Función elíptica de Weierstrass

Clase de funciones matemáticas

En matemáticas , las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que adoptan una forma particularmente simple. Llevan el nombre de Karl Weierstrass . Esta clase de funciones también se conoce como funciones ℘ y generalmente se denotan con el símbolo ℘, una escritura singularmente elegante p . Desempeñan un papel importante en la teoría de las funciones elípticas, es decir, funciones meromórficas que son doblemente periódicas . Una función ℘ junto con su derivada se puede utilizar para parametrizar curvas elípticas y generan el campo de funciones elípticas con respecto a una red de período determinada.

Símbolo de la función Weierstrass ${\displaystyle \wp }$

Modelo de Weierstrass -función ${\displaystyle \wp }$

Motivación

Una cúbica de la forma , donde hay números complejos con , no puede parametrizarse racionalmente . ^[1] Sin embargo, uno todavía quiere encontrar una manera de parametrizarlo. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Para el cuádrico ; En el círculo unitario , existe una parametrización (no racional) utilizando la función seno y su derivada la función coseno: ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$

${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

De manera similar se puede parametrizar mediante la función doblemente periódica (ver en la sección "Relación con curvas elípticas"). Esta parametrización tiene el dominio , que topológicamente es equivalente a un toro . ^[2] ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Hay otra analogía con las funciones trigonométricas. Considere la función integral

$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$

${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle s=\arcsin x}$

$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$

^[3] ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

Las funciones elípticas son funciones inversas de las integrales elípticas . En particular, dejemos:

$${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$

^[4]análisis complejosecuaciones diferenciales no linealespropiedad de Painlevépolossingularidades móviles^[5] ${\displaystyle u^{-1}}$ ${\displaystyle \wp }$

Definición

Visualización de la función -con invariantes y en la que el blanco corresponde a un polo, el negro a un cero. ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle g_{2}=1+i}$ ${\displaystyle g_{3}=2-3i}$

Sean dos números complejos que son linealmente independientes y sea la red de período generada por esos números. Entonces la función se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Esta serie converge localmente de manera uniforme y absoluta en el toro complejo . ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

Es común utilizar y en el semiplano superior como generadores de la red . Dividiendo por asigna la red isomórficamente a la red con . Porque se puede sustituir , sin pérdida de generalidad, podemos asumir y luego definir . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$ ${\textstyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ ${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle -\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

Propiedades

• ${\displaystyle \wp }$es una función meromórfica con un polo de orden 2 en cada período en . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$es una función par. Eso significa para todos , lo cual se puede ver de la siguiente manera: ${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

La penúltima igualdad se cumple porque . Dado que la suma converge absolutamente, este reordenamiento no cambia el límite. ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• La derivada de viene dada por: ^[6] ${\displaystyle \wp }$
  $${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$y son doblemente periódicos con los periodos y . ^[6] Esto significa: ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$
  Se sigue por eso y para todos . ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

expansión de Laurent

Dejar . Entonces para la función tiene la siguiente expansión de Laurent ${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle 0<|z|<r}$ ${\displaystyle \wp }$

$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$

$${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$

series de Eisenstein^[6] ${\displaystyle n\geq 3}$

Ecuación diferencial

Establecer y . Entonces la función satisface la ecuación diferencial ^[6] ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$ ${\displaystyle \wp }$

$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$

teorema de Liouville^[6] ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle z=0}$

Invariantes

La parte real del invariante g ₃ en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

La parte imaginaria del invariante g ₃ en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

Los coeficientes de la ecuación diferencial anterior g ₂ y g ₃ se conocen como invariantes . Debido a que dependen de la red, pueden verse como funciones en y . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

La expansión en serie sugiere que g ₂ y g ₃ son funciones homogéneas de grado −4 y −6. Eso es ^[7]

$${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$

$${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$

${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Si y se eligen de tal manera que g 2 _y g 3 _puedan interpretarse como funciones en el semiplano superior . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Dejar . Uno tiene: ^[8] ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

$${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$

$${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$

g ₂g ₃

$${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$

$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$

formas modulares. ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$

Las series de Fourier para y se dan de la siguiente manera: ^[9] ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$

$${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$

$${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$

$${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$$

función divisoranombre ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

discriminante modular

La parte real del discriminante en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

El discriminante modular Δ se define como el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación diferencial anterior:

$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$

grupo modular

$${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$

adbc^[10] ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

Tenga en cuenta que ¿ dónde está la función Dedekind eta ? ^[11] ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$ ${\displaystyle \eta }$

Para conocer los coeficientes de Fourier , consulte Función tau de Ramanujan . ${\displaystyle \Delta }$

Las constantes e 1 , e 2 y e 3

${\displaystyle e_{1}}$, y generalmente se utilizan para indicar los valores de la función en los semiperíodos. ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle \wp }$

$${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$

^[12] ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$, y son las raíces del polinomio cúbico y están relacionadas por la ecuación: ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

$${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$

^[13] ${\displaystyle \Delta }$

$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$

${\displaystyle \wp '}$

Las invariantes y se pueden expresar en términos de estas constantes de la siguiente manera: ^[14] ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$

$${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$

$${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$

${\displaystyle e_{1}}$función lambda modular ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

Relación con las funciones elípticas de Jacobi

Para trabajos numéricos, suele ser conveniente calcular la función elíptica de Weierstrass en términos de las funciones elípticas de Jacobi .

