Distribución de recuento estable

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad , la distribución de conteo estable es el prior conjugado de una distribución estable unilateral . Esta distribución fue descubierta por Stephen Lihn (chino: 藺鴻圖) en su estudio de 2017 sobre las distribuciones diarias del S&P 500 y el VIX . ^[1] La familia de distribuciones estables también se conoce a veces como distribución alfa-estable de Lévy , en honor a Paul Lévy , el primer matemático que la estudió. ^[2]

De los tres parámetros que definen la distribución, el parámetro de estabilidad es el más importante. Las distribuciones de recuento estables tienen . El caso analítico conocido de está relacionado con la distribución VIX (Ver Sección 7 de ^[1] ). Todos los momentos son finitos para la distribución. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

Definición

Su distribución estándar se define como

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),}$

dónde y ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

Su familia de escala de ubicación se define como

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),}$

dónde y​ ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

En la expresión anterior, hay una distribución estable unilateral , ^[3] que se define de la siguiente manera. ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

Sea una variable aleatoria estable estándar cuya distribución se caracterice por , entonces tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{1/\alpha },0),}$

dónde . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Considere la suma de Lévy donde , luego tiene la densidad donde . Conjunto , llegamos sin la constante de normalización. ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

La razón por la que esta distribución se denomina "recuento estable" puede entenderse por la relación . Tenga en cuenta que es el "recuento" de la suma de Lévy. Dada una fija , esta distribución da la probabilidad de dar pasos para recorrer una unidad de distancia. ${\displaystyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$

forma integral

Basado en la forma integral de y , tenemos la forma integral de as ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\cos({\frac {t}{\nu }})\cos({\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt.\\\end{aligned}}}$

Con base en la integral de doble seno anterior, se obtiene la forma integral de la CDF estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\alpha }(x)&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt\,d\nu \\&=1-{\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,{\text{Si}}({\frac {t}{x}})\,dt,\\\end{aligned}}}$

¿Dónde está la función integral seno? ${\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

La representación de Wright

En "Representación en serie", se muestra que la distribución de recuento estable es un caso especial de la función de Wright (consulte la Sección 4 de ^[4] ):

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}}.}$

Esto lleva a la integral de Hankel: (basado en (1.4.3) de ^[5] )

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{Ha}e^{t-(\nu t)^{\alpha }}\,dt,\,}$donde Ha representa un contorno de Hankel .

Derivación alternativa: descomposición lambda

Otro enfoque para derivar la distribución de recuento estable es utilizar la transformada de Laplace de la distribución estable unilateral (Sección 2.4 de ^[1] ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)\,dx=e^{-z^{\alpha }},}$dónde . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Sea , y se puede descomponer la integral del lado izquierdo como una distribución del producto de una distribución estándar de Laplace y una distribución estándar de conteo estable, ${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right)\left({\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )\,d\nu ,}$

dónde . ${\displaystyle z\in {\mathsf {R}}}$

Esto se denomina "descomposición lambda" (consulte la sección 4 de ^[1] ) ya que el LHS fue denominado "distribución lambda simétrica" ​​en los trabajos anteriores de Lihn. Sin embargo, tiene varios nombres más populares, como " distribución de potencia exponencial " o " error generalizado / distribución normal ", a la que a menudo se hace referencia cuando  . También es la función de supervivencia de Weibull en ingeniería de confiabilidad . ${\displaystyle \alpha >1}$

La descomposición Lambda es la base del marco de rendimiento de activos de Lihn bajo la ley estable. El LHS es la distribución de los rendimientos de los activos. En el lado derecho, la distribución de Laplace representa el ruido lepkurtótico y la distribución de conteo estable representa la volatilidad.

