Funciones hiperbolásticas

Mathematical functions

Gráfico que describe la función hiperbolástica tipo I con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función hiperbolástica tipo I con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función hiperbolástica tipo II con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función hiperbolástica tipo II con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función hiperbolástica tipo III con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función de distribución acumulativa hiperbolástica de tipo III con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función de densidad de probabilidad hiperbolástica de tipo III con valores de parámetros variables.

Las funciones hiperbolásticas , también conocidas como modelos de crecimiento hiperbolástico , son funciones matemáticas que se utilizan en el modelado estadístico médico . Estos modelos se desarrollaron originalmente para capturar la dinámica de crecimiento de esferas tumorales multicelulares y fueron introducidos en 2005 por Mohammad Tabatabai, David Williams y Zoran Bursac. ^[1] La precisión de las funciones hiperbolásticas en el modelado de problemas del mundo real se debe en parte a su flexibilidad en su punto de inflexión. ^{[1] [2]} Estas funciones se pueden utilizar en una amplia variedad de problemas de modelado, como el crecimiento tumoral, la proliferación de células madre , la cinética farmacéutica, el crecimiento del cáncer, la función de activación sigmoidea en redes neuronales y la progresión o regresión de enfermedades epidemiológicas. ^{[1] [3] [4]}

Las funciones hiperbolásticas pueden modelar tanto curvas de crecimiento como de decaimiento hasta alcanzar la capacidad de carga . Debido a su flexibilidad, estos modelos tienen diversas aplicaciones en el campo médico, con la capacidad de capturar la progresión de la enfermedad con un tratamiento intermedio. Como indican las figuras, las funciones hiperbolásticas pueden ajustarse a una curva sigmoidea indicando que la tasa más lenta ocurre en las etapas tempranas y tardías. ^[5] Además de las formas sigmoideas que se presentan, también puede acomodar situaciones bifásicas donde las intervenciones médicas ralentizan o revierten la progresión de la enfermedad; pero, cuando el efecto del tratamiento se desvanece, la enfermedad comenzará la segunda fase de su progresión hasta alcanzar su asíntota horizontal.

Una de las principales características que tienen estas funciones es que no sólo pueden adaptarse a formas sigmoideas, sino que también pueden modelar patrones de crecimiento bifásico que otras curvas sigmoideas clásicas no pueden modelar adecuadamente. Esta característica distintiva tiene aplicaciones ventajosas en varios campos, entre ellos la medicina, la biología, la economía, la ingeniería, la agronomía y la teoría de sistemas asistidos por ordenador. ^{[6] [7] [8] [9] [10]}

Función H1

La ecuación de velocidad hiperbolástica de tipo I , denotada H1, está dada por

$${\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {P(x)}{M}}\left(M-P\left(x\right)\right)\left(\delta +{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}}}}\right),}$$

donde es cualquier número real y es el tamaño de la población en . El parámetro representa la capacidad de carga, y los parámetros y representan conjuntamente la tasa de crecimiento. El parámetro da la distancia desde una curva sigmoidea simétrica. Resolviendo la ecuación de tasa hiperbolástica de tipo I para se obtiene ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$

$${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha e^{-\delta x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}},}$$

donde es la función seno hiperbólico inverso . Si se desea utilizar la condición inicial , entonces se puede expresar como ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$ ${\displaystyle P\left(x_{0}\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}e^{\delta x_{0}+\theta \operatorname {arsinh} (x_{0})}}$.

Si , entonces se reduce a ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}}$.

En el caso de que se necesite un desplazamiento vertical para dar un mejor ajuste al modelo, se puede agregar el parámetro de desplazamiento , lo que daría como resultado la siguiente fórmula ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha e^{-\delta x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}}+\zeta }$.

La función hiperbolástica de tipo I generaliza la función logística . Si los parámetros , entonces se convertiría en una función logística. Esta función es una función hiperbolástica de tipo I . La función hiperbolástica estándar de tipo I es ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+e^{-x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}}}$.