Las relaciones básicas son: ^[15]

$${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$

k ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$

$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$

w es

$${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

Relación con las funciones theta de Jacobi

La función se puede representar mediante las funciones theta de Jacobi : ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$

$${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$

^[16] ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

Relación con curvas elípticas

Considere la incrustación de la curva cúbica en el plano proyectivo complejo.

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Para esta cúbica no existe parametrización racional, si . ^[1] En este caso también se le llama curva elíptica. Sin embargo existe una parametrización en coordenadas homogéneas que utiliza la función -y su derivada : ^[17] ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Ahora el mapa es biyectivo y parametriza la curva elíptica . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$es un grupo abeliano y un espacio topológico , equipado con la topología del cociente .

Se puede demostrar que cada cúbica de Weierstrass está dada de esa manera. Es decir que por cada par existe una red tal que ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$y . ^[18] ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

La afirmación de que las curvas elípticas pueden parametrizarse se conoce como teorema de modularidad . Este es un teorema importante en la teoría de números . Fue parte de la demostración de Andrew Wiles (1995) del último teorema de Fermat . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Teoremas de suma

Vamos , para que . Entonces se tiene: ^[19] ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$

$${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

Así como la fórmula de duplicación: ^[19]

$${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

Estas fórmulas también tienen una interpretación geométrica, si se mira la curva elíptica junto con el mapeo como en la sección anterior. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La estructura del grupo de se traduce en la curva y se puede interpretar geométricamente allí: ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La suma de tres puntos diferentes por pares es cero si y sólo si se encuentran en la misma recta en . ^[20] ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Esto equivale a:

$${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,}$$

^[21] ${\displaystyle \wp (u)=a}$ ${\displaystyle \wp (v)=b}$ ${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

Tipografía

La función elíptica de Weierstrass generalmente se escribe con una letra minúscula ℘ bastante especial, que fue la notación que el propio Weierstrass introdujo en sus conferencias de 1862-1863. ^{[nota al pie 1]}

En informática, la letra ℘ está disponible como \wpen TeX . En Unicode, el punto de código es U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P ( ℘, ℘ ), con el alias más correcto de función elíptica weierstrass . ^{[nota al pie 2]} En HTML , se puede utilizar como escape .℘

Ver también

• Funciones de Weierstrass
• Funciones elípticas de Jacobi
• Funciones elípticas de lemniscata

Notas a pie de página

1. Este símbolo también se utilizó en la versión de las conferencias de Weierstrass publicadas por Schwarz en la década de 1880. La primera edición de Un curso de análisis moderno de ET Whittaker en 1902 también lo utilizó. ^[22]
2. El Consorcio Unicode ha reconocido dos problemas con el nombre de la letra: la letra es, de hecho, minúscula y no es una letra de clase "escrita", como U+1D4C5 𝓅 GUIÓN MATEMÁTICO PEQUEÑO P , sino la letra de la función elíptica de Weierstrass. Unicode agregó el alias como corrección. ^{[23] [24]}

Referencias

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2. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
3. Jeremy Gray (2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 71, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 294, ISBN 978-3-540-32058-6
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8. Apostol, Tom M. (1976), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (en alemán), Nueva York: Springer-Verlag, p. 14, ISBN 0-387-90185-X
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22. teika kazura (17 de agosto de 2017), ¿La letra ℘ Nombre y origen?, MathOverflow , consultado el 30 de agosto de 2018
23. "Anomalías conocidas en los nombres de caracteres Unicode". Nota técnica Unicode n.º 27 . versión 4. Unicode, Inc. 2017-04-10 . Consultado el 20 de julio de 2017 .
24. "NombreAliases-10.0.0.txt". Unicode, Inc. 2017-05-06 . Consultado el 20 de julio de 2017 .

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• ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , 1952, capítulos 20 y 21

enlaces externos

• "Funciones elípticas de Weierstrass", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones elípticas de Weierstrass en Mathworld.
• Capítulo 23, Funciones elípticas y modulares de Weierstrass en DLMF ( Biblioteca digital de funciones matemáticas ) por WP Reinhardt y PL Walker.
• Función P de Weierstrass y su derivada implementada en C por David Dumas