Distribución de volumen estable

Una variante de la distribución de recuento estable se denomina distribución de volumen estable . La transformada de Laplace se puede reexpresar en términos de una mezcla gaussiana de (consulte la Sección 6 de ^[4] ). Se deriva de la descomposición lambda anterior mediante un cambio de variable tal que ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$ ${\displaystyle e^{-|z|^{\alpha }}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-(z^{2})^{\alpha /2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\alpha }(s)\,ds,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\alpha }(s)&=\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\frac {2}{\alpha }}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {\alpha }{2}}(2s^{2}),\,\,0<\alpha \leq 2\\&=\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}\left(-{({\sqrt {2}}s)}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

Esta transformación se denomina transmutación de Gauss generalizada ya que generaliza la transmutación de Gauss-Laplace, que equivale a . ${\displaystyle V_{1}(s)=2{\sqrt {2\pi }}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(2s^{2})=s\,e^{-s^{2}/2}}$

Conexión a distribuciones Gamma y Poisson

El parámetro de forma de las Distribuciones Gamma y Poisson está relacionado con el inverso del parámetro de estabilidad de Lévy . La función gamma regularizada superior se puede expresar como una integral incompleta de como ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle Q(s,x)}$ ${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\displaystyle \int _{z}^{\infty }e^{-{u^{\alpha }}}\,du.}$$

Reemplazando con la descomposición y realizando una integral, tenemos: ${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })=\displaystyle \int _{z}^{\infty }\,du\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left(e^{-u/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(e^{-z/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu .}$$

Volviendo a , llegamos a la descomposición de en términos de un recuento estable: ${\displaystyle ({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })}$ ${\displaystyle (s,x)}$ ${\displaystyle Q(s,x)}$

$${\displaystyle Q(s,x)=\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu .\,\,(s>1)}$$

Diferenciando por , llegamos a la fórmula deseada: ${\displaystyle Q(s,x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (s)}}x^{s-1}e^{-x}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[s\,x^{s-1}e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\,\,\,(\nu =t^{s})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};s\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

Esto es en forma de distribución de productos . El término en el RHS está asociado con una distribución de forma de Weibull . Por lo tanto, esta fórmula conecta la distribución de recuento estable con la función de densidad de probabilidad de una distribución Gamma ( aquí ) y la función de masa de probabilidad de una distribución de Poisson ( aquí , ). Y el parámetro de forma puede considerarse inverso al parámetro de estabilidad de Lévy . ${\displaystyle \left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\rightarrow s+1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Conexión con distribuciones Chi y Chi-cuadrado

Se puede demostrar que los grados de libertad en las distribuciones chi y chi-cuadrado están relacionados con . Por lo tanto, la idea original de verlo como un índice entero en la descomposición lambda se justifica aquí. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2/\alpha }$ ${\displaystyle \lambda =2/\alpha }$

Para la distribución chi-cuadrado , es sencillo ya que la distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma , en el sentido de que . Y visto desde arriba, el parámetro de forma de una distribución gamma es . ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {k}{2}},\theta =2\right)}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Para la distribución de chi , comenzamos con su CDF , donde . Diferenciada por , tenemos su función de densidad como ${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle P(s,x)=1-Q(s,x)}$ ${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{k}(x)={\frac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,x^{k-1}e^{\left(-2^{-{\frac {k}{2}}}\,{x^{k}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[k\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{k-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{k}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt,\,\,\,(\nu =2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};k\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

Esta fórmula se conecta a través del término. ${\displaystyle 2/k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\cdot \right)}$

Conexión a distribuciones Gamma generalizadas.

