Distribución gamma

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución gamma es una familia versátil de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continua . ^[1] La distribución exponencial , la distribución de Erlang y la distribución de chi-cuadrado son casos especiales de la distribución gamma. ^[2] Hay dos parametrizaciones equivalentes de uso común:

1. Con un parámetro de forma k y un parámetro de escala θ
2. Con un parámetro de forma y un parámetro de escala inverso , llamado parámetro de velocidad . ${\displaystyle \alpha =k}$ ${\displaystyle \beta =1/\theta }$

En cada una de estas formas, ambos parámetros son números reales positivos.

La distribución tiene aplicaciones importantes en varios campos, incluida la econometría , las estadísticas bayesianas y las pruebas de vida. ^[3] En econometría, la parametrización (k, θ) es común para modelar tiempos de espera, como el tiempo hasta la muerte, donde a menudo toma la forma de una distribución de Erlang para valores enteros k. Las estadísticas bayesianas prefieren la parametrización (α, β), utilizando la distribución gamma como un conjugado previo para varios parámetros de escala inversa, lo que facilita la manejabilidad analítica en los cálculos de distribución posterior. La densidad de probabilidad y las funciones de distribución acumulativa de la distribución gamma varían según la parametrización elegida, y ambas ofrecen información sobre el comportamiento de las variables aleatorias distribuidas en gamma. La distribución gamma es fundamental para modelar una variedad de fenómenos debido a su forma flexible, que puede capturar varias distribuciones estadísticas, incluidas las distribuciones exponencial y chi-cuadrado en condiciones específicas. Sus propiedades matemáticas, como la media, la varianza, la asimetría y los momentos superiores, proporcionan un conjunto de herramientas para el análisis estadístico y la inferencia. Las aplicaciones prácticas de la distribución abarcan varias disciplinas, lo que subraya su importancia en la estadística teórica y aplicada. ^[4]

La distribución gamma es la distribución de probabilidad de máxima entropía (tanto con respecto a una medida base uniforme como a una medida base) para una variable aleatoria X para la cual E [ X ] = kθ = α / β es fija y mayor que cero, y E [ln X ] = ψ ( k ) + ln θ = ψ ( α ) − ln β es fija ( ψ es la función digamma ). ^[5] ${\displaystyle 1/x}$

Definiciones

La parametrización con k y θ parece ser más común en econometría y otros campos aplicados, donde la distribución gamma se utiliza con frecuencia para modelar los tiempos de espera. Por ejemplo, en las pruebas de vida , el tiempo de espera hasta la muerte es una variable aleatoria que se modela con frecuencia con una distribución gamma. Véase Hogg y Craig ^[6] para una motivación explícita.

La parametrización con α y β es más común en las estadísticas bayesianas , donde la distribución gamma se utiliza como una distribución previa conjugada para varios tipos de parámetros de escala inversa (tasa), como el λ de una distribución exponencial o una distribución de Poisson ^[7] – o, en ese sentido, el β de la distribución gamma en sí. La distribución gamma inversa estrechamente relacionada se utiliza como una distribución previa conjugada para parámetros de escala, como la varianza de una distribución normal .

Si k es un entero positivo , entonces la distribución representa una distribución de Erlang , es decir, la suma de k variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente , cada una de las cuales tiene una media de θ .

Caracterización mediante la formaalfay tasaβ

La distribución gamma se puede parametrizar en términos de un parámetro de forma α = k y un parámetro de escala inversa β = 1/ θ , llamado parámetro de tasa . Una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con forma α y tasa β se denota

${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \operatorname {Gamma} (\alpha ,\beta )}$

La función de densidad de probabilidad correspondiente en la parametrización de la tasa de forma es

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}e^{-\beta x}\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ for }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}}$

donde es la función gamma . Para todos los números enteros positivos, . ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}$

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}},}$

¿Dónde está la función gamma incompleta inferior ? ${\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)}$

Si α es un entero positivo (es decir, la distribución es una distribución de Erlang ), la función de distribución acumulativa tiene la siguiente expansión en serie: ^[8]

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}.}$

Caracterización mediante la formaay escalaθ

Una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con forma k y escala θ se denota por

${\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )\equiv \operatorname {Gamma} (k,\theta )}$

Ilustración de la PDF gamma para valores de parámetros sobre k y x con θ establecido en 1, 2, 3, 4, 5 y  6. Se puede ver cada capa θ por sí misma aquí [2] así como por  k [3] y  x [4].

La función de densidad de probabilidad que utiliza la parametrización de forma-escala es

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ for }}x>0{\text{ and }}k,\theta >0.}$

Aquí Γ( k ) es la función gamma evaluada en k .

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada:

${\displaystyle F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}{\Gamma (k)}},}$

¿Dónde está la función gamma incompleta inferior ? ${\displaystyle \gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}$

También se puede expresar de la siguiente manera, si k es un entero positivo (es decir, la distribución es una distribución de Erlang ): ^[8]

${\displaystyle F(x;k,\theta )=1-\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=k}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}.}$

Ambas parametrizaciones son comunes porque cualquiera de ellas puede ser más conveniente dependiendo de la situación.

