La T-dualidad (abreviatura de dualidad objetivo-espacio ) en física teórica es una equivalencia de dos teorías físicas, que pueden ser teorías cuánticas de campos o teorías de cuerdas . En el ejemplo más simple de esta relación, una de las teorías describe cuerdas que se propagan en un espacio-tiempo con forma de círculo de un radio , mientras que la otra teoría describe cuerdas que se propagan en un espacio-tiempo con forma de círculo de radio proporcional a . La idea de la T-dualidad fue señalada por primera vez por Bala Sathiapalan en un artículo oscuro en 1987. [1] Las dos teorías T-duales son equivalentes en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción se identifican con cantidades en la descripción dual. Por ejemplo, el momento en una descripción toma valores discretos y es igual al número de veces que la cuerda gira alrededor del círculo en la descripción dual.
La idea de la dualidad T puede extenderse a teorías más complicadas, incluidas las teorías de supercuerdas . La existencia de estas dualidades implica que teorías de supercuerdas aparentemente diferentes son en realidad físicamente equivalentes. Esto llevó a la conclusión, a mediados de la década de 1990, de que las cinco teorías de supercuerdas consistentes son simplemente casos límite diferentes de una única teoría de once dimensiones llamada teoría M.
En general, la T-dualidad relaciona dos teorías con diferentes geometrías del espacio-tiempo. De esta manera, la T-dualidad sugiere un posible escenario en el que las nociones clásicas de geometría se rompen en una teoría de física a escala de Planck . [2] Las relaciones geométricas sugeridas por la T-dualidad también son importantes en matemáticas puras . De hecho, según la conjetura SYZ de Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow , la T-dualidad está estrechamente relacionada con otra dualidad llamada simetría especular , que tiene importantes aplicaciones en una rama de las matemáticas llamada geometría algebraica enumerativa .
La dualidad T es un ejemplo particular de una noción general de dualidad en física. El término dualidad se refiere a una situación en la que dos sistemas físicos aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si dos teorías están relacionadas por una dualidad, significa que una teoría puede transformarse de alguna manera para que termine pareciéndose a la otra teoría. Se dice entonces que las dos teorías son duales entre sí bajo la transformación. Dicho de otra manera, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes de los mismos fenómenos.
Al igual que muchas de las dualidades estudiadas en la física teórica, la dualidad T se descubrió en el contexto de la teoría de cuerdas . [3] En la teoría de cuerdas, las partículas no se modelan como puntos de dimensión cero, sino como objetos extendidos unidimensionales llamados cuerdas . La física de las cuerdas se puede estudiar en varios números de dimensiones. Además de las tres dimensiones familiares de la experiencia cotidiana (arriba/abajo, izquierda/derecha, adelante/atrás), las teorías de cuerdas pueden incluir una o más dimensiones compactas que se enrollan en círculos.
Una analogía estándar para esto es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. [4] Si la manguera se ve desde una distancia suficiente, parece tener solo una dimensión, su longitud. Sin embargo, al acercarse a la manguera, se descubre que contiene una segunda dimensión, su circunferencia. Por lo tanto, una hormiga que se arrastrara dentro de ella se movería en dos dimensiones. Estas dimensiones adicionales son importantes en la T-dualidad, que relaciona una teoría en la que las cuerdas se propagan en un círculo de cierto radio con una teoría en la que las cuerdas se propagan en un círculo de radio .
En matemáticas, el número de vueltas de una curva en el plano alrededor de un punto dado es un número entero que representa el número total de veces que la curva recorre el punto en sentido contrario a las agujas del reloj. La noción de número de vueltas es importante en la descripción matemática de la T-dualidad, donde se utiliza para medir las vueltas de las cuerdas alrededor de dimensiones extra compactas .
Por ejemplo, la imagen de abajo muestra varios ejemplos de curvas en el plano, ilustradas en rojo. Se supone que cada curva es cerrada , lo que significa que no tiene puntos finales y se le permite intersectarse a sí misma. Cada curva tiene una orientación dada por las flechas en la imagen. En cada situación, hay un punto distinguido en el plano, ilustrado en negro. El número de vueltas de la curva alrededor de este punto distinguido es igual al número total de vueltas en sentido antihorario que la curva da alrededor de este punto.
Al contar el número total de vueltas, las vueltas en sentido contrario a las agujas del reloj se consideran positivas, mientras que las vueltas en el sentido de las agujas del reloj se consideran negativas . Por ejemplo, si la curva primero da cuatro vueltas alrededor del origen en sentido contrario a las agujas del reloj y luego una vuelta alrededor del origen en el sentido de las agujas del reloj, entonces el número total de vueltas de la curva es tres. Según este esquema, una curva que no recorre en absoluto el punto distinguido tiene un número de vueltas cero, mientras que una curva que recorre el punto en el sentido de las agujas del reloj tiene un número de vueltas negativo. Por lo tanto, el número de vueltas de una curva puede ser cualquier número entero. Las imágenes de arriba muestran curvas con números de vueltas entre −2 y 3:
Las teorías más simples en las que surge la T-dualidad son modelos sigma bidimensionales con espacios objetivo circulares, es decir, bosones libres compactificados . Se trata de teorías cuánticas de campos simples que describen la propagación de cuerdas en un espacio-tiempo imaginario con forma de círculo. Las cuerdas pueden, por tanto, modelarse como curvas en el plano que están confinadas a encontrarse en un círculo, digamos de radio , alrededor del origen . En lo que sigue, se supone que las cuerdas son cerradas (es decir, sin puntos finales).