La distribución gamma generalizada es una distribución de probabilidad con dos parámetros de forma , y ​​es el superconjunto de la distribución gamma , la distribución de Weibull , la distribución exponencial y la distribución seminormal . Su CDF tiene el formato . (Nota: utilizamos en lugar de por coherencia y para evitar confusión con .) Diferenciando por , llegamos a la fórmula de distribución de productos: ${\displaystyle P(s,x^{c})=1-Q(s,x^{c})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P(s,x^{c})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{GenGamma}}(x;s,c)&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};sc\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(t^{sc}\right)\,sc\,t^{sc-1}\right]\,dt\,\,(s\geq 1)\end{aligned}}}$

donde denota la PDF de una distribución gamma generalizada, cuya CDF está parametrizada como . Esta fórmula se conecta a través del término. El término es un exponente que representa el segundo grado de libertad en el espacio de parámetros de forma. ${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;s,c)}$ ${\displaystyle P(s,x^{c})}$ ${\displaystyle 1/s}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle sc}$

Esta fórmula es singular para el caso de una distribución de Weibull ya que debe ser una para ; pero para existir, debe ser mayor que uno. Cuando , es una función delta y esta fórmula se vuelve trivial. La distribución de Weibull tiene su forma distinta de descomposición de la siguiente manera. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;1,c)={\text{Weibull}}(x;c)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\rightarrow 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$

Conexión a la distribución Weibull

Para una distribución de Weibull cuyo CDF es , su parámetro de forma es equivalente al parámetro de estabilidad de Lévy . ${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,\,(x>0)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$

Se puede derivar una expresión similar de distribución del producto, de modo que el núcleo sea una distribución de Laplace unilateral o una distribución de Rayleigh . Comienza con la CDF complementaria, que proviene de la descomposición Lambda: ${\displaystyle F(x;1,\sigma )}$ ${\displaystyle F(x;2,{\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle 1-F(x;k,1)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,(1-F(x;1,\nu ))\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,(1-F(x;2,{\sqrt {2}}s))\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

Al tomar la derivada de , obtenemos la forma de distribución del producto de un PDF de distribución de Weibull como ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)}$

${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\text{Laplace}}({\frac {x}{\nu }})\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{\nu }}{\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,{\text{Rayleigh}}({\frac {x}{s}})\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{s}}V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

dónde y . está claro que a partir de los términos y . ${\displaystyle {\text{Laplace}}(x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle {\text{Rayleigh}}(x)=xe^{-x^{2}/2}}$ ${\displaystyle k=\alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$ ${\displaystyle V_{k}(s)}$

Propiedades asintóticas

Para una familia de distribución estable, es esencial comprender sus comportamientos asintóticos. De, ^[3] para pequeño , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow B(\alpha )\,\nu ^{\alpha },{\text{ for }}\nu \rightarrow 0{\text{ and }}B(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

Esto lo confirma . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(0)=0}$

Para grande , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow \nu ^{\frac {\alpha }{2(1-\alpha )}}e^{-A(\alpha )\,\nu ^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}},{\text{ for }}\nu \rightarrow \infty {\text{ and }}A(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

Esto muestra que la cola de decae exponencialmente en el infinito. Cuanto más grande es, más fuerte es la descomposición. ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Esta cola tiene la forma de una distribución gamma generalizada , donde en su parametrización, , y . Por tanto, es equivalente a , cuyo CDF está parametrizado como . ${\displaystyle f(x;a,d,p)}$ ${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$ ${\displaystyle a=A(\alpha )^{-1/p}}$ ${\displaystyle d=1+{\frac {p}{2}}}$ ${\displaystyle {\text{GenGamma}}({\frac {x}{a}};s={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{2}},c=p)}$ ${\displaystyle P\left(s,\left({\frac {x}{a}}\right)^{c}\right)}$

Momentos

El enésimo momento de es el enésimo momento de . Todos los momentos positivos son finitos. Esto en cierto modo resuelve el espinoso tema de los momentos divergentes en la distribución estable. (Ver Sección 2.4 de ^[1] ) ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle -(n+1)}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&=\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )d\nu ={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t^{n+1}}}L_{\alpha }(t)\,dt.\\\end{aligned}}}$