Propiedades

Media y varianza

La media de la distribución gamma viene dada por el producto de sus parámetros de forma y escala:

${\displaystyle \mu =k\theta =\alpha /\beta }$

La varianza es:

${\displaystyle \sigma ^{2}=k\theta ^{2}=\alpha /\beta ^{2}}$

La raíz cuadrada del parámetro de forma inversa da el coeficiente de variación :

${\displaystyle \sigma /\mu =k^{-0.5}=1/{\sqrt {\alpha }}}$

Oblicuidad

La asimetría de la distribución gamma solo depende de su parámetro de forma, k , y es igual a ${\displaystyle 2/{\sqrt {k}}.}$

Momentos más elevados

El momento bruto n -ésimo viene dado por:

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\theta ^{n}{\frac {\Gamma (k+n)}{\Gamma (k)}}=\theta ^{n}\prod _{i=1}^{n}(k+i-1)\;{\text{ for }}n=1,2,\ldots .}$

Aproximaciones y límites de mediana

Límites y aproximaciones asintóticas a la mediana de la distribución gamma. La región de color cian indica la gran brecha entre los límites inferior y superior publicados antes de 2021.

A diferencia de la moda y la media, que tienen fórmulas fácilmente calculables basadas en los parámetros, la mediana no tiene una ecuación de forma cerrada. La mediana para esta distribución es el valor ν tal que

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}\int _{0}^{\nu }x^{k-1}e^{-x/\theta }dx={\frac {1}{2}}.}$

Un tratamiento riguroso del problema de determinar una expansión asintótica y límites para la mediana de la distribución gamma fue manejado primero por Chen y Rubin, quienes demostraron que (para ) ${\displaystyle \theta =1}$

${\displaystyle k-{\frac {1}{3}}<\nu (k)<k,}$

donde es la media y es la mediana de la distribución. ^[9] Para otros valores del parámetro de escala, la media se escala a , y los límites y aproximaciones de la mediana se escalarían de manera similar por θ . ${\displaystyle \mu (k)=k}$ ${\displaystyle \nu (k)}$ ${\displaystyle {\text{Gamma}}(k,1)}$ ${\displaystyle \mu =k\theta }$

KP Choi encontró los primeros cinco términos de una aproximación asintótica de la mediana en serie de Laurent comparando la mediana con la función de Ramanujan ${\displaystyle \theta }$ . ^[10] Berg y Pedersen encontraron más términos: ^[11]

${\displaystyle \nu (k)=k-{\frac {1}{3}}+{\frac {8}{405k}}+{\frac {184}{25515k^{2}}}+{\frac {2248}{3444525k^{3}}}-{\frac {19006408}{15345358875k^{4}}}-O\left({\frac {1}{k^{5}}}\right)+\cdots }$

Dos asíntotas medianas de la distribución gamma que se demostraron en 2023 como límites (superior sólido rojo e inferior discontinuo rojo), de la de , y una interpolación entre ellas que realiza una aproximación (rojo punteado) que es exacta en k = 1 y tiene un error relativo máximo de aproximadamente 0,6%. La región sombreada en cian es la brecha restante entre los límites superior e inferior (o límites conjeturados), incluidos estos nuevos límites y los límites de la figura anterior. ${\displaystyle \nu (k)\approx 2^{-1/k}(A+k)}$

Gráfico logarítmico-logarítmico de los límites superior (sólido) e inferior (discontinuo) de la mediana de una distribución gamma y las brechas entre ellos. Las regiones verde, amarilla y cian representan la brecha antes del artículo de Lyon de 2021. El verde y el amarillo reducen esa brecha con los límites inferiores que Lyon demostró. Los límites de Lyon demostrados en 2023 reducen aún más el amarillo. Principalmente dentro del amarillo, se trazan límites conjeturados interpolados por funciones racionales de forma cerrada junto con el valor mediano calculado numéricamente (punteado). Existen límites interpolados más estrictos, pero no se trazan, ya que no se resolverían a esta escala.

Las sumas parciales de estas series son buenas aproximaciones para valores k suficientemente altos ; no se representan gráficamente en la figura, que se centra en la región de k bajo que está menos bien aproximada.

