Polinomio ciclotómico

Polinomio irreducible cuyas raíces son raíces n-ésimas de la unidad

En matemáticas , el n- ésimo polinomio ciclotómico , para cualquier entero positivo n , es el único polinomio irreducible con coeficientes enteros que es divisor de y no es divisor de para cualquier k < n . Sus raíces son todas las n- ésimas raíces primitivas de la unidad , donde k recorre los enteros positivos menores que n y coprimos con n (e i es la unidad imaginaria ). En otras palabras, el n- ésimo polinomio ciclotómico es igual a ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle x^{k}-1}$ ${\displaystyle e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right).}$

También puede definirse como el polinomio mónico con coeficientes enteros que es el polinomio mínimo sobre el cuerpo de los números racionales de cualquier raíz n -ésima primitiva de la unidad ( es un ejemplo de dicha raíz). ${\displaystyle e^{2i\pi /n}}$

Una relación importante que vincula los polinomios ciclotómicos y las raíces primitivas de la unidad es

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,}$

mostrando que es una raíz de si y sólo si es una d -ésima raíz primitiva de la unidad para algún d que divide a n . ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$ 

Ejemplos

Si n es un número primo , entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}.}$

Si n = 2 p donde p es un número primo distinto de 2, entonces

${\displaystyle \Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.}$

Para n hasta 30, los polinomios ciclotómicos son: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\\Phi _{3}(x)&=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi _{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi _{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{16}(x)&=x^{8}+1\\\Phi _{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi _{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\\Phi _{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\\Phi _{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}}$

El caso del polinomio ciclotómico 105 es interesante porque 105 es el menor entero positivo que es el producto de tres números primos impares distintos (3*5*7) y este polinomio es el primero que tiene un coeficiente distinto de 1, 0 o −1: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)={}&x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\&{}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&{}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

Propiedades

Herramientas fundamentales

Los polinomios ciclotómicos son polinomios mónicos con coeficientes enteros irreducibles en el cuerpo de los números racionales. Excepto n igual a 1 o 2, son palíndromos de grado par.

El grado de , o en otras palabras, el número de n raíces primitivas de la unidad, es , donde es la función totiente de Euler . ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

El hecho de que sea un polinomio irreducible de grado en el anillo es un resultado no trivial debido a Gauss . ^[4] Dependiendo de la definición elegida, es el valor del grado o la irreducibilidad lo que es un resultado no trivial. El caso de primo n es más fácil de demostrar que el caso general, gracias al criterio de Eisenstein . ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Una relación fundamental que involucra polinomios ciclotómicos es

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod _{1\leqslant k\leqslant n}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x).\end{aligned}}}$

lo que significa que cada n -ésima raíz de la unidad es una d -ésima raíz de la unidad primitiva para un d único que divide a n .

La fórmula de inversión de Möbius permite expresarse como fracción racional explícita: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

¿Dónde está la función de Möbius ? ${\displaystyle \mu }$

El polinomio ciclotómico se puede calcular dividiendo (exactamente) por los polinomios ciclotómicos de los divisores propios de n calculados previamente de forma recursiva mediante el mismo método: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}}$

(Recordemos que .) ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$

Esta fórmula define un algoritmo para calcular cualquier n , siempre que se disponga de factorización de enteros y división de polinomios . Muchos sistemas de álgebra computacional , como SageMath , Maple , Mathematica y PARI/GP , tienen una función incorporada para calcular los polinomios ciclotómicos. ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

Casos fáciles de calcular

Como se señaló anteriormente, si n es un número primo, entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}\;.}$

Si n es un entero impar mayor que uno, entonces

${\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x)\;.}$

En particular, si n = 2 p es el doble de un primo impar, entonces (como se señaló anteriormente)

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}\;.}$

Si n = p ^m es una potencia prima (donde p es primo), entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{kp^{m-1}}\;.}$

De manera más general, si n = p ^m r con r relativamente primo a p , entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}})\;.}$

Estas fórmulas se pueden aplicar repetidamente para obtener una expresión simple para cualquier polinomio ciclotómico en términos de un polinomio ciclotómico de índice libre cuadrado : Si q es el producto de los divisores primos de n (su radical ), entonces ^[5] ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q})\;.}$