Función H2

La ecuación de velocidad hiperbolástica de tipo II , denotada por H2, se define como

${\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {\alpha \delta \gamma P^{2}(x)x^{\gamma -1}}{M}}\tanh \left({\frac {M-P(x)}{\alpha P(x)}}\right),}$

donde es la función tangente hiperbólica , es la capacidad de carga, y ambas y determinan conjuntamente la tasa de crecimiento. Además, el parámetro representa la aceleración en el transcurso del tiempo. Resolviendo la función de tasa hiperbolástica de tipo II para se obtiene ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$

${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha \operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x^{\gamma }}\right)}}}$.

Si se desea utilizar la condición inicial , se puede expresar como ${\displaystyle P(x_{0})=P_{0},}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x_{0}^{\gamma }}\right)}}}$.

Si , entonces se reduce a ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} (1)}}}$.

De manera similar, en el caso de que se necesite un desplazamiento vertical para dar un mejor ajuste, se puede utilizar la siguiente fórmula

${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha \operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x^{\gamma }}\right)}}+\zeta }$.

La función hiperbolástica estándar de tipo II se define como

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} \left(e^{-x}\right)}}}$.

Función H3

La ecuación de velocidad hiperbolástica de tipo III se denota por H3 y tiene la forma

${\displaystyle {\frac {dP(t)}{dt}}=\left(M-P\left(t\right)\right)\left(\delta \gamma t^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}t^{2}}}}\right)}$,

donde > 0. El parámetro representa la capacidad de carga, y los parámetros y determinan conjuntamente la tasa de crecimiento. El parámetro representa la aceleración de la escala de tiempo, mientras que el tamaño de representa la distancia desde una curva sigmoidea simétrica. La solución de la ecuación diferencial de tipo III es ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle P(t)=M-\alpha e^{-\delta t^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta t)}}$,

con la condición inicial podemos expresar como ${\displaystyle P\left(t_{0}\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\left(M-P_{0}\right)e^{\delta t_{0}^{\gamma }+\operatorname {arsinh} (\theta t_{0})}}$.

La distribución hiperbolástica de tipo III es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con parámetros de escala > 0 y ≥ 0 y parámetro como parámetro de forma . Cuando el parámetro = 0, la distribución hiperbolástica de tipo III se reduce a la distribución de Weibull . ^[11] La función de distribución acumulativa hiperbolástica de tipo III está dada por ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}1-e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$,

y su función de densidad de probabilidad correspondiente es

${\displaystyle f(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}\left(\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}x^{2}}}}\right)&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$.

La función de riesgo (o tasa de fallo) viene dada por ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\left(x;\delta ,\gamma ,\theta \right)=\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}\theta ^{2}}}}.}$

La función de supervivencia está dada por ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S(x;\delta ,\gamma ,\theta )=e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}.}$

La función de distribución acumulativa hiperbolástica estándar de tipo III se define como

${\displaystyle F\left(x\right)=1-e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}}$,

y su función de densidad de probabilidad correspondiente es

${\displaystyle f(x)=e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$.

Propiedades

Si uno desea calcular el punto en el que la población alcanza un porcentaje de su capacidad de carga , entonces puede resolver la ecuación ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle P(x)=kM}$

para , donde . Por ejemplo, el punto medio se puede encontrar estableciendo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<k<1}$ ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}}$

Aplicaciones

Gráfico hiperbólico 3D de la biomasa del fitoplancton en función de la concentración de nutrientes y el tiempo

Según los investigadores de células madre del Instituto McGowan de Medicina Regenerativa de la Universidad de Pittsburgh, "un modelo más nuevo [llamado tipo hiperbolástico III o] H3 es una ecuación diferencial que también describe el crecimiento celular. Este modelo permite mucha más variación y se ha demostrado que predice mejor el crecimiento". ^[12]

Los modelos de crecimiento hiperbólico H1, H2 y H3 se han aplicado para analizar el crecimiento del carcinoma de Ehrlich sólido utilizando una variedad de tratamientos. ^[13]

En la ciencia animal, ^[14] las funciones hiperbolásticas se han utilizado para modelar el crecimiento de pollos de engorde. ^{[15] [16]} El modelo hiperbolástico de tipo III se utilizó para determinar el tamaño de la herida en recuperación. ^[17]