Berg y Pedersen también demostraron muchas propiedades de la mediana, mostrando que es una función convexa de k , ^[12] y que el comportamiento asintótico cerca de es (donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ), y que para toda la mediana está acotada por . ^[11] ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \nu (k)\approx e^{-\gamma }2^{-1/k}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k2^{-1/k}<\nu (k)<ke^{-1/3k}}$

En 2021, Gaunt y Merkle proporcionaron un límite superior lineal más cercano, para solamente, ^[13] basándose en el resultado de Berg y Pedersen de que la pendiente de es en todas partes menor que 1: ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \nu (k)}$

${\displaystyle \nu (k)\leq k-1+\log 2~~}$para (con igualdad en ) ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k=1}$

que puede extenderse hasta un límite para todos tomando el máximo con la cuerda que se muestra en la figura, ya que se demostró que la mediana es convexa. ^[12] ${\displaystyle k>0}$

Una aproximación a la mediana que es asintóticamente precisa a un valor k alto y razonable hasta un valor ligeramente inferior se desprende de la transformación de Wilson-Hilferty : ${\displaystyle k=0.5}$

${\displaystyle \nu (k)=k\left(1-{\frac {1}{9k}}\right)^{3}}$

que se vuelve negativo para . ${\displaystyle k<1/9}$

En 2021, Lyon propuso varias aproximaciones de la forma . Conjeturó valores de A y B para los cuales esta aproximación es un límite superior o inferior asintóticamente ajustado para todo . ^[14] En particular, propuso estos límites de forma cerrada, que demostró en 2023: ^[15] ${\displaystyle \nu (k)\approx 2^{-1/k}(A+Bk)}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle \nu _{L\infty }(k)=2^{-1/k}(\log 2-{\frac {1}{3}}+k)\quad }$es un límite inferior, asintóticamente ajustado como ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle \nu _{U}(k)=2^{-1/k}(e^{-\gamma }+k)\quad }$es un límite superior, asintóticamente ajustado como ${\displaystyle k\to 0}$

Lyon también mostró (informalmente en 2021, rigurosamente en 2023) otros dos límites inferiores que no son expresiones de forma cerrada , incluido este que involucra la función gamma , basado en la solución de la expresión integral sustituyendo 1 por : ${\displaystyle e^{-x}}$

${\displaystyle \nu (k)>\left({\frac {2}{\Gamma (k+1)}}\right)^{-1/k}\quad }$(acercándose a la igualdad como ) ${\displaystyle k\to 0}$

y la línea tangente en el punto donde se encontró que la derivada era : ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \nu ^{\prime }(1)\approx 0.9680448}$

${\displaystyle \nu (k)\geq \nu (1)+(k-1)\nu ^{\prime }(1)\quad }$(con igualdad en ) ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \nu (k)\geq \log 2+(k-1)(\gamma -2\operatorname {Ei} (-\log 2)-\log \log 2)}$

donde Ei es la integral exponencial . ^{[14] [15]}

Además, demostró que las interpolaciones entre límites podrían proporcionar aproximaciones excelentes o límites más estrictos a la mediana, incluida una aproximación que es exacta en (donde ) y tiene un error relativo máximo menor al 0,6 %. Las aproximaciones y los límites interpolados son todos de la forma ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \nu (1)=\log 2}$

${\displaystyle \nu (k)\approx {\tilde {g}}(k)\nu _{L\infty }(k)+(1-{\tilde {g}}(k))\nu _{U}(k)}$

donde es una función de interpolación que se ejecuta monótonamente desde 0 en k bajo hasta 1 en k alto , aproximándose a un interpolador ideal o exacto : ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ ${\displaystyle g(k)}$

${\displaystyle g(k)={\frac {\nu _{U}(k)-\nu (k)}{\nu _{U}(k)-\nu _{L\infty }(k)}}}$

Para la función de interpolación más simple considerada, una función racional de primer orden

${\displaystyle {\tilde {g}}_{1}(k)={\frac {k}{b_{0}+k}}}$

El límite inferior más estricto tiene

${\displaystyle b_{0}={\frac {{\frac {8}{405}}+e^{-\gamma }\log 2-{\frac {\log ^{2}2}{2}}}{e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}}-\log 2\approx 0.143472}$

y el límite superior más estricto tiene

${\displaystyle b_{0}={\frac {e^{-\gamma }-\log 2+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {e^{-\gamma }\pi ^{2}}{12}}}}\approx 0.374654}$

Los límites interpolados se representan gráficamente (en su mayoría dentro de la región amarilla) en el gráfico logarítmico que se muestra. Se pueden obtener límites aún más estrictos utilizando diferentes funciones de interpolación, pero no normalmente con parámetros de forma cerrada como estos. ^[14]

Suma

Si X _i tiene una distribución Gamma( k _i , θ ) para i = 1, 2, ..., N (es decir, todas las distribuciones tienen el mismo parámetro de escala θ ), entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{N}k_{i},\theta \right)}$

siempre que todos los X _i sean independientes .

Para los casos en los que los X _i son independientes pero tienen diferentes parámetros de escala, véase Mathai ^[16] o Moschopoulos. ^[17]

La distribución gamma exhibe divisibilidad infinita .

Escalada

Si

${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} (k,\theta ),}$

entonces, para cualquier c > 0 ,

${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} (k,c\,\theta ),}$por funciones generadoras de momentos,

o equivalentemente, si

${\displaystyle X\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,\beta \right)}$(parametrización de la velocidad de forma)

${\displaystyle cX\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\beta }{c}}\right),}$

De hecho, sabemos que si X es una variable aleatoria exponencial con tasa λ , entonces cX es una variable aleatoria exponencial con tasa λ / c ; lo mismo es válido con las variables Gamma (y esto se puede comprobar usando la función generadora de momentos , ver, por ejemplo, estas notas, 10.4-(ii)): la multiplicación por una constante positiva c divide la tasa (o, equivalentemente, multiplica la escala).