Esto permite dar fórmulas para el n- ésimo polinomio ciclotómico cuando n tiene como máximo un factor primo impar: Si p es un número primo impar, y h y k son números enteros positivos, entonces

${\displaystyle \Phi _{2^{h}}(x)=x^{2^{h-1}}+1\;,}$

${\displaystyle \Phi _{p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{k-1}}\;,}$

${\displaystyle \Phi _{2^{h}p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{h-1}p^{k-1}}\;.}$

Para los demás valores de n , el cálculo del polinomio ciclotómico n º se reduce de manera similar al de donde q es el producto de los divisores primos impares distintos de n . Para tratar este caso, se tiene que, para p primo y no divisor de n , ^[6] ${\displaystyle \Phi _{q}(x),}$

${\displaystyle \Phi _{np}(x)=\Phi _{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x)\;.}$

Números enteros que aparecen como coeficientes

El problema de limitar la magnitud de los coeficientes de los polinomios ciclotómicos ha sido objeto de numerosos trabajos de investigación. Varios artículos de revisión ofrecen una visión general. ^[7]

Si n tiene como máximo dos factores primos impares distintos, entonces Migotti demostró que los coeficientes de están todos en el conjunto {1, −1, 0}. ^[8] ${\displaystyle \Phi _{n}}$

El primer polinomio ciclotómico para un producto de tres factores primos impares diferentes es que tiene un coeficiente −2 (ver su expresión anterior). La inversa no es cierta: solo tiene coeficientes en {1, −1, 0}. ${\displaystyle \Phi _{105}(x);}$ ${\displaystyle \Phi _{231}(x)=\Phi _{3\times 7\times 11}(x)}$

Si n es un producto de varios factores primos impares diferentes, los coeficientes pueden aumentar hasta valores muy altos. Por ejemplo, tiene coeficientes que van de −22 a 23, , el n más pequeño con 6 primos impares diferentes, tiene coeficientes de magnitud hasta 532. ${\displaystyle \Phi _{15015}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13}(x)}$ ${\displaystyle \Phi _{255255}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)}$

Sea A ( n ) el valor absoluto máximo de los coeficientes de Φ _n . Se sabe que para cualquier k positivo , el número de n hasta x con A ( n ) > n ^k es al menos c ( k )⋅ x para un c ( k ) positivo que dependa de k y x suficientemente grande. En la dirección opuesta, para cualquier función ψ( n ) que tienda a infinito con n tenemos A ( n ) acotada por encima por n ^{ψ( n )} para casi todo n . ^[9]

Una combinación de teoremas de Bateman y Vaughan establece ^{[7] : 10} que por un lado, para cada , tenemos ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle A(n)<e^{\left(n^{(\log 2+\varepsilon )/(\log \log n)}\right)}}$

para todos los números enteros positivos suficientemente grandes , y por otro lado, tenemos ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A(n)>e^{\left(n^{(\log 2)/(\log \log n)}\right)}}$

para infinitos números enteros positivos . Esto implica en particular que los polinomios univariados (concretamente para infinitos números enteros positivos ) pueden tener factores (como ) cuyos coeficientes son superpolinómicamente mayores que los coeficientes originales. Esto no está demasiado lejos del límite general de Landau-Mignotte . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Fórmula de Gauss

Sea n impar, libre de cuadrados y mayor que 3. Entonces: ^{[10] [11]}

${\displaystyle 4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)}$

donde tanto A _n ( z ) como B _n ( z ) tienen coeficientes enteros, A _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2, y B _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2 − 2. Además, A _n ( z ) es palindrómico cuando su grado es par; si su grado es impar es antipalindrómico. De manera similar, B _n ( z ) es palindrómico a menos que n sea compuesto y ≡ 3 (mod 4), en cuyo caso es antipalindrómico.

Los primeros casos son

${\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned}}}$

La fórmula de Lucas

Sea n impar, libre de cuadrados y mayor que 3. Entonces ^[11]

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2}(z)}$

donde tanto U _n ( z ) como V _n ( z ) tienen coeficientes enteros, U _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2, y V _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2 − 1. Esto también se puede escribir

${\displaystyle \Phi _{n}\left((-1)^{\frac {n-1}{2}}z\right)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z).}$

Si n es par, libre de cuadrados y mayor que 2 (esto obliga a que n /2 sea impar),

${\displaystyle \Phi _{\frac {n}{2}}\left(-z^{2}\right)=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z)}$

donde tanto C _n ( z ) como D _n ( z ) tienen coeficientes enteros, C _n ( z ) tiene grado φ ( n ), y D _n ( z ) tiene grado φ ( n ) − 1. C _n ( z ) y D _n ( z ) son ambos palindrómicos.

