Función tau de Ramanujan

Valores de | τ ( norte ) | para n <16.000 con una escala logarítmica. La línea azul selecciona sólo los valores de n que son múltiplos de 121.

La función tau de Ramanujan , estudiada por Ramanujan  (1916), es la función definida por la siguiente identidad: ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q\phi (q)^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

donde q = exp(2 πiz ) con Im z > 0 , es la función de Euler , η es la función eta de Dedekind y la función Δ( z ) es una forma cúspide holomorfa de peso 12 y nivel 1, conocida como modular discriminante forma (algunos autores, notablemente Apostol , escriben en lugar de ). Aparece en relación con un "término de error" involucrado en contar el número de formas de expresar un número entero como una suma de 24 cuadrados. En Dyson (1972) se dio una fórmula debida a Ian G. Macdonald . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta /(2\pi )^{12}}$ ${\displaystyle \Delta }$

Valores

Los primeros valores de la función tau se dan en la siguiente tabla (secuencia A000594 en OEIS ):

Las conjeturas de Ramanujan

Ramanujan (1916) observó, pero no demostró, las siguientes tres propiedades de τ ( n ) :

• τ ( mn ) = τ ( m ) τ ( n ) si mcd( m , n ) = 1 (lo que significa que τ ( n ) es una función multiplicativa )
• τ ( p ^{r + 1} ) = τ ( p ) τ ( p ^r ) − p ¹¹ τ ( p ^{r − 1} ) para p primo y r > 0 .
• | τ ( pag ) | ≤ 2 p ^11/2 para todos los primos p .

Las dos primeras propiedades fueron demostradas por Mordell (1917) y la tercera, denominada conjetura de Ramanujan , fue demostrada por Deligne en 1974 como consecuencia de su demostración de las conjeturas de Weil (en concreto, la dedujo aplicándolas a un Kuga- variedad Sato).

Congruencias de la función tau

Para k ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y n ∈ _>0 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , la función divisora ​​σ _k ( n ) es la suma de las k -ésimas potencias de los divisores de n . La función tau satisface varias relaciones de congruencia; muchos de ellos pueden expresarse en términos de σ _k ( n ) . Éstos son algunos: ^[1]

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[4]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ for }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[6]

Para p ≠ 23 primo, tenemos ^{[1] [7]}

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}}$^[8]
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.}$

Fórmula explícita

En 1975, Douglas Niebur demostró una fórmula explícita para la función tau de Ramanujan: ^[9]

${\displaystyle \tau (n)=n^{4}\sigma (n)-24\sum _{i=1}^{n-1}i^{2}(35i^{2}-52in+18n^{2})\sigma (i)\sigma (n-i).}$

Conjeturas sobre τ ( n )

Supongamos que f es una nueva forma entera de peso k y que los coeficientes de Fourier a ( n ) son números enteros. Considere el problema:

Dado que f no tiene multiplicación compleja , ¿casi todos los números primos p tienen la propiedad de que a ( p ) ≢ 0 (mod p ) ?

De hecho, la mayoría de los números primos deberían tener esta propiedad y por eso se les llama ordinarios . A pesar de los grandes avances de Deligne y Serre en las representaciones de Galois, que determinan a ( n ) (mod p ) para n coprimo con p , no está claro cómo calcular a ( p ) (mod p ) . El único teorema a este respecto es el famoso resultado de Elkies para curvas elípticas modulares, que garantiza que hay infinitos números primos p tales que a ( p ) = 0 , que por tanto son congruentes con 0 módulo p . No se conocen ejemplos de f no CM con peso mayor que 2 para los cuales a ( p ) ≢ 0 (mod p ) para infinitos números primos p (aunque debería ser cierto para casi todos los p ). Tampoco hay ejemplos conocidos con a ( p ) ≡ 0 (mod p ) para infinitos p . Algunos investigadores habían comenzado a dudar de si a ( p ) ≡ 0 (mod p ) para una infinidad de p . Como prueba, muchos proporcionaron la τ ( p ) de Ramanujan (caso de peso 12). Las únicas soluciones hasta 10 ¹⁰ de la ecuación τ ( p ) ≡ 0 (mod p ) son 2, 3, 5, 7, 2411 y7 758 337 633 (secuencia A007659 en la OEIS ). ^[10]

Lehmer (1947) conjeturó que τ ( n ) ≠ 0 para todo n , afirmación conocida a veces como conjetura de Lehmer. Lehmer verificó la conjetura para n hasta214 928 639 999 (Apóstol 1997, p. 22). La siguiente tabla resume el progreso en la búsqueda de valores sucesivamente mayores de N para los cuales esta condición se cumple para todo n ≤ N.