Familia exponencial

La distribución gamma es una familia exponencial de dos parámetros con parámetros naturales k − 1 y −1/ θ (equivalentemente, α − 1 y − β ), y estadísticas naturales X y ln X .

Si el parámetro de forma k se mantiene fijo, la familia de distribuciones de un parámetro resultante es una familia exponencial natural .

Expectativa y varianza logarítmica

Se puede demostrar que

${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\ln \beta }$

o equivalentemente,

${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln \theta }$

donde ψ es la función digamma . Asimismo,

${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi ^{(1)}(\alpha )=\psi ^{(1)}(k)}$

¿Dónde está la función trigamma ? ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

Esto se puede derivar utilizando la fórmula de la familia exponencial para la función generadora de momentos de la estadística suficiente , porque una de las estadísticas suficientes de la distribución gamma es ln x .

Entropía de la información

La entropía de la información es

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln p(X)]\\[4pt]&=\operatorname {E} [-\alpha \ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )-(\alpha -1)\ln X+\beta X]\\[4pt]&=\alpha -\ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

En la parametrización k , θ , la entropía de la información está dada por

${\displaystyle \operatorname {H} (X)=k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k).}$

Divergencia de Kullback-Leibler

Ilustración de la divergencia de Kullback–Leibler (KL) para dos PDF gamma. Aquí β = β ₀ + 1 que se establecen en 1, 2, 3, 4, 5 y  6. La asimetría típica de la divergencia de KL es claramente visible.

La divergencia de Kullback-Leibler (divergencia KL) de Gamma( α _p , β _p ) (distribución "verdadera") a partir de Gamma( α _q , β _q ) (distribución "aproximada") se da por ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})\\&{}+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

Escrita utilizando la parametrización k , θ , la divergencia KL de Gamma( k _p , θ _p ) de Gamma( k _q , θ _q ) se da por

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(k_{p},\theta _{p};k_{q},\theta _{q})={}&(k_{p}-k_{q})\psi (k_{p})-\log \Gamma (k_{p})+\log \Gamma (k_{q})\\&{}+k_{q}(\log \theta _{q}-\log \theta _{p})+k_{p}{\frac {\theta _{p}-\theta _{q}}{\theta _{q}}}.\end{aligned}}}$

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de la función de densidad de probabilidad gamma es

${\displaystyle F(s)=(1+\theta s)^{-k}={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}.}$

Distribuciones relacionadas

General

• Sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que siguen una distribución exponencial con parámetro de tasa λ, entonces ~ Gamma(n, λ) donde n es el parámetro de forma y λ es la tasa, y . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum _{i}X_{i}}$ ${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} (n,n*\lambda )}$
• Si X ~ Gamma(1, λ ) (en la parametrización de forma-velocidad), entonces X tiene una distribución exponencial con parámetro de velocidad λ . En la parametrización de forma-escala, X ~ Gamma(1, λ ) tiene una distribución exponencial con parámetro de velocidad 1/ λ .
• Si X ~ Gamma( ν /2, 2) (en la parametrización de forma-escala), entonces X es idéntico a χ ² ( ν ) , la distribución chi-cuadrado con ν grados de libertad. Por el contrario, si Q ~ χ ² ( ν ) y c es una constante positiva, entonces cQ ~ Gamma( ν /2, 2 c ) .
• Si θ = 1/ k , se obtiene la distribución de Schulz-Zimm , que se utiliza principalmente para modelar longitudes de cadenas de polímeros.
• Si k es un entero , la distribución gamma es una distribución de Erlang y es la distribución de probabilidad del tiempo de espera hasta la k -ésima "llegada" en un proceso de Poisson unidimensional con intensidad 1/ θ . Si

${\displaystyle X\sim \Gamma (k\in \mathbf {Z} ,\theta ),\qquad Y\sim \operatorname {Pois} \left({\frac {x}{\theta }}\right),}$