La solución analítica de momentos se obtiene mediante la función de Wright:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha })\,d\nu \\&={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma (n+1)\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\\\end{aligned}}}$

donde (Ver (1.4.28) de ^[5] ) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{\delta }W_{-\nu ,\mu }(-r)\,dr={\frac {\Gamma (\delta +1)}{\Gamma (\nu \delta +\nu +\mu )}},\,\delta >-1,0<\nu <1,\mu >0.}$

Por lo tanto, la media de es ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle m_{1}={\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}}$

La varianza es

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}}$

Y el momento más bajo es aplicando cuando . ${\displaystyle m_{-1}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\frac {x}{y}})\to y\Gamma (x)}$ ${\displaystyle x\to 0}$

El n -ésimo momento de la distribución vol estable es ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}(V_{\alpha })&=2^{-{\frac {n}{2}}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\end{aligned}}}$

Función generadora de momento

El MGF se puede expresar mediante una función Fox-Wright o una función Fox H :

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(s)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}\,s^{n}}{n!}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{}_{1}\Psi _{1}\left[({\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }});(1,1);s\right],\,\,{\text{or}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}H_{1,2}^{1,1}\left[-s{\bigl |}{\begin{matrix}(1-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})\\(0,1);(0,1)\end{matrix}}\right]\\\end{aligned}}}$

Como verificación, en , (ver más abajo) se puede expandir mediante Taylor a través de . ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=(1-4s)^{-{\frac {3}{2}}}}$ ${\displaystyle {}_{1}\Psi _{1}\left[(2,2);(1,1);s\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (2n+2)\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{2}}-n)={\sqrt {\pi }}{\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}}$

Caso analítico conocido: recuento estable cuártico

Cuando , es la distribución de Lévy que es una distribución gamma inversa. Por lo tanto, hay una distribución gamma desplazada de forma 3/2 y escala , ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle L_{1/2}(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{1/2}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-(\nu -\nu _{0})/4\theta },}$

dónde , . ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$

Su media es y su desviación estándar es . Esto se llama "distribución de recuento estable cuártica". La palabra "cuártico" proviene del trabajo anterior de Lihn sobre la distribución lambda ^[6] donde . En esta configuración, muchas facetas de la distribución estable del conteo tienen soluciones analíticas elegantes. ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$ ${\displaystyle \lambda =2/\alpha =4}$

Los p -ésimos momentos centrales son . La CDF es donde se encuentra la función gamma incompleta inferior . Y el MGF lo es . (Ver la Sección 3 de ^[1] ) ${\displaystyle {\frac {2\Gamma (p+3/2)}{\Gamma (3/2)}}4^{p}\theta ^{p}}$ ${\textstyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {3}{2}},{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}\right)}$ ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=e^{s\nu _{0}}(1-4s\theta )^{-{\frac {3}{2}}}}$

Caso especial cuando α → 1

A medida que aumenta, el pico de la distribución se vuelve más agudo. Un caso especial de es cuando . La distribución se comporta como una función delta de Dirac , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha \to 1}(\nu )\to \delta (\nu -1),}$

dónde y . ${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty ,&{\text{if }}x=0\\0,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \int _{0_{-}}^{0_{+}}\delta (x)dx=1}$

Asimismo, la distribución vol estable en también se convierte en una función delta, ${\displaystyle \alpha \to 2}$

${\displaystyle V_{\alpha \to 2}(s)\to \delta (s-{\frac {1}{\sqrt {2}}}).}$

Representación en serie

Con base en la representación en serie de la distribución estable unilateral, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\sin(n\alpha \pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\\end{aligned}}}$.

