Distribución beta prima

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución beta prima (también conocida como distribución beta invertida o distribución beta de segundo tipo ^[1] ) es una distribución de probabilidad absolutamente continua . Si tiene una distribución beta , entonces las probabilidades tienen una distribución beta prima. ${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}$

Definiciones

La distribución beta prima se define para con dos parámetros α y β , que tienen la función de densidad de probabilidad : ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}$

donde B es la función Beta .

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}$

donde I es la función beta incompleta regularizada .

El valor esperado, la varianza y otros detalles de la distribución se dan en el recuadro lateral; para , el exceso de curtosis es ${\displaystyle \beta >4}$

${\displaystyle \gamma _{2}=6{\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1)^{2}(\beta -2)}{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}}.}$

Mientras que la distribución beta relacionada es la distribución previa conjugada del parámetro de una distribución de Bernoulli expresada como probabilidad, la distribución beta prima es la distribución previa conjugada del parámetro de una distribución de Bernoulli expresada en probabilidades . La distribución es una distribución de tipo VI de Pearson . ^[1]

La moda de una variable X distribuida como es . Su media es si (si la media es infinita, es decir no tiene media bien definida) y su varianza es si . ${\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}$ ${\displaystyle \beta >1}$ ${\displaystyle \beta \leq 1}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}$ ${\displaystyle \beta >2}$

Para , el k -ésimo momento está dado por ${\displaystyle -\alpha <k<\beta }$ ${\displaystyle E[X^{k}]}$

${\displaystyle E[X^{k}]={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.}$

Porque con esto se simplifica ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k<\beta ,}$

${\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}$

La cdf también se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}}}$

donde es la función hipergeométrica de Gauss ₂ F ₁  . ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

Parametrización alternativa

La distribución beta prima también puede repararetizarse en términos de sus parámetros de media μ > 0 y precisión ν > 0 ( ^[2] p. 36).

Considere la parametrización μ = α /( β -1) y ν = β - 2, es decir, α = μ ( 1 + ν ) y β = 2 + ν . Bajo esta parametrización E[Y] = μ y Var[Y] = μ (1 + μ )/ ν .

Generalización

Se pueden agregar dos parámetros más para formar la distribución beta prima generalizada : ${\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$

• ${\displaystyle p>0}$ forma ( real )
• ${\displaystyle q>0}$escala ( real )

que tiene la función de densidad de probabilidad :

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}$

Con media

${\displaystyle {\frac {q\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {1}{p}}\right)\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{if }}\beta p>1}$

y modo

${\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{if }}\alpha p\geq 1}$

Nótese que si p = q = 1 entonces la distribución beta prima generalizada se reduce a la distribución beta prima estándar .

Esta generalización se puede obtener mediante la siguiente transformación invertible. Si y para , entonces . ${\displaystyle y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x=qy^{1/p}}$ ${\displaystyle q,p>0}$ ${\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$

Distribución gamma compuesta

La distribución gamma compuesta ^[3] es la generalización de la beta prima cuando se añade el parámetro de escala, q , pero donde p  = 1. Se llama así porque se forma mediante la composición de dos distribuciones gamma :

${\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,r)G(r;\beta ,q)\;dr}$

¿Dónde está la pdf gamma con forma y escala inversa ? ${\displaystyle G(x;a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

La moda, la media y la varianza del compuesto gamma se pueden obtener multiplicando la moda y la media en el cuadro de información anterior por q y la varianza por q ² .