entonces

${\displaystyle P(X>x)=P(Y<k).}$

• Si X tiene una distribución de Maxwell-Boltzmann con parámetro a , entonces

${\displaystyle X^{2}\sim \Gamma \left({\frac {3}{2}},2a^{2}\right).}$

• Si X ~ Gamma( k , θ ) , entonces sigue una distribución exponencial-gamma (abreviada exp-gamma). ^[19] A veces se la denomina distribución log-gamma. ^[20] Las fórmulas para su media y varianza se encuentran en la sección #Expectativa y varianza logarítmicas. ${\textstyle \log X}$
• Si X ~ Gamma( k , θ ) , entonces sigue una distribución gamma generalizada con parámetros p = 2 , d = 2 k , y ^{[ cita requerida ]} . ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\theta }}}$
• De manera más general, si X ~ Gamma( k , θ ) , entonces se sigue una distribución gamma generalizada con parámetros p = 1/ q , d = k / q , y . ${\displaystyle X^{q}}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle a=\theta ^{q}}$
• Si X ~ Gamma( k , θ ) con forma k y escala θ , entonces 1/ X ~ Inv-Gamma( k , θ ⁻¹ ) (consulte Distribución gamma inversa para obtener la derivación).
• Parametrización 1: Si son independientes, entonces , o equivalentemente, ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\theta _{2}X_{1}}{\alpha _{1}\theta _{1}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)}$
• Parametrización 2: Si son independientes, entonces , o equivalentemente, ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}\right)}$
• Si X ~ Gamma( α , θ ) e Y ~ Gamma( β , θ ) se distribuyen independientemente, entonces X /( X + Y ) tiene una distribución beta con parámetros α y β , y X /( X + Y ) es independiente de X + Y , que se distribuye Gamma( α + β , θ ) .
• Si X _i ~ Gamma( α _i , 1) se distribuyen independientemente, entonces el vector ( X ₁ / S , ..., X _n / S ) , donde S = X ₁ + ... + X _n , sigue una distribución de Dirichlet con parámetros α ₁ , ..., α _n .
• Para un valor k grande, la distribución gamma converge a una distribución normal con media μ = kθ y varianza σ ² = kθ ² .
• La distribución gamma es la conjugada previa para la precisión de la distribución normal con media conocida .
• La distribución gamma matricial y la distribución Wishart son generalizaciones multivariadas de la distribución gamma (las muestras son matrices definidas positivas en lugar de números reales positivos).
• La distribución gamma es un caso especial de la distribución gamma generalizada , la distribución gamma entera generalizada y la distribución gaussiana inversa generalizada .
• Entre las distribuciones discretas, la distribución binomial negativa a veces se considera el análogo discreto de la distribución gamma.
• Distribuciones Tweedie : la distribución gamma es un miembro de la familia de modelos de dispersión exponencial Tweedie .
• Distribución seminormal modificada : la distribución Gamma es un miembro de la familia de distribuciones seminormales modificadas . ^[21] La densidad correspondiente es , donde denota la función Psi de Fox–Wright . ${\displaystyle f(x\mid \alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$
• Para la parametrización de forma-escala , si el parámetro de escala donde denota la distribución gamma inversa , entonces la distribución marginal donde denota la distribución Beta prima . ${\displaystyle x|\theta \sim \Gamma (k,\theta )}$ ${\displaystyle \theta \sim IG(b,1)}$ ${\displaystyle IG}$ ${\displaystyle x\sim \beta '(k,b)}$ ${\displaystyle \beta '}$

Gamma compuesta

Si se conoce el parámetro de forma de la distribución gamma, pero se desconoce el parámetro de escala inversa, entonces una distribución gamma para la escala inversa forma una distribución conjugada previa. La distribución compuesta , que resulta de integrar la escala inversa, tiene una solución de forma cerrada conocida como distribución gamma compuesta . ^[22]

Si, en cambio, se conoce el parámetro de forma pero se desconoce la media, y la distribución anterior de la media viene dada por otra distribución gamma, entonces el resultado es una distribución K.

Weibull y recuento estable

La distribución gamma se puede expresar como la distribución del producto de una distribución de Weibull y una forma variante de la distribución de recuento estable . Su parámetro de forma se puede considerar como el inverso del parámetro de estabilidad de Lévy en la distribución de recuento estable: donde es una distribución de recuento estable estándar de forma , y es una distribución de Weibull estándar de forma . ${\displaystyle f(x;k)\,(k>1)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f(x;k)=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{u}}\,W_{k}\left({\frac {x}{u}}\right)\left[ku^{k-1}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{k}}\left(u^{k}\right)\right]\,du,}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha =1/k}$ ${\displaystyle W_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

Estimación de máxima verosimilitud

La función de verosimilitud para N observaciones iid ( x ₁ , ..., x _N ) es

${\displaystyle L(k,\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )}$

a partir de la cual calculamos la función de log-verosimilitud

${\displaystyle \ell (k,\theta )=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\theta }}-Nk\ln \theta -N\ln \Gamma (k)}$

Al encontrar el máximo con respecto a θ tomando la derivada y fijándola igual a cero se obtiene el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ , que es igual a la media de la muestra dividida por el parámetro de forma k : ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {\bar {x}}{k}}}$

Sustituyendo esto en la función de log-verosimilitud se obtiene

${\displaystyle \ell (k)=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}-Nk-Nk\ln \left({\frac {\sum x_{i}}{kN}}\right)-N\ln \Gamma (k)}$

Necesitamos al menos dos muestras: , porque para , la función crece sin límites cuando . Para , se puede verificar que es estrictamente cóncava , utilizando las propiedades de desigualdad de la función poligamma . Encontrar el máximo con respecto a k tomando la derivada y fijándola igual a cero da como resultado ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle \ell (k)}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \ell (k)}$

