Distribución de Weibull

Distribución de probabilidad continua

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Weibull / ˈ w aɪ b ʊ l / es una distribución de probabilidad continua . Modela una amplia gama de variables aleatorias, en gran medida de la naturaleza del tiempo hasta el fallo o el tiempo entre eventos. Algunos ejemplos son las precipitaciones máximas de un día y el tiempo que un usuario pasa en una página web.

La distribución recibe su nombre del matemático sueco Waloddi Weibull , quien la describió en detalle en 1939, ^{[1] [2]} aunque fue identificada por primera vez por René Maurice Fréchet y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir una distribución de tamaño de partícula .

Definición

Parametrización estándar

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria de Weibull es ^{[3] [4]}

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}}$

donde k > 0 es el parámetro de forma y λ > 0 es el parámetro de escala de la distribución. Su función de distribución acumulativa complementaria es una función exponencial estirada . La distribución de Weibull está relacionada con varias otras distribuciones de probabilidad; en particular, interpola entre la distribución exponencial ( k = 1) y la distribución de Rayleigh ( k = 2 y ^[5] ). ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$

Si la cantidad, x, es un "tiempo hasta el fallo", la distribución de Weibull da una distribución para la que la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo. El parámetro de forma , k , es esa potencia más uno, por lo que este parámetro puede interpretarse directamente de la siguiente manera: ^[6]

• Un valor de indica que la tasa de fracaso disminuye con el tiempo (como en el caso del efecto Lindy , que sin embargo corresponde a distribuciones de Pareto ^[7] en lugar de distribuciones de Weibull). Esto sucede si hay una "mortalidad infantil" significativa, o artículos defectuosos que fallan temprano y la tasa de fracaso disminuye con el tiempo a medida que los artículos defectuosos se eliminan de la población. En el contexto de la difusión de innovaciones , esto significa boca a boca negativo: la función de riesgo es una función monótonamente decreciente de la proporción de adoptantes; ${\displaystyle k<1\,}$
• Un valor de indica que la tasa de fallas es constante a lo largo del tiempo. Esto podría sugerir que eventos externos aleatorios están causando la mortalidad o la falla. La distribución de Weibull se reduce a una distribución exponencial; ${\displaystyle k=1\,}$
• Un valor de indica que la tasa de fallos aumenta con el tiempo. Esto sucede si hay un proceso de "envejecimiento" o si hay piezas que tienen más probabilidades de fallar con el paso del tiempo. En el contexto de la difusión de innovaciones , esto significa una comunicación positiva de boca en boca: la función de riesgo es una función monótonamente creciente de la proporción de adoptantes. La función es primero convexa, luego cóncava con un punto de inflexión en . ${\displaystyle k>1\,}$ ${\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,}$

En el campo de la ciencia de los materiales , el parámetro de forma k de una distribución de resistencias se conoce como módulo de Weibull . En el contexto de la difusión de innovaciones , la distribución de Weibull es un modelo de imitación/rechazo "puro".

Parametrizaciones alternativas

Primera alternativa

Las aplicaciones en estadística médica y econometría a menudo adoptan una parametrización diferente. ^{[8] [9]} El parámetro de forma k es el mismo que el anterior, mientras que el parámetro de escala es . En este caso, para x ≥ 0, la función de densidad de probabilidad es ${\displaystyle b=\lambda ^{-k}}$

${\displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},}$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},}$

La función cuantil es

${\displaystyle Q(p;k,b)=\left(-{\frac {1}{b}}\ln(1-p)\right)^{\frac {1}{k}},}$

La función de riesgo es

${\displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},}$

y la media es

${\displaystyle b^{-1/k}\Gamma (1+1/k).}$

Segunda alternativa

También se puede encontrar una segunda parametrización alternativa. ^{[10] [11]} El parámetro de forma k es el mismo que en el caso estándar, mientras que el parámetro de escala λ se reemplaza por un parámetro de tasa β = 1/ λ . Entonces, para x ≥ 0, la función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}}$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;k,\beta )=1-e^{-(\beta x)^{k}},}$