En el área de la cicatrización de heridas, los modelos hiperbolásticos representan con precisión el curso temporal de la curación. Dichas funciones se han utilizado para investigar las variaciones en la velocidad de curación entre diferentes tipos de heridas y en diferentes etapas del proceso de curación, teniendo en cuenta las áreas de oligoelementos, factores de crecimiento, heridas diabéticas y nutrición. ^{[18] [19]}

Otra aplicación de las funciones hiperbolásticas es en el área del proceso de difusión estocástica , ^[20] cuya función media es una curva hiperbolástica. Se estudian las principales características del proceso y se considera la estimación de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso. ^[21] Para ello, se aplica el algoritmo de optimización metaheurística firefly después de acotar el espacio paramétrico mediante un procedimiento por etapas. Algunos ejemplos basados ​​en trayectorias de muestra simuladas y datos reales ilustran este desarrollo. Una trayectoria de muestra de un proceso de difusión modela la trayectoria de una partícula incrustada en un fluido que fluye y sometida a desplazamientos aleatorios debido a colisiones con otras partículas, lo que se denomina movimiento browniano . ^{[22] [23] [24] [25] [26]} La función hiperbolástica de tipo III se utilizó para modelar la proliferación de células madre embrionarias y mesenquimales adultas ; ^{[27] [28] [29] [30]} y, el modelo mixto hiperbolástico de tipo II se ha utilizado en el modelado de datos de cáncer de cuello uterino . ^[31] Las curvas hiperbólicas pueden ser una herramienta importante para analizar el crecimiento celular, el ajuste de curvas biológicas, el crecimiento del fitoplancton y la tasa de madurez instantánea. ^{[32] [33] [34] [35]}

En ecología y gestión forestal, los modelos hiperbolásticos se han aplicado para modelar la relación entre el DBH y la altura. ^[36]

El modelo hiperbolástico multivariable tipo III se ha utilizado para analizar la dinámica de crecimiento del fitoplancton teniendo en cuenta la concentración de nutrientes. ^[37]

Regresiones hiperbolásticas

Función de distribución acumulativa de hiperbolástica tipo I, logística e hiperbolástica tipo II

PDF de H1, Logística y H2

Las regresiones hiperbolásticas son modelos estadísticos que utilizan funciones hiperbolásticas estándar para modelar una variable de resultado dicotómica o multinomial . El propósito de la regresión hiperbolástica es predecir un resultado utilizando un conjunto de variables explicativas (independientes). Estos tipos de regresiones se utilizan rutinariamente en muchas áreas, incluidas las ciencias médicas, de salud pública, dentales, biomédicas, así como sociales, conductuales y de ingeniería. Por ejemplo, el análisis de regresión binaria se ha utilizado para predecir lesiones endoscópicas en la anemia por deficiencia de hierro . ^[38] Además, la regresión binaria se aplicó para diferenciar entre masas anexiales malignas y benignas antes de la cirugía. ^[39]

La regresión hiperbolástica binaria de tipo I

Sea una variable de resultado binaria que puede asumir uno de dos valores mutuamente excluyentes, éxito o fracaso. Si codificamos el éxito como y el fracaso como , entonces para el parámetro , la probabilidad de éxito hiperbolástica de tipo I con una muestra de tamaño en función del parámetro y el vector de parámetros dado un vector de dimensiones de variables explicativas se define como , donde , viene dada por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=1}$ ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle \theta \geq -1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=(x_{i1},\ x_{i2},\ldots ,\ x_{ip})^{T}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})-\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}}}$.

Las probabilidades de éxito son la relación entre la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso. Para la regresión hiperbolástica binaria de tipo I, las probabilidades de éxito se denotan y se expresan mediante la ecuación ${\displaystyle Odds_{H1}}$

${\displaystyle Odds_{H1}=e^{\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}$.

El logaritmo de se denomina logit de regresión hiperbólica binaria de tipo I. La transformación logit se denota por y se puede escribir como ${\displaystyle Odds_{H1}}$ ${\displaystyle L_{H1}}$

${\displaystyle L_{H1}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} [\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}]}$.