${\displaystyle \ln k-\psi (k)=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}}$

donde ψ es la función digamma y es la media muestral de ln x . No existe una solución en forma cerrada para k . La función se comporta numéricamente muy bien, por lo que si se desea una solución numérica, se puede encontrar utilizando, por ejemplo, el método de Newton . Se puede encontrar un valor inicial de k utilizando el método de momentos o utilizando la aproximación ${\displaystyle {\overline {\ln x}}}$

${\displaystyle \ln k-\psi (k)\approx {\frac {1}{2k}}\left(1+{\frac {1}{6k+1}}\right)}$

Si lo dejamos

${\displaystyle s=\ln \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}=\ln {\bar {x}}-{\overline {\ln x}}}$

entonces k es aproximadamente

${\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}}$

que está dentro del 1,5% del valor correcto. ^[23] Una forma explícita para la actualización de Newton-Raphson de esta suposición inicial es: ^[24]

${\displaystyle k\leftarrow k-{\frac {\ln k-\psi (k)-s}{{\frac {1}{k}}-\psi ^{\prime }(k)}}.}$

En la estimación de máxima verosimilitud , los valores esperados para x y concuerdan con los promedios empíricos: ${\displaystyle ({\hat {k}},{\hat {\theta }})}$ ${\displaystyle \ln x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {k}}{\hat {\theta }}&={\bar {x}}&&{\text{and}}&\psi ({\hat {k}})+\ln {\hat {\theta }}&={\overline {\ln x}}.\end{aligned}}}$

Advertencia sobre parámetros de forma pequeños

Para los datos, , que se representan en un formato de punto flotante que se desborda a 0 para valores menores que , los logaritmos que se necesitan para la estimación de máxima verosimilitud causarán un error si hay algún desbordamiento. Si asumimos que los datos fueron generados por una distribución gamma con función de distribución acumulativa , entonces la probabilidad de que haya al menos un desbordamiento es: ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F(x;k,\theta )}$

${\displaystyle P({\text{underflow}})=1-(1-F(\varepsilon ;k,\theta ))^{N}}$

Esta probabilidad se acercará a 1 para k pequeño y N grande . Por ejemplo, en , y , . Una solución alternativa es tener los datos en formato logarítmico. ${\displaystyle k=10^{-2}}$ ${\displaystyle N=10^{4}}$ ${\displaystyle \varepsilon =2.25\times 10^{-308}}$ ${\displaystyle P({\text{underflow}})\approx 0.9998}$

Para probar una implementación de un estimador de máxima verosimilitud que toma datos logarítmicos como entrada, es útil poder generar logaritmos sin desbordamiento de variables gamma aleatorias, cuando . Siguiendo la implementación en , esto se puede hacer de la siguiente manera: ^[25] muestrear y de forma independiente. Entonces, la muestra logarítmica requerida es , de modo que . ${\displaystyle k<1}$scipy.stats.loggamma ${\displaystyle Y\sim {\text{Gamma}}(k+1,\theta )}$ ${\displaystyle U\sim {\text{Uniform}}}$ ${\displaystyle Z=\ln(Y)+\ln(U)/k}$ ${\displaystyle \exp(Z)\sim {\text{Gamma}}(k,\theta )}$

Estimadores de forma cerrada

Existen estimadores consistentes de forma cerrada de k y θ que se derivan de la probabilidad de la distribución gamma generalizada . ^[26]

La estimación para la forma k es

${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {N\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N\sum _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}x_{i}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}}}$

y la estimación para la escala θ es

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{N^{2}}}\left(N\sum _{i=1}^{N}x_{i}\ln x_{i}-\sum _{i=1}^{N}x_{i}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}\right)}$

Utilizando la media muestral de x , la media muestral de ln x y la media muestral del producto x ·ln x se simplifican las expresiones a:

${\displaystyle {\hat {k}}={\bar {x}}/{\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\overline {x\ln {x}}}-{\bar {x}}{\overline {\ln {x}}}.}$

Si se utiliza la parametrización de tasa, la estimación de . ${\displaystyle {\hat {\beta }}=1/{\hat {\theta }}}$

Estos estimadores no son estrictamente estimadores de máxima verosimilitud, sino que se denominan estimadores de momento logarítmico de tipo mixto. Sin embargo, tienen una eficiencia similar a la de los estimadores de máxima verosimilitud.

Aunque estos estimadores son consistentes, tienen un pequeño sesgo. Una variante del estimador con corrección de sesgo para la escala θ es

${\displaystyle {\tilde {\theta }}={\frac {N}{N-1}}{\hat {\theta }}}$

Una corrección de sesgo para el parámetro de forma k se da como ^[27]

${\displaystyle {\tilde {k}}={\hat {k}}-{\frac {1}{N}}\left(3{\hat {k}}-{\frac {2}{3}}\left({\frac {\hat {k}}{1+{\hat {k}}}}\right)-{\frac {4}{5}}{\frac {\hat {k}}{(1+{\hat {k}})^{2}}}\right)}$

Error cuadrático medio mínimo bayesiano

Con k conocido y θ desconocido , la función de densidad posterior para theta (usando la escala invariante previa estándar para θ ) es

${\displaystyle P(\theta \mid k,x_{1},\dots ,x_{N})\propto {\frac {1}{\theta }}\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )}$

Denotando

${\displaystyle y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad P(\theta \mid k,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }}$

La integración con respecto a θ se puede realizar utilizando un cambio de variables, revelando que 1/ θ tiene una distribución gamma con parámetros α = Nk , β = y .