La función cuantil es

${\displaystyle Q(p;k,\beta )={\frac {1}{\beta }}(-\ln(1-p))^{\frac {1}{k}},}$

y la función de riesgo es

${\displaystyle h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}.}$

En las tres parametrizaciones, el riesgo es decreciente para k < 1, creciente para k > 1 y constante para k = 1, en cuyo caso la distribución de Weibull se reduce a una distribución exponencial.

Propiedades

Función de densidad

La forma de la función de densidad de la distribución de Weibull cambia drásticamente con el valor de k . Para 0 < k < 1, la función de densidad tiende a ∞ cuando x se acerca a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k = 1, la función de densidad tiende a 1/ λ cuando x se acerca a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k > 1, la función de densidad tiende a cero cuando x se acerca a cero desde arriba, aumenta hasta su moda y decrece después de ella. La función de densidad tiene pendiente negativa infinita en x = 0 si 0 < k < 1, pendiente positiva infinita en x = 0 si 1 < k < 2 y pendiente nula en x = 0 si k > 2. Para k = 1 la densidad tiene una pendiente negativa finita en x = 0. Para k = 2 la densidad tiene una pendiente positiva finita en x = 0. Cuando k tiende a infinito, la distribución de Weibull converge a una distribución delta de Dirac centrada en x = λ. Además, la asimetría y el coeficiente de variación dependen únicamente del parámetro de forma. Una generalización de la distribución de Weibull es la distribución hiperbolástica de tipo III .

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa para la distribución de Weibull es

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

para x ≥ 0, y F ( x ; k ; λ) = 0 para x < 0.

Si x = λ entonces F ( x ; k ; λ) = 1 −  e ⁻¹ ≈ 0,632 para todos los valores de  k . Viceversa: en F ( x ; k ; λ ) = 0,632 el valor de  x  ≈  λ .

La función cuantil (distribución acumulativa inversa) para la distribución de Weibull es

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

para 0 ≤ p < 1.

La tasa de fallo h (o función de riesgo) viene dada por

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

El tiempo medio entre fallos MTBF es

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}$

Momentos

La función generadora de momentos del logaritmo de una variable aleatoria distribuida según Weibull se da mediante ^[12]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

donde Γ es la función gamma . De manera similar, la función característica de log X está dada por

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

En particular, el n- ésimo momento bruto de X está dado por

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

La media y la varianza de una variable aleatoria de Weibull se pueden expresar como

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

y

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

La asimetría viene dada por

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}$

donde , que también puede escribirse como ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

donde la media se denota por μ y la desviación estándar se denota por σ .

El exceso de curtosis viene dado por

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

donde . El exceso de curtosis también puede escribirse como: ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.}$

Función generadora de momentos

Hay una variedad de expresiones disponibles para la función generadora de momentos de X en sí. Como una serie de potencias , dado que los momentos en bruto ya se conocen, se tiene

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Alternativamente, se puede intentar tratar directamente con la integral.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Si se supone que el parámetro k es un número racional, expresado como k = p / q donde p y q son números enteros, entonces esta integral se puede evaluar analíticamente. ^[13] Con t reemplazado por − t , se encuentra

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

donde G es la función G de Meijer .

Muraleedharan et al. (2007) también obtuvieron la función característica . Muraleedharan y Soares (2014) también obtuvieron la función característica y la función generadora de momentos de la distribución Weibull de 3 parámetros mediante un enfoque directo. harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (help)

Mínimos

Sean variables aleatorias de Weibull independientes e idénticamente distribuidas con parámetro de escala y parámetro de forma . Si el mínimo de estas variables aleatorias es , entonces la distribución de probabilidad acumulada de está dada por ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.}$

Es decir, también se distribuirá Weibull con el parámetro de escala y con el parámetro de forma . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle n^{-1/k}\lambda }$ ${\displaystyle k}$

Trucos de reparametrización

Fijemos algunos . Sea no negativo, y no todos cero, y sean muestras independientes de , entonces ^[14] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})}$ ${\displaystyle g_{1},...,g_{n}}$ ${\displaystyle {\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})}$

• ${\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$
• ${\displaystyle \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)}$.