Otra forma de expresar la composición es si y , entonces . (Esto proporciona una forma de generar variables aleatorias con distribuciones compuestas gamma o beta prima. Otra es a través de la relación de variables gamma independientes, como se muestra a continuación). ${\displaystyle r\sim G(\beta ,q)}$ ${\displaystyle x\mid r\sim G(\alpha ,r)}$ ${\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,q)}$

Propiedades

• Si entonces . ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}$
• Si , y , entonces . ${\displaystyle Y\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle X=qY^{1/p}}$ ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$ ${\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}$
• ${\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}$
• Si y son dos variables iid, entonces con y , ya que la distribución beta prima es infinitamente divisible. ${\displaystyle X_{1}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}\sim \beta '(\gamma ,\delta )}$ ${\displaystyle \gamma ={\frac {2\alpha (\alpha +\beta ^{2}-2\beta +2\alpha \beta -4\alpha +1)}{(\beta -1)(\alpha +\beta -1)}}}$ ${\displaystyle \delta ={\frac {2\alpha +\beta ^{2}-\beta +2\alpha \beta -4\alpha }{\alpha +\beta -1}}}$
• De manera más general, sean variables iid las que siguen la misma distribución beta prima, es decir , entonces la suma con y . ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}n}$ ${\displaystyle \forall i,1\leq i\leq n,X_{i}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle S=X_{1}+...+X_{n}\sim \beta '(\gamma ,\delta )}$ ${\displaystyle \gamma ={\frac {n\alpha (\alpha +\beta ^{2}-2\beta +n\alpha \beta -2n\alpha +1)}{(\beta -1)(\alpha +\beta -1)}}}$ ${\displaystyle \delta ={\frac {2\alpha +\beta ^{2}-\beta +n\alpha \beta -2n\alpha }{\alpha +\beta -1}}}$

Distribuciones relacionadas

• Si tiene una distribución F , entonces , o equivalentemente, . ${\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )}$ ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\beta }{\alpha }})}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$
• Si entonces . ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle {\frac {X}{1+X}}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}$
• Para la parametrización de la distribución gamma I:
  • Si son independientes, entonces . Tenga en cuenta que todos los parámetros de escala corresponden a sus respectivas distribuciones. ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}}$
• Para la parametrización de la distribución gamma II:
  • Si son independientes, entonces . Son parámetros de velocidad, mientras que es un parámetro de escala. ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}}$
  • Si y , entonces . Son parámetros de velocidad para las distribuciones gamma, pero es el parámetro de escala para la prima beta. ${\displaystyle \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})}$ ${\displaystyle X_{2}\mid \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})}$ ${\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1},1,\beta _{1})}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$
• ${\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)}$La distribución de Dagum
• ${\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)}$la distribución Singh-Maddala .
• ${\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )}$La distribución logística logarítmica .
• La distribución beta prima es un caso especial de la distribución de Pearson tipo 6 .
• Si X tiene una distribución de Pareto con mínimo y parámetro de forma , entonces . ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\dfrac {X}{x_{m}}}-1\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$
• Si X tiene una distribución Lomax , también conocida como distribución Pareto tipo II, con parámetro de forma y parámetro de escala , entonces . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$
• Si X tiene una distribución Pareto tipo IV estándar con parámetro de forma y parámetro de desigualdad , entonces , o equivalentemente, . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X^{\frac {1}{\gamma }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$ ${\displaystyle X\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha ,{\tfrac {1}{\gamma }},1)}$
• La distribución de Dirichlet invertida es una generalización de la distribución beta prima.
• Si , entonces tiene una distribución logística generalizada . En términos más generales, si , entonces tiene una distribución logística generalizada escalada y desplazada . ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \ln X}$ ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$ ${\displaystyle \ln X}$

Notas

1. Johnson y otros (1995), pág.248
2. Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021). "Un nuevo modelo de regresión para variables aleatorias positivas con cola sesgada y larga". Metron . 79 : 33–55. doi :10.1007/s40300-021-00203-y. S2CID  233534544.
3. Dubey, Satya D. (diciembre de 1970). "Distribuciones de compuestos gamma, beta y F". Metrika . 16 : 27–31. doi :10.1007/BF02613934. S2CID  123366328.

Referencias

• Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas , volumen 2 (segunda edición), Wiley. ISBN 0-471-58494-0 
• Bourguignon, M.; Santos-Neto, M.; de Castro, M. (2021), "Un nuevo modelo de regresión para variables aleatorias positivas con cola sesgada y larga", Metron , 79 : 33–55, doi :10.1007/s40300-021-00203-y, S2CID  233534544

• Artículo de MathWorld