Información de Shannon para la hiperbolástica binaria de tipo I (H1)

La información de Shannon para la variable aleatoria se define como ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle I(y)=-{log}_{b}P(y)}$

donde la base del logaritmo y . Para el resultado binario, es igual a . ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2}$

Para la regresión hiperbolástica binaria de tipo I, la información viene dada por ${\displaystyle I(y)}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=1,\\-log_{b}{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=0\end{cases}}}$,

donde , y son los datos de entrada. Para una muestra aleatoria de resultados binarios de tamaño , la información empírica promedio para H1 hiperbolástica se puede estimar mediante ${\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=1,\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=0\end{cases}}}$,

donde , y son los datos de entrada para la observación. ${\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}$ ${\displaystyle x_{is}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle i^{th}}$

Entropía de información para H1 hiperbolástica

La entropía de la información mide la pérdida de información en un mensaje o señal transmitidos. En aplicaciones de aprendizaje automático, es la cantidad de bits necesarios para transmitir un evento seleccionado aleatoriamente de una distribución de probabilidad. Para una variable aleatoria discreta , la entropía de la información se define como ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}$

donde es la función de masa de probabilidad para la variable aleatoria . ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle Y}$

La entropía de la información es la expectativa matemática de con respecto a la función de masa de probabilidad . La entropía de la información tiene muchas aplicaciones en el aprendizaje automático y la inteligencia artificial, como el modelado de clasificación y los árboles de decisión. Para la hiperbolástica H1, la entropía es igual a ${\displaystyle I(y)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})+(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={log}_{b}(1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})-{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}{log}_{b}(e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}\end{aligned}}}$

La entropía promedio estimada para la hiperbolástica H1 se denota por y se da por ${\displaystyle {\bar {H}}}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{\frac {e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}\ {log}_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} ((Z_{i})})}{1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}]}$

Entropía cruzada binaria para H1 hiperbolástica

La entropía cruzada binaria compara las probabilidades observadas con las predichas. La entropía cruzada binaria promedio para la hiperbolástica H1 se denota por y es igual a ${\displaystyle y\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{(1-y}_{i})log_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})]\end{aligned}}}$

La regresión hiperbolástica binaria de tipo II

La regresión hiperbolástica de tipo II es un método alternativo para el análisis de datos binarios con propiedades robustas. Para la variable de resultado binaria , la probabilidad de éxito hiperbolástica de tipo II es una función de un vector de dimensiones de variables explicativas dado por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}}$,

Para la regresión hiperbolástica binaria de tipo II, las probabilidades de éxito se denotan por y se definen como ${\displaystyle Odds_{H2}}$

${\displaystyle Odds_{H2}={\frac {1}{\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}.}$

La transformación logit viene dada por ${\displaystyle L_{H2}}$

${\displaystyle L_{H2}=-\log {(\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}])}}$

Información de Shannon para la hiperbolástica binaria de tipo II (H2)

Para la regresión hiperbolástica binaria H2, la información de Shannon viene dada por ${\displaystyle I(y)}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=1\\-log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z})}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=0\end{cases}}}$

donde , y son los datos de entrada. Para una muestra aleatoria de resultados binarios de tamaño , la información empírica promedio para H2 hiperbolástica se estima mediante ${\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=1\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z_{i}})}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=0\end{cases}}}$

donde , y son los datos de entrada para la observación. ${\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}$ ${\displaystyle x_{is}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle i^{th}}$

Entropía de información para H2 hiperbolástico

Para el hiperbolástico H2, la entropía de información es igual a ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))+(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&=log_{b}(1+arsinh(e^{-Z}))-{\frac {arsinh(e^{-Z})log_{b}(arsinh(e^{-Z}))}{1+arsinh(e^{-Z})}}\end{aligned}}}$

y la entropía media estimada para H2 hiperbolástico es ${\displaystyle {\bar {H}}}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{\frac {{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})\ {log}_{b}{(arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))}{1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})}}]}$

Entropía cruzada binaria para H2 hiperbolástico

La entropía cruzada binaria promedio para H2 hiperbolástico es ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};\beta ))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};\beta ))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{(1-y}_{i})log_{b}({arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))]\end{aligned}}}$