Entropía de Shannon

La entropía de la información está dada por ^[15]

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . La distribución de Weibull es la distribución de máxima entropía para una variable aleatoria real no negativa con un valor esperado fijo de x ^k igual a λ ^k y un valor esperado fijo de ln( x ^k ) igual a ln( λ ^k ) −  . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Divergencia de Kullback-Leibler

La divergencia de Kullback-Leibler entre dos distribuciones de Weibulll está dada por ^[16]

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$

Estimación de parámetros

Mínimos cuadrados ordinarios utilizando el diagrama de Weibull

Diagrama de Weibull

El ajuste de una distribución de Weibull a los datos se puede evaluar visualmente utilizando un gráfico de Weibull. ^[17] El gráfico de Weibull es un gráfico de la función de distribución acumulativa empírica de los datos en ejes especiales en un tipo de gráfico Q-Q . Los ejes son versus . La razón de este cambio de variables es que la función de distribución acumulativa se puede linealizar: ${\displaystyle {\widehat {F}}(x)}$ ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$ ${\displaystyle \ln(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

que se puede ver que tiene la forma estándar de una línea recta. Por lo tanto, si los datos provienen de una distribución de Weibull, se espera que en un gráfico de Weibull aparezca una línea recta.

Existen varios enfoques para obtener la función de distribución empírica a partir de los datos. Un método consiste en obtener la coordenada vertical de cada punto utilizando

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$,

donde es el rango del punto de datos y es el número de puntos de datos. ^{[18] [19]} Otro estimador común ^[20] es ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.5}{n}}}$.

La regresión lineal también se puede utilizar para evaluar numéricamente la bondad del ajuste y estimar los parámetros de la distribución de Weibull. El gradiente informa directamente sobre el parámetro de forma y también se puede inferir el parámetro de escala. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$

Método de momentos

El coeficiente de variación de la distribución de Weibull depende únicamente del parámetro de forma: ^[21]

${\displaystyle CV^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}.}$

Al equiparar las cantidades de muestra a , la estimación del momento del parámetro de forma se puede leer a partir de una tabla de consulta o un gráfico de versus . Se puede encontrar una estimación más precisa de utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces para resolver ${\displaystyle s^{2}/{\bar {x}}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CV^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}={\frac {s^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}.}$

La estimación del momento del parámetro de escala se puede encontrar entonces utilizando la primera ecuación de momento como

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {\bar {x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{\hat {k}}}\right)}}.}$

Máxima verosimilitud

El estimador de máxima verosimilitud para el parámetro dado es ^[21] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}}$

El estimador de máxima verosimilitud para es la solución para k de la siguiente ecuación ^[22] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

Esta ecuación se define sólo implícitamente, por lo que generalmente se debe resolver por medios numéricos. ${\displaystyle {\widehat {k}}}$ ${\displaystyle k}$

Cuando las muestras observadas son las más grandes de un conjunto de datos de más de muestras, entonces el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro dado es ^[22] ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}$

Además, dada esa condición, el estimador de máxima verosimilitud para es ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

Nuevamente, al ser una función implícita, generalmente se debe resolver por medios numéricos. ${\displaystyle k}$

Aplicaciones

Se utiliza la distribución de Weibull ^{[ cita requerida ]}

Distribución Weibull acumulada ajustada a las precipitaciones máximas de un día utilizando CumFreq , véase también ajuste de distribución ^[23]

Curvas ajustadas para datos de series temporales de producción de petróleo ^[24]