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int _{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m)\!}$

Los momentos se pueden calcular tomando la relación ( m por m = 0 )

${\displaystyle \operatorname {E} [x^{m}]={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m}}$

lo que muestra que la estimación de la media ± desviación estándar de la distribución posterior para θ es

${\displaystyle {\frac {y}{Nk-1}}\pm {\sqrt {\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}}.}$

Inferencia bayesiana

Conjugado anterior

En la inferencia bayesiana , la distribución gamma es la conjugada previa de muchas distribuciones de probabilidad: Poisson , exponencial , normal (con media conocida), Pareto , gamma con forma conocida σ , gamma inversa con parámetro de forma conocido y Gompertz con parámetro de escala conocido.

La distribución gamma conjugada a priori es: ^[28]

${\displaystyle p(k,\theta \mid p,q,r,s)={\frac {1}{Z}}{\frac {p^{k-1}e^{-\theta ^{-1}q}}{\Gamma (k)^{r}\theta ^{ks}}},}$

donde Z es la constante de normalización sin solución de forma cerrada. La distribución posterior se puede hallar actualizando los parámetros de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}p'&=p\prod \nolimits _{i}x_{i},\\q'&=q+\sum \nolimits _{i}x_{i},\\r'&=r+n,\\s'&=s+n,\end{aligned}}}$

donde n es el número de observaciones y x _i es la i -ésima observación.

Ocurrencia y aplicaciones

Considere una secuencia de eventos, con el tiempo de espera para cada evento siendo una distribución exponencial con tasa β . Entonces el tiempo de espera para que ocurra el n -ésimo evento es la distribución gamma con forma entera . Esta construcción de la distribución gamma le permite modelar una amplia variedad de fenómenos donde varios subeventos, cada uno tomando tiempo con distribución exponencial, deben suceder en secuencia para que ocurra un evento principal. ^[29] Los ejemplos incluyen el tiempo de espera de eventos de división celular , ^[30] número de mutaciones compensatorias para una mutación dada, ^[31] tiempo de espera hasta que es necesaria una reparación para un sistema hidráulico, ^[32] y así sucesivamente. ${\displaystyle \alpha =n}$

En biofísica, el tiempo de permanencia entre los pasos de un motor molecular como la ATP sintasa es casi exponencial a una concentración constante de ATP, lo que revela que cada paso del motor requiere una única hidrólisis de ATP. Si hubiera n eventos de hidrólisis de ATP, entonces sería una distribución gamma con grado n. ^[33]

La distribución gamma se ha utilizado para modelar el tamaño de las reclamaciones de seguros ^[34] y las precipitaciones. ^[35] Esto significa que las reclamaciones de seguros agregadas y la cantidad de lluvia acumulada en un embalse se modelan mediante un proceso gamma , de forma muy similar a como la distribución exponencial genera un proceso de Poisson .

La distribución gamma también se utiliza para modelar errores en modelos de regresión de Poisson multinivel porque una mezcla de distribuciones de Poisson con tasas distribuidas gamma tiene una distribución de forma cerrada conocida, llamada binomial negativa .

En la comunicación inalámbrica, la distribución gamma se utiliza para modelar el desvanecimiento por trayectos múltiples de la potencia de la señal; ^{[ cita requerida ]} véase también distribución de Rayleigh y distribución de Rician .

En oncología , la distribución por edad de la incidencia del cáncer a menudo sigue la distribución gamma, en la que los parámetros de forma y escala predicen, respectivamente, el número de eventos impulsores y el intervalo de tiempo entre ellos. ^{[36] [37]}

En neurociencia , la distribución gamma se utiliza a menudo para describir la distribución de los intervalos entre picos . ^{[38] [39]}

En la expresión genética bacteriana , el número de copias de una proteína expresada de forma constitutiva a menudo sigue la distribución gamma, donde los parámetros de escala y forma son, respectivamente, el número medio de ráfagas por ciclo celular y el número medio de moléculas de proteína producidas por un solo ARNm durante su vida útil. ^[40]

En genómica , la distribución gamma se aplicó en el paso de llamada de pico (es decir, en el reconocimiento de la señal) en el análisis de datos de ChIP-chip ^[41] y ChIP-seq ^[42] .

En estadística bayesiana, la distribución gamma se utiliza ampliamente como distribución conjugada previa . Es la distribución conjugada previa para la precisión (es decir, la inversa de la varianza) de una distribución normal . También es la distribución conjugada previa para la distribución exponencial .