Estimación de parámetros para la regresión hiperbolástica binaria de tipo I y II

La estimación del vector de parámetros se puede obtener maximizando la función de verosimilitud logarítmica ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}[y_{i}ln(\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))+(1-y_{i})ln(1-\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))]}}$

donde se define de acuerdo con uno de los dos tipos de funciones hiperbolásticas utilizadas. ${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

La regresión hiperbolástica multinomial de tipo I y II

La generalización de la regresión hiperbolástica binaria a la regresión hiperbolástica multinomial tiene una variable de respuesta para el individuo con categorías (es decir, ). Cuando , este modelo se reduce a una regresión hiperbolástica binaria. Para cada , formamos variables indicadoras donde ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y_{i}\in \{1,2,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y_{ij}}$

${\displaystyle y_{ij}={\begin{cases}1&{\text{if }}y_{i}=j,\\0&{\text{if }}y_{i}\neq j\end{cases}}}$,

lo que significa que siempre que la respuesta esté en la categoría o en otro caso. ${\displaystyle y_{ij}=1}$ ${\displaystyle i^{th}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 0}$

Defina el vector de parámetros en un espacio euclidiano -dimensional y . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=(\beta _{j0},\beta _{j1},\ldots ,\beta _{jp})}$ ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=({\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{k-1})^{T}}$

Utilizando la categoría 1 como referencia y como su función de probabilidad correspondiente, la regresión hiperbolástica multinomial de probabilidades tipo I se define como ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}$

y para , ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}$

De manera similar, para la regresión hiperbolástica multinomial de tipo II tenemos

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

y para , ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {arsinh[e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

donde con y . ${\displaystyle \eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=\beta _{s0}+\sum _{l=1}^{p}\beta _{sl}x_{il}}$ ${\displaystyle s=2,\dots ,k}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

La elección de depende de la elección de H1 o H2 hiperbolástico. ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})}$

Información de Shannon para hiperbolásticos multiclase H1 o H2

Para la multiclase , la información de Shannon es ${\displaystyle (j=1,2,\dots ,k)}$ ${\displaystyle I_{j}}$

${\displaystyle I_{j}=-log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))}$.

Para una muestra aleatoria de tamaño , la información multiclase empírica se puede estimar mediante ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I_{j}}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))}}$.

Entropía multiclase en la teoría de la información

Para una variable aleatoria discreta , la entropía de información multiclase se define como ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}$

donde es la función de masa de probabilidad para la variable aleatoria multiclase . ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle Y}$

Para la hiperbolástica H1 o H2, la entropía multiclase es igual a ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}$

La entropía multiclase promedio estimada es igual a ${\displaystyle {\overline {H}}}$

${\displaystyle {\overline {H}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}$

Entropía cruzada multiclase para H1 o H2 hiperbolásticos

La entropía cruzada multiclase compara el resultado multiclase observado con las probabilidades predichas. Para una muestra aleatoria de resultados multiclase de tamaño , la entropía cruzada multiclase promedio para H1 o H2 hiperbolástica se puede estimar mediante ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\overline {C}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[y_{ij}log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}$

Las probabilidades logarítmicas de pertenencia a la categoría frente a la categoría de referencia 1, denotada por , son iguales a ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

${\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=ln[{\frac {\pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}{\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}}]}$

donde y . La matriz de parámetros estimada de la regresión hiperbolástica multinomial se obtiene maximizando la función de verosimilitud logarítmica. Las estimaciones de máxima verosimilitud de la matriz de parámetros son ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}(y_{i1}ln[\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+y_{i2}ln[\pi _{2}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+\ldots +y_{ik}ln[\pi _{k}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})])}}$