Esta representación en serie tiene dos interpretaciones:

• Primero, una forma similar de esta serie se dio por primera vez en Pollard (1948), ^[7] y en "Relación con la función de Mittag-Leffler", se afirma que dónde está la transformada de Laplace de la función de Mittag-Leffler . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)={\frac {\alpha ^{2}x^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(x^{\alpha }),}$ ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$
• En segundo lugar, esta serie es un caso especial de la función de Wright : (Ver Sección 1.4 de ^[5] ) ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{x}^{\alpha n}}{n!}}\,\sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.\\\end{aligned}}}$

La prueba se obtiene mediante la fórmula de reflexión de la función Gamma: , que admite el mapeo: en . La representación de Wright conduce a soluciones analíticas para muchas propiedades estadísticas de la distribución de conteo estable y establece otra conexión con el cálculo fraccionario. ${\displaystyle \sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)=\pi /\Gamma (-\alpha n)}$ ${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =0,z=-x^{\alpha }}$ ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

Aplicaciones

La distribución de recuento estable puede representar bastante bien la distribución diaria de VIX. Se plantea la hipótesis de que VIX se distribuye como con y (consulte la Sección 7 de ^[1] ). Por tanto, la distribución de recuento estable es la distribución marginal de primer orden de un proceso de volatilidad. En este contexto, se denomina "piso de volatilidad". En la práctica, el VIX rara vez cae por debajo de 10. Este fenómeno justifica el concepto de "volatilidad mínima". A continuación se muestra una muestra del ajuste: ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$ ${\displaystyle \theta =1.6}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Distribución diaria de VIX y ajuste al recuento estable

Una forma de SDE de reversión a la media se basa en un modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) modificado . Supongamos que es el proceso de volatilidad, tenemos ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}={\frac {\sigma ^{2}}{8\theta }}(6\theta +\nu _{0}-S_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}-\nu _{0}}}\,dW,}$

donde esta el llamado "vol de vol". El "vol de vol" para VIX se llama VVIX , que tiene un valor típico de aproximadamente 85. ^[8] ${\displaystyle \sigma }$

Este SDE es analíticamente manejable y satisface la condición de Feller, por lo que nunca bajaría por debajo de . Pero existe una cuestión sutil entre la teoría y la práctica. Ha habido aproximadamente un 0,6% de probabilidad de que el VIX haya bajado . Esto se llama "desbordamiento". Para solucionarlo, se puede reemplazar el término de raíz cuadrada con , donde proporciona un pequeño canal de fuga para desplazarse ligeramente por debajo de . ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\max(S_{t}-\nu _{0},\delta \nu _{0})}}}$ ${\displaystyle \delta \nu _{0}\approx 0.01\,\nu _{0}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Una lectura extremadamente baja del VIX indica un mercado muy complaciente. Por lo tanto, la condición de desbordamiento tiene cierta importancia: cuando ocurre, generalmente indica la calma antes de la tormenta en el ciclo económico. ${\displaystyle S_{t}<\nu _{0}}$

Generación de variables aleatorias

Como muestra el modelo CIR modificado anterior, se necesita otro parámetro de entrada para simular secuencias de variables aleatorias de conteo estable. El proceso estocástico de reversión a la media toma la forma de ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dS_{t}=\sigma ^{2}\mu _{\alpha }\left({\frac {S_{t}}{\theta }}\right)\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}}}\,dW,}$

que debería producir que se distribuya como . Y es una preferencia especificada por el usuario sobre la rapidez con la que debe cambiar. ${\displaystyle \{S_{t}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta )}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S_{t}}$

Resolviendo la ecuación de Fokker-Planck , la solución para en términos de es ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\left(x{d \over dx}+1\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}{{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[x{d \over dx}\left(\log {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)\right)+1\right]\end{array}}}$

También se puede escribir como una proporción de dos funciones de Wright,

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha })}}\end{array}}}$

Cuando , este proceso se reduce al modelo CIR modificado donde . Este es el único caso especial en el que se trata de una línea recta. ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \mu _{1/2}(x)={\frac {1}{8}}(6-x)}$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$

Del mismo modo, si la distribución asintótica es como , la solución, denotada como se muestra a continuación, es ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mu (x;V_{\alpha })}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu (x;V_{\alpha })&=&\displaystyle -{\frac {W_{-{\frac {\alpha }{2}},-1}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}{W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}}-{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