Función L de Ramanujan

La función L de Ramanujan está definida por

${\displaystyle L(s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$

si y por continuación analítica en caso contrario. Satisface la ecuación funcional ${\displaystyle \Re s>6}$

${\displaystyle {\frac {L(s)\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}={\frac {L(12-s)\Gamma (12-s)}{(2\pi )^{12-s}}},\quad s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-},\,12-s\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$

y tiene el producto Euler

${\displaystyle L(s)=\prod _{p\,{\text{prime}}}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}},\quad \Re s>7.}$

Ramanujan conjeturó que todos los ceros no triviales de tienen parte real igual a . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 6}$

Notas

1. Página 4 de Swinnerton-Dyer 1973
2. Debido a Kolberg 1962
3. Debido a Ashworth 1968
4. Debido a Lahivi
5. Debido a DH Lehmer
6. Debido a Ramanujan 1916
7. Debido a Wilton 1930
8. Debido a J.-P. Serre 1968, Sección 4.5
9. Niebur, Douglas (septiembre de 1975). "Una fórmula para la función $\tau$ de Ramanujan". Revista de Matemáticas de Illinois . 19 (3): 448–449. doi : 10.1215/ijm/1256050746 . ISSN  0019-2082.
10. N. Lygeros y O. Rozier (2010). "Una nueva solución para la ecuación τ ( p ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle \tau (p)\equiv 0{\pmod {p}}} " (PDF) . Diario de secuencias enteras . 13 : Artículo 10.7.4.

Referencias

• Apostol, TM (1997), "Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números", Nueva York: Springer-Verlag 2ª ed.
• Ashworth, MH (1968), Congruencia y propiedades idénticas de formas modulares (D. Phil. Thesis, Oxford)
• Dyson, FJ (1972), "Oportunidades perdidas", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 78 (5): 635–652, doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12971-9 , Zbl  0271.01005
• Kolberg, O. (1962), "Congruencias de la función τ ( n ) de Ramanujan ", Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), señor  0158873, Zbl  0168.29502
• Lehmer, DH (1947), "La desaparición de la función τ (n) de Ramanujan", Duke Math. J. , 14 (2): 429–433, doi :10.1215/s0012-7094-47-01436-1, Zbl  0029.34502
• Lygeros, N. (2010), "Una nueva solución a la ecuación τ(p) ≡ 0 (mod p)" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 13 : Artículo 10.7.4
• Mordell, Louis J. (1917), "Sobre las expansiones empíricas de funciones modulares del Sr. Ramanujan", Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 19 : 117–124, JFM  46.0605.01
• Newman, M. (1972), Una tabla de τ (p) módulo p, p primo, 3 ≤ p ≤ 16067 , Oficina Nacional de Estándares
• Rankin, Robert A. (1988), "Ramanujan's tau-function and its generalizations", en Andrews, George E. (ed.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Illinois, 1987), Boston, MA: Academic Press , págs. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, señor  0938968
• Ramanujan, Srinivasa (1916), "Sobre ciertas funciones aritméticas", trad. Camb. Filos. Soc. , 22 (9): 159–184, SEÑOR  2280861
• Serre, JP. (1968), "Una interpretación de las congruencias relativas a la función τ {\displaystyle \tau } de Ramanujan", Séminaire Delange-Pisot-Poitou , 14
• Swinnerton-Dyer, HPF (1973), "Sobre representaciones l -ádicas y congruencias para coeficientes de formas modulares", en Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (eds.), Funciones modulares de una variable, III , Lecture Notes in Mathematics, vol. 350, págs. 1 a 55, doi :10.1007/978-3-540-37802-0, ISBN 978-3-540-06483-1, SEÑOR  0406931
• Wilton, JR (1930), "Propiedades de congruencia de la función τ ( n ) de Ramanujan", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 31 : 1–10, doi :10.1112/plms/s2-31.1.1