Referencias

1. Tabatabai, Mohammad; Williams, David; Bursac, Zoran (2005). "Modelos de crecimiento hiperbolástico: teoría y aplicación". Biología teórica y modelado médico . 2 : 14. doi : 10.1186/1742-4682-2-14 . PMC  1084364. PMID  15799781 .
2. Himali, LP; Xia, Zhiming (2022). "Rendimiento de los modelos de supervivencia en fenómenos socioeconómicos". Revista Vavuniya de Ciencias . 1 (2): 9–19. doi : 10.4038/vjs.v1i2.9 . ISSN  2950-7154.
3. Acton, Q. Ashton (2012). Células sanguíneas: avances en investigación y aplicación: edición de 2012. ScholarlyEditions. ISBN 978-1-4649-9316-9.^{[ página necesaria ]}
4. Wadkin, LE; Orozco-Fuentes, S.; Neganova, I.; Lako, M.; Parker, NG; Shukurov, A. (2020). "Una introducción al modelado matemático de iPSC". Avances recientes en tecnología IPSC . 5 . arXiv : 2010.15493 .
5. Albano, G.; Giorno, V.; Roman-Roman, P.; Torres-Ruiz, F. (2022). "Estudio de un modelo general de crecimiento". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 107 . arXiv : 2402.00882 . Código Bibliográfico :2022CNSNS.10706100A. doi :10.1016/j.cnsns.2021.106100.
6. Neysens, Patricia; Messens, Winy; Gevers, Dirk; Swings, Jean; De Vuyst, Luc (2003). "La cinética bifásica del crecimiento y la producción de bacteriocinas con Lactobacillus amylovorus DCE 471 se produce en condiciones de estrés". Microbiología . 149 (4): 1073–1082. doi : 10.1099/mic.0.25880-0 . PMID  12686649.
7. Chu, Charlene; Han, Christina; Shimizu, Hiromi; Wong, Bonnie (2002). "El efecto de la fructosa, la galactosa y la glucosa en la inducción de la β-galactosidasa en Escherichia coli" (PDF) . Revista de microbiología e inmunología experimental . 2 : 1–5.
8. Tabatabai, MA; Eby, WM; Singh, KP; Bae, S. (2013). "Modelo T de crecimiento y su aplicación en sistemas de inmunodinámica tumoral". Ciencias biológicas matemáticas e ingeniería . 10 (3): 925–938. doi :10.3934/mbe.2013.10.925. PMC 4476034 . PMID  23906156. 
9. Parmoon, Ghasem; Moosavi, Seyed; Poshtdar, Adel; Siadat, Seyed (2020). "Efectos de la toxicidad del cadmio en la germinación de las semillas de sésamo explicados por varios modelos de crecimiento no lineal". Semillas oleaginosas y grasas, cultivos y lípidos . 27 (57): 57. doi : 10.1051/ocl/2020053 .
10. Kronberger, Gabriel; Kammerer, Lucas; Kommenda, Michael (2020). Teoría de Sistemas Asistidos por Computadora – EUROCAST 2019 . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 12013. arXiv : 2107.06131 . doi :10.1007/978-3-030-45093-9. ISBN 978-3-030-45092-2. Número de identificación del sujeto  215791712.
11. Kamar SH, Msallam BS. Estudio comparativo entre los métodos de máxima entropía generalizada y bayesiano para estimar el modelo de crecimiento de Weibull de cuatro parámetros. Journal of Probability and Statistics. 14 de enero de 2020; 2020:1–7.
12. Roehrs T, Bogdan P, Gharaibeh B, et al. (sin fecha). "Heterogeneidad proliferativa en poblaciones de células madre". Laboratorio de imágenes de células vivas, Instituto McGowan de Medicina Regenerativa.
13. Eby, Wayne M.; Tabatabai, Mohammad A.; Bursac, Zoran (2010). "Modelado hiperbolástico del crecimiento tumoral con un tratamiento combinado de yodoacetato y dimetilsulfóxido". BMC Cancer . 10 : 509. doi : 10.1186/1471-2407-10-509 . PMC 2955040 . PMID  20863400. 
14. France, James; Kebreab, Ermias, eds. (2008). Modelado matemático en nutrición animal. Wallingford: CABI. ISBN 9781845933548.