Cuando , se reduce a un polinomio cuadrático: . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \mu (x;V_{1})=1-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Extensión estable del modelo CIR

Al relajar la rígida relación entre el término y el término anterior, la extensión estable del modelo CIR se puede construir como ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dr_{t}=a\,\left[{\frac {8b}{6}}\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}r_{t}\right)\right]\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW,}$

que se reduce al modelo CIR original en : . Por lo tanto, el parámetro controla la velocidad de reversión de la media, el parámetro de ubicación establece dónde está la media, es el parámetro de volatilidad y es el parámetro de forma de la ley estable. ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle dr_{t}=a\left(b-r_{t}\right)dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$

Resolviendo la ecuación de Fokker-Planck , la solución para la PDF en es ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}p(x)&\propto &\displaystyle \exp \left[\int ^{x}{\frac {dx}{x}}\left(2D\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)-1\right)\right],{\text{ where }}D={\frac {4ab}{3\sigma ^{2}}}\\&=&\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)^{D}\,x^{D-1}\end{array}}}$

Para que esta solución tenga sentido, considere asintóticamente para grandes , la cola de , todavía tiene la forma de una distribución gamma generalizada , donde en su parametrización, , y . Se reduce al modelo CIR original en donde con y ; por eso . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x;a',d,p)}$ ${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$ ${\displaystyle a'={\frac {b}{6}}(D\,A(\alpha ))^{-1/p}}$ ${\displaystyle d=D\left(1+{\frac {p}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle p(x)\propto x^{d-1}e^{-x/a'}}$ ${\displaystyle d={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a'}}={\frac {6}{b}}\left({\frac {D}{4}}\right)={\frac {2a}{\sigma ^{2}}}}$

calculo fraccionario

Relación con la función Mittag-Leffler

De la Sección 4 de ^[9] la transformada inversa de Laplace de la función Mittag-Leffler es ( ) ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\mathcal {L}}^{-1}\{E_{\alpha }(-x)\}(k)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }E_{2\alpha }(-t^{2})\cos(kt)\,dt.}$

Por otro lado, la siguiente relación fue dada por Pollard (1948), ^[7]

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {1}{k^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {1}{k^{1/\alpha }}}\right).}$

Así , obtenemos la relación entre la distribución de recuento estable y la función de Mittag-Leffter: ${\displaystyle k=\nu ^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha ^{2}\nu ^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(\nu ^{\alpha }).}$

Esta relación se puede verificar rápidamente en donde y . Esto conduce al conocido resultado del recuento estable cuártico: ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}(k)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-k^{2}/4}}$ ${\displaystyle k^{2}=\nu }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu )={\frac {\nu ^{1/2}}{4\,\Gamma (2)}}\times {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-\nu /4}={\frac {1}{4\,{\sqrt {\pi }}}}\nu ^{1/2}\,e^{-\nu /4}.}$

Relación con la ecuación de Fokker-Planck fraccional de tiempo

La ecuación ordinaria de Fokker-Planck (FPE) es , donde es el operador espacial de Fokker-Planck, es el coeficiente de difusión , es la temperatura y es el campo externo. El FPE fraccional de tiempo introduce la derivada fraccionaria adicional tal que , donde es el coeficiente de difusión fraccional. ${\displaystyle {\frac {\partial P_{1}(x,t)}{\partial t}}=K_{1}\,{\tilde {L}}_{FP}P_{1}(x,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {L}}_{FP}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {F(x)}{T}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle \,_{0}D_{t}^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle {\frac {\partial P_{\alpha }(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\,_{0}D_{t}^{1-\alpha }{\tilde {L}}_{FP}P_{\alpha }(x,t)}$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$

Dejemos entrar , obtenemos el núcleo para el FPE fraccional de tiempo (Ec. (16) de ^[10] ) ${\displaystyle k=s/t^{\alpha }}$ ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$