En filogenética , la distribución gamma es el enfoque más comúnmente utilizado para modelar la variación de la tasa entre sitios ^[43] cuando se utilizan métodos de máxima verosimilitud , bayesianos o de matriz de distancia para estimar árboles filogenéticos. Los análisis filogenéticos que utilizan la distribución gamma para modelar la variación de la tasa estiman un solo parámetro a partir de los datos porque limitan la consideración a distribuciones donde α = β . Esta parametrización significa que la media de esta distribución es 1 y la varianza es 1/ α . Los métodos de máxima verosimilitud y bayesianos suelen utilizar una aproximación discreta a la distribución gamma continua. ^{[44] [45]}

Generación de variables aleatorias

Dada la propiedad de escala anterior, es suficiente generar variables gamma con θ = 1 , ya que luego podemos convertir a cualquier valor de β con una simple división.

Supongamos que deseamos generar variables aleatorias a partir de Gamma( n + δ , 1) , donde n es un entero no negativo y 0 < δ < 1 . Utilizando el hecho de que una distribución Gamma(1, 1) es la misma que una distribución Exp(1) y observando el método de generación de variables exponenciales , concluimos que si U se distribuye uniformemente en (0, 1], entonces −ln U se distribuye Gamma(1, 1) (es decir, muestreo por transformada inversa ). Ahora, utilizando la propiedad de " adición α " de la distribución gamma, desarrollamos este resultado:

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}\ln U_{k}\sim \Gamma (n,1)}$

donde U _k están todos distribuidos uniformemente en (0, 1] e independientes . Todo lo que queda ahora es generar una variable distribuida como Gamma( δ , 1) para 0 < δ < 1 y aplicar la propiedad de " α -adición" una vez más. Esta es la parte más difícil.

^{Devroye [46] : 401–428} analiza en detalle la generación aleatoria de variables gamma y señala que ninguna es uniformemente rápida para todos los parámetros de forma. Para valores pequeños del parámetro de forma, los algoritmos a menudo no son válidos. ^{[46] : 406} Para valores arbitrarios del parámetro de forma, se puede aplicar el método de aceptación-rechazo modificado de Ahrens y Dieter ^{[47], Algoritmo GD (forma} k ≥ 1 ), o el método de transformación ^[48] cuando 0 < k < 1. Véase también el Algoritmo GKM 3 de Cheng y Feast ^[49] o el método de compresión de Marsaglia. ^[50]

La siguiente es una versión del método de aceptación-rechazo de Ahrens-Dieter : ^[47]

1. Generar U , V y W como variables iid uniformes (0, 1).
2. Si entonces y . En caso contrario, y . ${\displaystyle U\leq {\frac {e}{e+\delta }}}$ ${\displaystyle \xi =V^{1/\delta }}$ ${\displaystyle \eta =W\xi ^{\delta -1}}$ ${\displaystyle \xi =1-\ln V}$ ${\displaystyle \eta =We^{-\xi }}$
3. Si es así, vaya al paso 1. ${\displaystyle \eta >\xi ^{\delta -1}e^{-\xi }}$
4. ξ se distribuye como Γ( δ , 1) .

Un resumen de esto es

${\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{\lfloor k\rfloor }\ln U_{i}\right)\sim \Gamma (k,\theta )}$

donde es la parte entera de k , ξ se genera a través del algoritmo anterior con δ = { k } (la parte fraccionaria de k ) y los U _k son todos independientes. ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor k\rfloor }$

Si bien el enfoque anterior es técnicamente correcto, Devroye señala que es lineal en el valor de k y, en general, no es una buena opción. En cambio, recomienda utilizar métodos basados ​​en rechazos o en tablas, según el contexto. ^{[46] : 401–428}

Por ejemplo, el método simple de rechazo de transformación de Marsaglia que se basa en una variable normal X y una variable uniforme U : ^[25]

1. Establecer y . ${\displaystyle d=a-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {9d}}}}$
2. Colocar . ${\displaystyle v=(1+cX)^{3}}$
3. Si y retorna , de lo contrario vuelve al paso 2. ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle \ln U<{\frac {X^{2}}{2}}+d-dv+d\ln v}$ ${\displaystyle dv}$

Con genera un número aleatorio distribuido gamma en el tiempo que es aproximadamente constante con k . La tasa de aceptación depende de k , con una tasa de aceptación de 0,95, 0,98 y 0,99 para k = 1, 2 y 4. Para k < 1 , se puede usar para aumentar k para que sea utilizable con este método. ${\displaystyle 1\leq a=\alpha =k}$ ${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\gamma _{1+\alpha }U^{1/\alpha }}$

En Matlab, los números se pueden generar utilizando la función gamrnd(), que utiliza la representación k, θ.

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Enlaces externos

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• Weisstein, Eric W. "Distribución gamma". MundoMatemático .
• ModelAssist (2017) Usos de la distribución gamma en el modelado de riesgos, incluidos ejemplos aplicados en Excel Archivado el 9 de mayo de 2017 en Wayback Machine .
• Manual de estadística de ingeniería