15. Ahmadi, H.; Mottaghitalab, M. (2007). "Modelos hiperbolásticos como una nueva y poderosa herramienta para describir la cinética del crecimiento de los pollos de engorde". Poultry Science . 86 (11): 2461–2465. doi : 10.3382/ps.2007-00086 . PMID  17954598.
16. Tkachuk, SA; Pasnichenko, OS; Savchok, LB (2021). "Aproximación de indicadores de crecimiento y análisis de curvas de crecimiento individuales por dimensiones lineales de huesos tubulares en pollos en dirección de producción de carne durante el período postnatal de ontogénesis". Revista ucraniana de ciencias veterinarias . 12 (4). doi : 10.31548/ujvs2021.04.002 . S2CID  245487460.
17. Choi, Taeyoung; Chin, Seongah (2014). "Nueva síntesis de recuperación de heridas faciales en tiempo real mediante dispersión subsuperficial". The Scientific World Journal . 2014 : 1–8. doi : 10.1155/2014/965036 . PMC 4146479 . PMID  25197721. 
18. Tabatabai, MA; Eby, WM; Singh, KP (2011). "Modelado hiperbolástico de la cicatrización de heridas". Modelado matemático y computacional . 53 (5–6): 755–768. doi : 10.1016/j.mcm.2010.10.013 .
19. Ko, Ung Hyun; Choi, Jongjin; Choung, Jinseung; Moon, Sunghwan; Shin, Jennifer H. (2019). "Miofibroblastos ajustados fisicoquímicamente para la estrategia de cicatrización de heridas". Scientific Reports . 9 (1): 16070. Bibcode :2019NatSR...916070K. doi :10.1038/s41598-019-52523-9. PMC 6831678 . PMID  31690789. 
20. Barrera, Antonio; Román-Román, Patricia; Torres-Ruiz, Francisco (2021). "Modelos hiperbolásticos desde el punto de vista de una ecuación diferencial estocástica". Matemáticas . 9 (16): 1835. doi : 10.3390/math9161835 .
21. Barrera, Antonio; Román-Román, Patricia; Torres-Ruiz, Francisco (2020). "Procesos de difusión para modelos basados ​​en Weibull". Computer Aided Systems Theory – EUROCAST 2019 . Apuntes de clase en informática. Vol. 12013. págs. 204–210. doi :10.1007/978-3-030-45093-9_25. ISBN 978-3-030-45092-2.S2CID215792096  .​
22. Barrera, Antonio; Román-Román, Patricia; Torres-Ruiz, Francisco (2018). "Un proceso de difusión hiperbolástica de tipo I: Estimación de parámetros mediante el algoritmo Firefly". Biosystems . 163 : 11–22. arXiv : 2402.03416 . Bibcode :2018BiSys.163...11B. doi :10.1016/j.biosystems.2017.11.001. PMID  29129822.
23. Barrera, Antonio; Román-Roán, Patricia; Torres-Ruiz, Francisco (2020). "Proceso de difusión hiperbolástica tipo III: Obtención a partir del proceso de difusión generalizado de Weibull". Matemáticas Biociencias e Ingeniería . 17 (1): 814–833. doi : 10.3934/mbe.2020043 . hdl : 10481/58209 . PMID  31731379.
24. Barrera, Antonio; Román-Román, Patricia; Torres-Ruiz, Francisco (2020). "Dos ecuaciones diferenciales estocásticas para modelar el comportamiento de tipo oscilabolástico". Matemáticas . 8 (2): 155. doi : 10.3390/math8020155 . hdl : 10481/61054 .
25. Procesos estocásticos con aplicaciones. 2019. doi : 10.3390/books978-3-03921-729-8 . ISBN 978-3-03921-729-8.
26. Barrera, Antonio; Román-Román, Patricia; Torres-Ruiz, Francisco (2021). "Modelo estocástico de crecimiento T: simulación e inferencia mediante algoritmos metaheurísticos". Matemáticas . 9 (9): 959. doi : 10.3390/math9090959 . hdl : 10481/68288 .
27. Tabatabai, Mohammad A.; Bursac, Zoran; Eby, Wayne M.; Singh, Karan P. (2011). "Modelado matemático de la proliferación de células madre". Ingeniería médica y biológica e informática . 49 (3): 253–262. doi :10.1007/s11517-010-0686-y. PMID  20953843. S2CID  33828764.