${\displaystyle n(s,t)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {t}{s^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {t}{s^{1/\alpha }}}\right)}$

a partir del cual se puede calcular la densidad fraccionaria a partir de una solución ordinaria mediante ${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)}$ ${\displaystyle P_{1}(x,t)}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\int _{0}^{\infty }n\left({\frac {s}{K}},t\right)\,P_{1}(x,s)\,ds,{\text{ where }}K={\frac {K_{\alpha }}{K_{1}}}.}$

Dado que mediante el cambio de variable , la integral anterior se convierte en la distribución del producto con , similar al concepto de "descomposición lambda", y escala de tiempo : ${\displaystyle n({\frac {s}{K}},t)\,ds=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right){\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,d\nu }$ ${\displaystyle \nu t=s^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle t\Rightarrow (\nu t)^{\alpha }}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,P_{1}(x,(\nu t)^{\alpha })\,d\nu .}$

Aquí se interpreta como la distribución de impurezas, expresada en la unidad de , que provoca la difusión anómala . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })}$ ${\displaystyle K^{1/\alpha }}$

Ver también

• Vuelo de Levy
• proceso de levy
• calculo fraccionario
• Difusión anómala
• Función gamma incompleta y distribución gamma.
• distribución de veneno

Referencias

1. Lihn, Stephen (2017). "Una teoría del rendimiento de los activos y la volatilidad bajo una ley estable y una distribución Lambda estable". SSRN  3046732.
2. Paul Lévy, Cálculo de probabilidades 1925
3. Penson, KA; Górska, K. (17 de noviembre de 2010). "Densidades de probabilidad exactas y explícitas para distribuciones estables de Lévy unilaterales". Cartas de revisión física . 105 (21): 210604. arXiv : 1007.0193 . Código bibliográfico : 2010PhRvL.105u0604P. doi :10.1103/PhysRevLett.105.210604. PMID  21231282. S2CID  27497684.
4. Lihn, Stephen (2020). "Distribución de recuento estable para los índices de volatilidad y función característica estable generalizada espacio-temporal". SSRN  3659383.
5. Mathai, AM; Haubold, HJ (2017). Cálculo fraccionario y multivariable . Optimización Springer y sus aplicaciones. vol. 122. Cham: Editorial Internacional Springer. doi :10.1007/978-3-319-59993-9. ISBN 9783319599922.
6. Lihn, Stephen HT (26 de enero de 2017). "De la sonrisa de la volatilidad a la probabilidad neutral del riesgo y la solución de forma cerrada de la función de volatilidad local". SSRN  2906522.
7. Pollard, Harry (1 de diciembre de 1948). "El carácter completamente monótono de la función de Mittag-Leffler Ea (−x)". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 54 (12): 1115-1117. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09132-7 . ISSN  0002-9904.
8. "DUPLICA LA DIVERSIÓN CON el índice VVIX de CBOE" (PDF) . www.cboe.com . Consultado el 9 de agosto de 2019 .
9. Saxena, RK; Matai, AM; Haubold, HJ (1 de septiembre de 2009). "Funciones de Mittag-Leffler y sus aplicaciones". arXiv : 0909.0230 [matemáticas.CA].
10. Barkai, E. (29 de marzo de 2001). "Ecuación, solución y aplicación fraccionaria de Fokker-Planck". Revisión física E. 63 (4): 046118. Código bibliográfico : 2001PhRvE..63d6118B. doi : 10.1103/PhysRevE.63.046118. ISSN  1063-651X. PMID  11308923. S2CID  18112355.

enlaces externos

• R Package 'stabledist' por Diethelm Wuertz, Martin Maechler y miembros del equipo central de Rmetrics. Calcula densidad estable, probabilidad, cuantiles y números aleatorios. Actualizado el 12 de septiembre de 2016.