Los primeros casos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\\&=(z+1)^{2}-3z\\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12}(z)=z^{4}-z^{2}+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end{aligned}}}$

Conjetura de la hermana Beiter

The Sister Beiter conjecture is concerned with the maximal size (in absolute value) ${\displaystyle A(pqr)}$ of coefficients of ternary cyclotomic polynomials ${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$ where ${\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r}$ are three prime numbers.^[12]

Cyclotomic polynomials over a finite field and over the p-adic integers

Over a finite field with a prime number p of elements, for any integer n that is not a multiple of p, the cyclotomic polynomial ${\displaystyle \Phi _{n}}$ factorizes into ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{d}}}$ irreducible polynomials of degree d, where ${\displaystyle \varphi (n)}$ is Euler's totient function and d is the multiplicative order of p modulo n. In particular, ${\displaystyle \Phi _{n}}$ is irreducible if and only if p is a primitive root modulo n, that is, p does not divide n, and its multiplicative order modulo n is ${\displaystyle \varphi (n)}$, the degree of ${\displaystyle \Phi _{n}}$.^[13]

These results are also true over the p-adic integers, since Hensel's lemma allows lifting a factorization over the field with p elements to a factorization over the p-adic integers.

Polynomial values

If x takes any real value, then ${\displaystyle \Phi _{n}(x)>0}$ for every n ≥ 3 (this follows from the fact that the roots of a cyclotomic polynomial are all non-real, for n ≥ 3).

For studying the values that a cyclotomic polynomial may take when x is given an integer value, it suffices to consider only the case n ≥ 3, as the cases n = 1 and n = 2 are trivial (one has ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$ and ${\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}$).

For n ≥ 2, one has

${\displaystyle \Phi _{n}(0)=1,}$

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=1}$ if n is not a prime power,

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=p}$ if ${\displaystyle n=p^{k}}$ is a prime power with k ≥ 1.

The values that a cyclotomic polynomial ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ may take for other integer values of x is strongly related with the multiplicative order modulo a prime number.

Más precisamente, dado un número primo p y un entero b coprimo con p , el orden multiplicativo de b módulo p , es el entero positivo más pequeño n tal que p es un divisor de Para b > 1 , el orden multiplicativo de b módulo p es también el período más corto de la representación de 1/ p en la base numérica b (ver Primo único ; esto explica la elección de la notación). ${\displaystyle b^{n}-1.}$

La definición del orden multiplicativo implica que, si n es el orden multiplicativo de b módulo p , entonces p es un divisor de La inversa no es verdadera, pero se tiene lo siguiente. ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

Si n > 0 es un entero positivo y b > 1 es un entero, entonces (ver más abajo una prueba)

${\displaystyle \Phi _{n}(b)=2^{k}gh,}$

dónde

• k es un entero no negativo, siempre igual a 0 cuando b es par. (De hecho, si n no es ni 1 ni 2, entonces k es 0 o 1. Además, si n no es una potencia de 2 , entonces k siempre es igual a 0)
• g es 1 o el factor primo impar más grande de n .
• h es impar, coprimo con n , y sus factores primos son exactamente los primos impares p tales que n es el orden multiplicativo de b módulo p .

Esto implica que, si p es un divisor primo impar de entonces n es divisor de p − 1 o p es divisor de n . En el último caso, no divide ${\displaystyle \Phi _{n}(b),}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

El teorema de Zsigmondy implica que los únicos casos donde b > 1 y h = 1 son

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k>0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}}$

De la factorización anterior se deduce que los factores primos impares de

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(n,\Phi _{n}(b))}}}$

son exactamente los primos impares p tales que n es el orden multiplicativo de b módulo p . Esta fracción puede ser par solo cuando b es impar. En este caso, el orden multiplicativo de b módulo 2 es siempre 1 .

