Aproximación de electrones independientes

Simplificación que aproxima la interacción electrón-electrón en cristales como nula

En física de la materia condensada , la aproximación del electrón independiente es una simplificación utilizada en sistemas complejos, que consisten en muchos electrones , que aproxima la interacción electrón-electrón en cristales como nula . Es un requisito tanto para el modelo del electrón libre como para el modelo del electrón casi libre , donde se utiliza junto con el teorema de Bloch . ^[1] En mecánica cuántica , esta aproximación se utiliza a menudo para simplificar un problema cuántico de muchos cuerpos en aproximaciones de una sola partícula. ^[1]

Si bien esta simplificación es válida para muchos sistemas, las interacciones electrón-electrón pueden ser muy importantes para ciertas propiedades de los materiales. Por ejemplo, la teoría que abarca gran parte de la superconductividad es la teoría BCS , en la que la atracción de pares de electrones entre sí, denominada " pares de Cooper ", es el mecanismo que subyace a la superconductividad. Un efecto importante de las interacciones electrón-electrón es que los electrones se distribuyen alrededor de los iones de modo que los protegen de otros electrones en la red. ^{[ cita requerida ]}

Tratamiento cuántico

Para un ejemplo de la utilidad de la aproximación de electrones independientes en mecánica cuántica , considere un cristal de N átomos con un electrón libre por átomo (cada uno con número atómico Z ). Despreciando el espín, el hamiltoniano del sistema toma la forma: ^[1]

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {-\hbar ^{2}\nabla _{i}^{2}}{2m_{e}}}-\sum _{I=0}^{N}{\frac {e^{2}Z}{\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} _{I}\right|}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}{\frac {e^{2}}{\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|}}\right),}$

donde es la constante de Planck reducida , e es la carga elemental , m _e es la masa en reposo del electrón y es el operador de gradiente para el electrón i . La letra mayúscula es la posición reticular i (la posición de equilibrio del núcleo i ) y la letra minúscula es la posición del electrón i . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \nabla _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{I}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

El primer término entre paréntesis se denomina operador de energía cinética, mientras que los dos últimos son simplemente los términos de interacción de Coulomb para las interacciones electrón-núcleo y electrón-electrón, respectivamente. Si el término electrón-electrón fuera despreciable, el hamiltoniano podría descomponerse en un conjunto de N hamiltonianos desacoplados (uno para cada electrón), lo que simplifica enormemente el análisis. Sin embargo, el término de interacción electrón-electrón evita esta descomposición al garantizar que el hamiltoniano para cada electrón incluirá términos para la posición de todos los demás electrones en el sistema. ^[1] Sin embargo, si el término de interacción electrón-electrón es suficientemente pequeño, los términos de interacción de Coulomb pueden aproximarse mediante un término de potencial efectivo, que ignora las interacciones electrón-electrón. ^[1] Esto se conoce como la aproximación del electrón independiente . ^[1] El teorema de Bloch se basa en esta aproximación al establecer el término de potencial efectivo en un potencial periódico de la forma que satisface , donde es cualquier vector reticular recíproco (véase el teorema de Bloch ). ^[1] Esta aproximación se puede formalizar utilizando métodos de la aproximación Hartree-Fock o la teoría del funcional de la densidad . ^[1] ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{j})=V(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$

Véase también

• Material fuertemente correlacionado

Referencias

1. Girvin, Steven M.; Yang, Kun (2019). Física moderna de la materia condensada (1.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 105–117. ISBN 978-1-107-13739-4.

• Omar, M. Ali (1994). Física elemental del estado sólido, 4.ª ed. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-60733-8 .