28. Eby, Wayne M.; Tabatabai, Mohammad A. (2014). "Métodos de modelado matemático para células madre". Células madre y células madre cancerosas, volumen 12. Vol. 12. págs. 201–217. doi :10.1007/978-94-017-8032-2_18. ISBN 978-94-017-8031-5.
29. Wadkin, LE; Orozco-Fuentes, S.; Neganova, I.; Lako, M.; Shukurov, A.; Parker, NG (2020). "Los recientes avances en el modelado matemático de células madre pluripotentes humanas". SN Applied Sciences . 2 (2): 276. doi : 10.1007/s42452-020-2070-3 . PMC 7391994 . PMID  32803125. 
30. Células madre y células madre cancerosas, volumen 12. Vol. 12. 2014. doi :10.1007/978-94-017-8032-2. ISBN 978-94-017-8031-5.S2CID34446642  .​
31. Tabatabai, Mohammad A.; Kengwoung-Keumo, Jean-Jacques; Eby, Wayne M.; Bae, Sejong; Guemmegne, Juliette T.; Manne, Upender; Fouad, Mona; Partridge, Edward E.; Singh, Karan P. (2014). "Disparidades en las tasas de mortalidad por cáncer de cuello uterino determinadas por el modelo longitudinal hiperbolástico de efectos mixtos tipo II". PLOS ONE . ​​9 (9): e107242. Bibcode :2014PLoSO...9j7242T. doi : 10.1371/journal.pone.0107242 . PMC 4167327 . PMID  25226583. 
32. Veríssimo, André; Paixão, Laura; Neves, Ana; Vinga, Susana (2013). "BGFit: Gestión y ajuste automatizado de curvas de crecimiento biológico". Bioinformática BMC . 14 : 283. doi : 10.1186/1471-2105-14-283 . PMC 3848918 . PMID  24067087. 
33. Tabatabai, MA; Eby, WM; Bae, S.; Singh, KP (2013). "Un modelo multivariable flexible para el crecimiento del fitoplancton". Ciencias biológicas matemáticas e ingeniería . 10 (3): 913–923. doi : 10.3934/mbe.2013.10.913 . PMID  23906155.
34. Yeasmin, Farhana; Daw, Ranadeep; Chakraborty, Bratati (2021). "Una nueva medida de tasa de crecimiento para identificar la curva de crecimiento de Gompertz extendida y el desarrollo de la prueba de bondad de ajuste". Boletín de la Asociación Estadística de Calcuta . 73 (2): 127–145. doi : 10.1177/00080683211037203 .
35. Arif, Samiur (2014). Modelado de la dinámica de poblaciones de células madre (tesis). Old Dominion University. doi :10.25777/thnx-6q07.
36. Eby, Wayne M.; Oyamakin, Samuel O.; Chukwu, Angela U. (2017). "Un nuevo modelo no lineal aplicado a la relación altura-DAP en Gmelina arborea". Ecología y gestión forestal . 397 : 139–149. Código Bibliográfico :2017ForEM.397..139E. doi :10.1016/j.foreco.2017.04.015.
37. Tabatabai, MA; Eby, WM; Bae, S.; Singh, KP (2013). "Un modelo multivariable flexible para el crecimiento del fitoplancton". Ciencias biológicas matemáticas e ingeniería . 10 (3): 913–923. doi : 10.3934/mbe.2013.10.913 . PMID  23906155.
38. Majid, Shahid; Salih, Mohammad; Wasaya, Rozina; Jafri, Wasim (2008). "Predictores de lesiones gastrointestinales en la endoscopia en la anemia por deficiencia de hierro sin síntomas gastrointestinales". BMC Gastroenterology . 8 : 52. doi : 10.1186/1471-230X-8-52 . PMC 2613391 . PMID  18992171. 
39. Timmerman, Dirk; Testa, Antonia C.; Bourne, Tom; Ferrazzi, Enrico; Ameye, Lieveke; Konstantinovic, Maja L.; Van Calster, Ben; Collins, William P.; Vergote, Ignace; Van Huffel, Sabine; Valentin, Lil (2005). "Modelo de regresión logística para distinguir entre la masa anexial benigna y maligna antes de la cirugía: un estudio multicéntrico del International Ovarian Tumor Analysis Group". Revista de Oncología Clínica . 23 (34): 8794–8801. doi : 10.1200/JCO.2005.01.7632 . PMID  16314639.