Denotemos este círculo por . Se puede pensar en este círculo como una copia de la línea real con dos puntos identificados si difieren en un múltiplo de la circunferencia del círculo . De ello se deduce que el estado de una cuerda en un momento dado se puede representar como una función de un único parámetro real . Una función de este tipo se puede desarrollar en una serie de Fourier como
Aquí se denota el número de vueltas de la cuerda alrededor del círculo y se ha destacado el modo constante de la serie de Fourier. Como esta expresión representa la configuración de una cuerda en un tiempo fijo, todos los coeficientes ( y ) también son funciones del tiempo.
Sea α la derivada temporal del modo constante . Esto representa un tipo de momento en la teoría. Se puede demostrar, utilizando el hecho de que las cuerdas consideradas aquí son cerradas, que este momento solo puede tomar valores discretos de la forma para algún entero . En un lenguaje más físico, se dice que el espectro del momento está cuantizado .
En la situación descrita anteriormente, la energía total, o hamiltoniano , de la cuerda viene dada por la expresión
Como los momentos de la teoría están cuantizados, los dos primeros términos de esta fórmula son , y esta expresión no cambia cuando se reemplaza simultáneamente el radio por e intercambia el número de bobinado y el entero . La suma en la expresión para tampoco se ve afectada por estos cambios, por lo que la energía total no cambia. De hecho, esta equivalencia de hamiltonianos desciende a una equivalencia de dos teorías mecánicas cuánticas: una de estas teorías describe cuerdas que se propagan en un círculo de radio , mientras que la otra describe una cuerda que se propaga en un círculo de radio con el momento y los números de bobinado intercambiados. Esta equivalencia de teorías es la manifestación más simple de la T-dualidad.
Hasta mediados de la década de 1990, los físicos que trabajaban en la teoría de cuerdas creían que había cinco versiones distintas de la teoría: tipo I , tipo IIA , tipo IIB y las dos versiones de la teoría de cuerdas heterótica ( SO(32) y E 8 ×E 8 ). Las diferentes teorías permiten diferentes tipos de cuerdas, y las partículas que surgen a bajas energías exhiben diferentes simetrías.
A mediados de los años 1990, los físicos se dieron cuenta de que estas cinco teorías de cuerdas están relacionadas en realidad por dualidades muy no triviales. Una de estas dualidades es la dualidad T. Por ejemplo, se demostró que la teoría de cuerdas de tipo IIA es equivalente a la teoría de cuerdas de tipo IIB a través de la dualidad T y también que las dos versiones de la teoría de cuerdas heterótica están relacionadas por la dualidad T.
La existencia de estas dualidades demostró que las cinco teorías de cuerdas no eran, de hecho, todas teorías distintas. En 1995, en la conferencia sobre teoría de cuerdas de la Universidad del Sur de California , Edward Witten hizo la sorprendente sugerencia de que las cinco teorías eran simplemente límites diferentes de una única teoría ahora conocida como teoría M. [5] La propuesta de Witten se basó en la observación de que las diferentes teorías de supercuerdas están vinculadas por dualidades y el hecho de que las teorías de cuerdas heteróticas de tipo IIA y E 8 × E 8 están estrechamente relacionadas con una teoría gravitacional llamada supergravedad de once dimensiones . Su anuncio condujo a una oleada de trabajo ahora conocida como la segunda revolución de supercuerdas .
En la teoría de cuerdas y la geometría algebraica , el término " simetría especular " se refiere a un fenómeno que implica formas complicadas llamadas variedades de Calabi-Yau . Estas variedades proporcionan una geometría interesante en la que las cuerdas pueden propagarse, y las teorías resultantes pueden tener aplicaciones en la física de partículas . [6] A finales de la década de 1980, se observó que una variedad de Calabi-Yau de este tipo no determina de forma única la física de la teoría. En cambio, se descubre que hay dos variedades de Calabi-Yau que dan lugar a la misma física. [7] Se dice que estas variedades son "espejo" entre sí. Esta dualidad especular es una herramienta computacional importante en la teoría de cuerdas, y ha permitido a los matemáticos resolver problemas difíciles en geometría enumerativa . [8]
Un enfoque para comprender la simetría especular es la conjetura SYZ , sugerida por Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow en 1996. [9] Según la conjetura SYZ, la simetría especular se puede entender dividiendo una variedad Calabi-Yau complicada en partes más simples y considerando los efectos de la T-dualidad en estas partes. [10]
El ejemplo más simple de una variedad de Calabi-Yau es un toro (una superficie con forma de rosquilla). Una superficie de este tipo puede verse como el producto de dos círculos. Esto significa que el toro puede verse como la unión de una colección de círculos longitudinales (como el círculo rojo de la imagen). Hay un espacio auxiliar que dice cómo se organizan estos círculos, y este espacio es en sí mismo un círculo (el círculo rosa). Se dice que este espacio parametriza los círculos longitudinales en el toro. En este caso, la simetría especular es equivalente a la T-dualidad que actúa sobre los círculos longitudinales, cambiando sus radios de a , con la inversa de la tensión de la cuerda.
La conjetura SYZ generaliza esta idea al caso más complicado de las variedades de Calabi-Yau de seis dimensiones, como la ilustrada arriba. Como en el caso de un toro, se puede dividir una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones en partes más simples, que en este caso son 3-toros (objetos tridimensionales que generalizan la noción de un toro) parametrizados por una 3-esfera (una generalización tridimensional de una esfera). [11] La T-dualidad se puede extender desde los círculos a los toros tridimensionales que aparecen en esta descomposición, y la conjetura SYZ afirma que la simetría especular es equivalente a la aplicación simultánea de la T-dualidad a estos toros tridimensionales. [12] De esta manera, la conjetura SYZ proporciona una imagen geométrica de cómo actúa la simetría especular en una variedad de Calabi-Yau.