• En el análisis de supervivencia
• En ingeniería de confiabilidad y análisis de fallas
• En ingeniería eléctrica, para representar la sobretensión que se produce en un sistema eléctrico.
• En ingeniería industrial para representar tiempos de fabricación y entrega .
• En la teoría del valor extremo
• En la previsión meteorológica y en la industria de la energía eólica , para describir las distribuciones de la velocidad del viento , la distribución natural a menudo coincide con la forma de Weibull ^[25].
• En ingeniería de sistemas de comunicaciones
  • En sistemas de radar para modelar la dispersión del nivel de las señales recibidas producidas por algunos tipos de interferencias
  • Para modelar canales de desvanecimiento en comunicaciones inalámbricas , ya que el modelo de desvanecimiento de Weibull parece mostrar un buen ajuste a las mediciones experimentales de canales de desvanecimiento.
• En la recuperación de información para modelar los tiempos de permanencia en páginas web. ^[26]
• En seguros generales , para modelar el tamaño de las reclamaciones de reaseguro y el desarrollo acumulativo de las pérdidas por asbestosis .
• En la previsión del cambio tecnológico (también conocido como modelo Sharif-Islam) ^[27]
• En hidrología, la distribución de Weibull se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas de los ríos.
• En el análisis de la curva de declive se modela la curva de la tasa de producción de petróleo de pozos de petróleo de esquisto. ^[24]
• Para describir el tamaño de las partículas generadas por las operaciones de molienda, trituración y trituración , se utiliza la distribución Weibull de 2 parámetros, y en estas aplicaciones a veces se la conoce como distribución Rosin-Rammler. ^[28] En este contexto, predice menos partículas finas que la distribución log-normal y generalmente es más precisa para distribuciones de tamaño de partícula estrechas. ^[29] La interpretación de la función de distribución acumulativa es que es la fracción de masa de partículas con un diámetro menor que , donde es el tamaño medio de partícula y es una medida de la dispersión de tamaños de partícula. ${\displaystyle F(x;k,\lambda )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$
• Al describir nubes de puntos aleatorios (como las posiciones de partículas en un gas ideal): la probabilidad de encontrar la partícula vecina más cercana a una distancia de una partícula dada está dada por una distribución de Weibull con e igual a la densidad de las partículas. ^[30] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle \rho =1/\lambda ^{3}}$
• Para calcular la tasa de efectos de eventos únicos inducidos por radiación a bordo de naves espaciales, se utiliza una distribución Weibull de cuatro parámetros para ajustar los datos de probabilidad de la sección transversal del dispositivo medidos experimentalmente a un espectro de transferencia de energía lineal de partículas . ^[31] El ajuste Weibull se utilizó originalmente debido a la creencia de que los niveles de energía de las partículas se alinean con una distribución estadística, pero esta creencia luego se demostró que era falsa ^{[ cita requerida ]} y el ajuste Weibull continúa utilizándose debido a sus muchos parámetros ajustables, en lugar de una base física demostrada. ^[32]

Distribuciones relacionadas

• Si , entonces la variable tiene una distribución Gumbel (mínima) con parámetro de ubicación y parámetro de escala . Es decir, . ${\displaystyle W\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,k)}$ ${\displaystyle G=\log W}$ ${\displaystyle \mu =\log \lambda }$ ${\displaystyle \beta =1/k}$ ${\displaystyle G\sim \mathrm {Gumbel} _{\min }(\log \lambda ,1/k)}$
• Una distribución de Weibull es una distribución gamma generalizada con ambos parámetros de forma iguales a k .
• La distribución Weibull traducida (o Weibull de 3 parámetros) contiene un parámetro adicional. ^[12] Tiene la función de densidad de probabilidad

  ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,}$

  para y para , donde es el parámetro de forma , es el parámetro de escala y es el parámetro de ubicación de la distribución. value establece un tiempo inicial sin fallas antes de que comience el proceso Weibull regular. Cuando , esto se reduce a la distribución de 2 parámetros. ${\displaystyle x\geq \theta }$ ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )=0}$ ${\displaystyle x<\theta }$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0}$
• La distribución de Weibull se puede caracterizar como la distribución de una variable aleatoria tal que la variable aleatoria ${\displaystyle W}$

  ${\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}}$

  es la distribución exponencial estándar con intensidad 1. ^[12]
• Esto implica que la distribución de Weibull también se puede caracterizar en términos de una distribución uniforme : si se distribuye uniformemente en , entonces la variable aleatoria se distribuye según el método de Weibull con parámetros y . Nótese que aquí es equivalente a lo anterior. Esto conduce a un esquema numérico de fácil implementación para simular una distribución de Weibull. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle -\ln(U)}$ ${\displaystyle X}$
• La distribución de Weibull interpola entre la distribución exponencial con intensidad cuando y una distribución de Rayleigh de moda cuando . ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle k=2}$
• La distribución de Weibull (generalmente suficiente en ingeniería de confiabilidad ) es un caso especial de la distribución de Weibull exponencial de tres parámetros donde el exponente adicional es igual a 1. La distribución de Weibull exponencial admite tasas de fallas unimodales , en forma de bañera ^[33] y monótonas .
• La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución generalizada de valores extremos . Fue en este sentido que la distribución fue identificada por primera vez por Maurice Fréchet en 1927. ^{[34] La} distribución de Fréchet , estrechamente relacionada , llamada así por este trabajo, tiene la función de densidad de probabilidad

  ${\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}$

• La distribución de una variable aleatoria que se define como el mínimo de varias variables aleatorias, cada una con una distribución de Weibull diferente, es una distribución poli-Weibull .
• La distribución Weibull fue aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir distribuciones de tamaño de partículas. Se utiliza ampliamente en el procesamiento de minerales para describir distribuciones de tamaño de partículas en procesos de conminución . En este contexto, la distribución acumulativa está dada por

  ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

  dónde
  • ${\displaystyle x}$¿Es el tamaño de partícula?
  • ${\displaystyle P_{\rm {80}}}$es el percentil 80 de la distribución del tamaño de partícula
  • ${\displaystyle m}$es un parámetro que describe la dispersión de la distribución
• Debido a su disponibilidad en hojas de cálculo , también se utiliza cuando el comportamiento subyacente se modela mejor mediante una distribución de Erlang . ^[35]
• Si entonces ( Distribución exponencial ) ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})}$
• Para los mismos valores de k, la distribución Gamma adquiere formas similares, pero la distribución de Weibull es más platicúrtica .

• Desde el punto de vista de la distribución de recuento estable , se puede considerar como el parámetro de estabilidad de Lévy. Una distribución de Weibull se puede descomponer en una integral de densidad de kernel donde el kernel es una distribución de Laplace o una distribución de Rayleigh : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(x;1,\lambda )}$ ${\displaystyle F(x;2,\lambda )}$

  ${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,F(x;1,\lambda \nu )\left(\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right)\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,F(x;2,{\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0;\end{cases}}}$

  donde es la distribución de conteo estable y es la distribución de volumen estable . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$ ${\displaystyle V_{k}(s)}$

Véase también

• Distribución discreta de Weibull
• Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko
• Distribución logística
• Distribución de Rosin-Rammler para análisis del tamaño de partículas.
• Distribución de Rayleigh
• Distribución de recuento estable

Referencias

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Enlaces externos

• "Distribución de Weibull", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Simplificando la confiabilidad del hardware: información intuitiva sobre la distribución Weibull en menos de 5 minutos (con código Python)
• Mathpages – Análisis de Weibull
• La distribución de Weibull
• Análisis de confiabilidad con Weibull
• Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariadas
• Diagrama de probabilidad de Weibull en línea