Hay muchos pares ( n , b ) con b > 1 tales que es primo. De hecho, la conjetura de Bunyakovsky implica que, para cada n , hay infinitos b > 1 tales que es primo. Véase OEIS : A085398 para la lista de los b > 1 más pequeños tales que son primos (el b > 1 más pequeño tal que es primo es aproximadamente , donde es la constante de Euler-Mascheroni , y es la función totient de Euler ). Véase también OEIS : A206864 para la lista de los primos más pequeños de la forma con n > 2 y b > 1 , y, de forma más general, OEIS : A206942 , para los enteros positivos más pequeños de esta forma. ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \lambda \cdot \varphi (n)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$

Aplicaciones

Utilizando , se puede dar una prueba elemental de la infinitud de primos congruentes con 1 módulo n , ^[14] que es un caso especial del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Véase también

• Campo ciclotómico
• Factorización aurifeuilleana
• Raíz de la unidad

Referencias

1. Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, pág. 465 §18, ISBN 978-0-387-72828-5
2. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A013595", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
3. Brookfield, Gary (2016), "Los coeficientes de los polinomios ciclotómicos", Mathematics Magazine , 89 (3): 179–188, doi :10.4169/math.mag.89.3.179, JSTOR  10.4169/math.mag.89.3.179, MR  3519075
4. Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556
5. Cox, David A. (2012), "Ejercicio 12", Teoría de Galois (2ª ed.), John Wiley & Sons, p. 237, doi :10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
6. Weisstein, Eric W. , "Polinomio ciclotómico", MathWorld
7. Sanna, Carlo (2021), "Una encuesta sobre coeficientes de polinomios ciclotómicos", arXiv : 2111.04034 [math.NT]
8. Isaacs, Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado , Librería AMS, pág. 310, ISBN 978-0-8218-4799-2
9. Maier, Helmut (2008), "Anatomía de números enteros y polinomios ciclotómicos", en De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.), Anatomía de números enteros. Basado en el taller CRM, Montreal, Canadá, 13-17 de marzo de 2006 , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 46, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 89–95, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl1186.11010 ​
10. Gauss, DA, Artículos 356-357
11. Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos para factorización (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, págs. 309-316, 436, 443, ISBN 0-8176-3743-5
12. Beiter, Marion (abril de 1968), "Magnitud de los coeficientes del polinomio ciclotómico ", The American Mathematical Monthly , 75 (4): 370–372, doi :10.2307/2313416, JSTOR  2313416 ${\displaystyle F_{pqr}(x)}$
13. Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Campos finitos (2ª ed.), Cambridge University Press, pág. 65.
14. S. Shirali. Teoría de números . Orientar Blackswan, 2004. p. 67. ISBN 81-7371-454-1 

Lectura adicional

El libro de Gauss Disquisitiones Arithmeticae [ Investigaciones aritméticas ] ha sido traducido del latín al francés, alemán e inglés. La edición alemana incluye todos sus trabajos sobre teoría de números: todas las pruebas de reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

• Gauss, Carl Friedrich (1801), Disquisitiones Arithmeticae (en latín), Leipzig: Gerh. Fleischer
• Gauss, Carl Friedrich (1807) [1801], Recherches Arithmétiques (en francés), traducido por Poullet-Delisle, A.-C.-M., París: Courcier
• Gauss, Carl Friedrich (1889) [1801], Untersuchungen über höhere Arithmetik de Carl Friedrich Gauss (en alemán), traducido por Maser, H., Berlín: Springer; Reimpreso en 1965, Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 
• Gauss, Carl Friedrich (1966) [1801], Disquisitiones Arithmeticae , traducido por Clarke, Arthur A., ​​New Haven: Yale, doi :10.12987/9780300194258, ISBN 978-0-300-09473-2; Edición corregida 1986, Nueva York: Springer, doi :10.1007/978-1-4939-7560-0, ISBN 978-0-387-96254-2 
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer, doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 978-3-642-08628-1

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Polinomio ciclotómico", MathWorld
• "Polinomios ciclotómicos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Secuencia OEIS A013595 (Triángulo de coeficientes del polinomio ciclotómico Phi_n(x) (exponentes en orden creciente))
• Secuencia OEIS A013594 (orden más pequeño de polinomio ciclotómico que contiene n o −n como coeficiente)