §9.2} Sustituyendo una integral sobre una función de distribución suave por la suma discreta sobre las partículas en , se obtiene la expresión Vlasoviana que permite el cálculo del amortiguamiento de Landau. ^{[6] : §6.4} ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$

Enfoque mecánico-cuántico

En los metales reales, el efecto de apantallamiento es más complejo que el descrito anteriormente en la teoría de Thomas-Fermi. La suposición de que los portadores de carga (electrones) pueden responder en cualquier vector de onda es solo una aproximación. Sin embargo, no es energéticamente posible que un electrón dentro o sobre una superficie de Fermi responda en vectores de onda más cortos que el vector de onda de Fermi. Esta restricción está relacionada con el fenómeno de Gibbs , donde las series de Fourier para funciones que varían rápidamente en el espacio no son buenas aproximaciones a menos que se retenga una gran cantidad de términos en la serie. En física, este fenómeno se conoce como oscilaciones de Friedel y se aplica tanto al apantallamiento de superficie como al apantallamiento en masa. En cada caso, el campo eléctrico neto no cae exponencialmente en el espacio, sino como una ley de potencia inversa multiplicada por un término oscilatorio. Se pueden obtener cálculos teóricos a partir de la hidrodinámica cuántica y la teoría del funcional de la densidad (DFT).

Véase también

• Longitud de Bjerrum
• Longitud de Debye

Referencias

1. McComb, WD (2007). Métodos de renormalización: una guía para principiantes (reimpreso con correcciones, edición reimpresa). Oxford: Oxford University Press. §1.2.1, §3.2. ISBN 978-0199236527.
2. Escande, DF; Elskens, Yves; Doveil, F (1 de febrero de 2015). "Camino directo desde la mecánica microscópica hasta el apantallamiento de Debye, el amortiguamiento de Landau y la interacción onda-partícula". Plasma Physics and Controlled Fusion . 57 (2): 025017. arXiv : 1409.4323 . Bibcode :2015PPCF...57b5017E. doi :10.1088/0741-3335/57/2/025017. S2CID  8246103.
3. P. Debye y E. Hückel (1923). "La teoría de los electrolitos. I. Reducción del punto de congelación y fenómenos relacionados" (PDF) . Physikalische Zeitschrift . 24 : 185–206. Archivado desde el original (PDF) el 2 de noviembre de 2013.
4. NW Ashcroft y ND Mermin, Física del estado sólido (Thomson Learning, Toronto, 1976)
5. Escande, DF; Doveil, F; Elskens, Yves (2016). "Descripción de N-cuerpos del apantallamiento de Debye y amortiguamiento de Landau". Plasma Physics and Controlled Fusion . 58 (1): 014040. arXiv : 1506.06468 . Bibcode :2016PPCF...58a4040E. doi :10.1088/0741-3335/58/1/014040. S2CID  118576116.
6. Nicholson, DR (1983). Introducción a la teoría del plasma . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0471090458.

Enlaces externos

• Fitzpatrick, Richard (31 de marzo de 2011). "Debye Shielding". Universidad de Texas en Austin . Consultado el 12 de julio de 2018 .