El análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de investigar las conexiones entre una función y su representación en frecuencia . La representación de la frecuencia se encuentra utilizando la transformada de Fourier para funciones sobre la recta real o mediante series de Fourier para funciones periódicas. Generalizar estas transformadas a otros dominios generalmente se denomina análisis de Fourier , aunque el término a veces se usa indistintamente con análisis armónico. El análisis armónico se ha convertido en un tema muy amplio con aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de números , la teoría de la representación , el procesamiento de señales , la mecánica cuántica , el análisis de mareas y la neurociencia .
El término " armónicos " se originó en la antigua palabra griega harmonikos , que significa "hábil en música". [1] En problemas de valores propios físicos , comenzó a significar ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros entre sí, como lo son las frecuencias de los armónicos de las notas musicales . Aún así, el término se ha generalizado más allá de su significado original.
La transformada de Fourier clásica en R n es todavía un área de investigación en curso, particularmente en lo que respecta a la transformada de Fourier en objetos más generales como las distribuciones templadas . Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f , podemos intentar traducir estos requisitos a la transformada de Fourier de f . El teorema de Paley-Wiener es un ejemplo. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución distinta de cero de soporte compacto (éstas incluyen funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca está soportada de forma compacta (es decir, si una señal está limitada en un dominio, es ilimitada en el otro). Esta es una forma elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.
Las series de Fourier pueden estudiarse convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert , lo que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional . Hay cuatro versiones de la transformada de Fourier, dependiendo de los espacios mapeados por la transformación:
Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis de grupos topológicos . Las ideas motivadoras centrales son las diversas transformadas de Fourier , que pueden generalizarse a una transformación de funciones definidas en grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff .
La teoría de los grupos abelianos localmente compactos se llama dualidad de Pontryagin .
El análisis armónico estudia las propiedades de esa dualidad. Fourier transforma e intenta extender esas características a diferentes entornos, por ejemplo, al caso de grupos de Lie no abelianos .
El análisis armónico está estrechamente relacionado con la teoría de las representaciones de grupos unitarios para grupos locales compactos generales no abelianos. Para grupos compactos, el teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden obtener armónicos eligiendo una representación irreducible de cada clase de representaciones de equivalencia. Esta elección de armónicos disfruta de algunas de las valiosas propiedades de la transformada de Fourier clásica en términos de llevar convoluciones a productos puntuales o mostrar una cierta comprensión de la estructura del grupo subyacente . Ver también: Análisis armónicos no conmutativos .
Si el grupo no es ni abeliano ni compacto, actualmente no se conoce ninguna teoría general satisfactoria ("satisfactoria" significa al menos tan fuerte como el teorema de Plancherel ). Sin embargo, se han analizado muchos casos específicos, por ejemplo, SL n . En este caso, las representaciones en infinitas dimensiones juegan un papel crucial.
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Muchas aplicaciones del análisis armónico en ciencia e ingeniería comienzan con la idea o hipótesis de que un fenómeno o señal está compuesto por una suma de componentes oscilatorios individuales. Las mareas oceánicas y las cuerdas vibrantes son ejemplos comunes y simples. El enfoque teórico a menudo intenta describir el sistema mediante una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones para predecir las características esenciales, incluidas la amplitud, frecuencia y fases de los componentes oscilatorios. Las ecuaciones específicas dependen del campo, pero las teorías generalmente intentan seleccionar ecuaciones que representen principios importantes que sean aplicables.
El enfoque experimental suele consistir en adquirir datos que cuantifiquen con precisión el fenómeno. Por ejemplo, en un estudio de mareas, el experimentador adquiriría muestras de la profundidad del agua en función del tiempo a intervalos lo suficientemente espaciados para ver cada oscilación y durante un tiempo suficientemente largo como para que probablemente se incluyan múltiples períodos oscilatorios. En un estudio sobre cuerdas vibrantes, es común que el experimentador adquiera una forma de onda de sonido muestreada a una velocidad al menos dos veces mayor que la frecuencia más alta esperada y durante una duración muchas veces mayor que el período de la frecuencia más baja esperada.
Por ejemplo, la señal superior a la derecha es una forma de onda de sonido de un bajo tocando una cuerda al aire correspondiente a una nota La con una frecuencia fundamental de 55 Hz. La forma de onda parece oscilatoria, pero es más compleja que una simple onda sinusoidal, lo que indica la presencia de ondas adicionales. Los diferentes componentes de onda que contribuyen al sonido se pueden revelar aplicando una técnica de análisis matemático conocida como transformada de Fourier , que se muestra en la figura inferior. Hay un pico prominente a 55 Hz, pero otros picos a 110 Hz, 165 Hz y otras frecuencias correspondientes a múltiplos enteros de 55 Hz. En este caso se identifica a 55 Hz como la frecuencia fundamental de la vibración de la cuerda, y los múltiplos enteros se conocen como armónicos .
