Distribución inversa

En teoría de probabilidad y estadística , una distribución inversa es la distribución del recíproco de una variable aleatoria. Las distribuciones inversas surgen en particular en el contexto bayesiano de distribuciones previas y distribuciones posteriores para parámetros de escala . En el álgebra de variables aleatorias , las distribuciones inversas son casos especiales de la clase de distribuciones de razón , en las que la variable aleatoria numeradora tiene una distribución degenerada .

Relación con la distribución original

En general, dada la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X con soporte estrictamente positivo, es posible encontrar la distribución del recíproco, Y = 1 / X . Si la distribución de X es continua con función de densidad f ( x ) y función de distribución acumulativa F ( x ), entonces la función de distribución acumulativa, G ( y ), del recíproco se encuentra observando que

${\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Luego, la función de densidad de Y se encuentra como la derivada de la función de distribución acumulativa:

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).}$

Ejemplos

Distribución recíproca

La distribución recíproca tiene una función de densidad de la forma ^[1]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,}$

donde significa "es proporcional a" . De ello se deduce que la distribución inversa en este caso tiene la forma ${\displaystyle \propto \!\,}$

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

lo cual es nuevamente una distribución recíproca.

Distribución uniforme inversa

Si la variable aleatoria original X se distribuye uniformemente en el intervalo ( a , b ), donde a > 0, entonces la variable recíproca Y = 1 / X tiene la distribución recíproca que toma valores en el rango ( b ⁻¹ , a ⁻¹ ), y la función de densidad de probabilidad en este rango es

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},}$

y es cero en el resto del mundo.

La función de distribución acumulativa del recíproco, dentro del mismo rango, es

${\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.}$

Por ejemplo, si X se distribuye uniformemente en el intervalo (0,1), entonces Y = 1 / X tiene densidad y función de distribución acumulativa cuando ${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$ ${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$ ${\displaystyle y>1.}$

Inversoadistribución

Sea X una variable aleatoria distribuida en t con k grados de libertad . Entonces su función de densidad es

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

La densidad de Y = 1 / X es

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Con k = 1, las distribuciones de X y 1/  X son idénticas ( X se distribuye entonces según Cauchy (0,1)). Si k > 1, entonces la distribución de 1/  X es bimodal . ^{[ cita requerida ]}

Distribución normal recíproca

Si la variable sigue una distribución normal , entonces la inversa o recíproca sigue una distribución normal recíproca: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

Gráfica de la densidad de la inversa de la distribución normal estándar

Si la variable X sigue una distribución normal estándar , entonces Y  = 1/ X sigue una distribución normal estándar recíproca , de cola pesada y bimodal , ^[2] con modas en y densidad ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

y los momentos de primer orden y de orden superior no existen. ^[2] Para tales distribuciones inversas y para distribuciones de razón , todavía se pueden definir probabilidades para intervalos, que se pueden calcular mediante simulación de Monte Carlo o, en algunos casos, utilizando la transformación de Geary-Hinkley. ^[3]

Sin embargo, en el caso más general de una función recíproca desplazada , para seguir una distribución normal general, entonces las estadísticas de media y varianza existen en un sentido de valor principal , si la diferencia entre el polo y la media es de valor real. La media de esta variable aleatoria transformada ( distribución normal desplazada recíproca ) es entonces de hecho la función de Dawson escalada : ^[4] ${\displaystyle 1/(p-B)}$ ${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

Por el contrario, si el desplazamiento es puramente complejo, la media existe y es una función de Faddeeva escalada , cuya expresión exacta depende del signo de la parte imaginaria, . En ambos casos, la varianza es una función simple de la media. ^[5] Por lo tanto, la varianza debe considerarse en un sentido de valor principal si es real, mientras que existe si la parte imaginaria de es distinta de cero. Obsérvese que estas medias y varianzas son exactas, ya que no recurren a la linealización de la razón. La covarianza exacta de dos razones con un par de polos diferentes y está disponible de manera similar. ^[6] El caso de la inversa de una variable normal compleja , desplazada o no, exhibe características diferentes. ^[4] ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$ ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle p-\mu }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle B}$

Distribución exponencial inversa

Si es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetro de tasa , entonces tiene la siguiente función de distribución acumulativa: para . Nótese que el valor esperado de esta variable aleatoria no existe. La distribución exponencial recíproca se utiliza en el análisis de sistemas de comunicación inalámbrica con desvanecimiento. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle Y=1/X}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}}$ ${\displaystyle y>0}$

Distribución de Cauchy inversa

Si X es una variable aleatoria distribuida de Cauchy ( μ , σ ), entonces 1 / X es una variable aleatoria de Cauchy ( μ / C , σ / C ) donde C = μ ² + σ ² .

Distribución F inversa

Si X es una variable aleatoria distribuida F ( ν ₁ , ν ₂ ) , entonces 1 / X es una variable aleatoria F ( ν ₂ , ν ₁ ).

Recíproco de la distribución binomial

Si se distribuye según una distribución binomial con número de ensayos y probabilidad de éxito , no se conoce una forma cerrada de la distribución recíproca. Sin embargo, podemos calcular la media de esta distribución. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}$

Se conoce una aproximación asintótica para los momentos no centrales de la distribución recíproca. ^[7]

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

donde O() y o() son las funciones de orden o grande y pequeño y es un número real. ${\displaystyle a}$

Recíproco de la distribución triangular

Para una distribución triangular con límite inferior a , límite superior b y modo c , donde a  <  b y a  ≤  c  ≤  b , la media del recíproco está dada por

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}}$

y la varianza por

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}}$.

Ambos momentos del recíproco sólo se definen cuando el triángulo no cruza el cero, es decir, cuando a , b y c son todos positivos o todos negativos.

Otras distribuciones inversas

Otras distribuciones inversas incluyen

distribución de chi-cuadrado inverso

distribución gamma inversa

distribución de Wishart inversa

distribución gamma de matriz inversa

Aplicaciones

Las distribuciones inversas se utilizan ampliamente como distribuciones previas en la inferencia bayesiana para parámetros de escala.

Véase también

• Media armónica
• Distribución de proporciones
• Distribuciones autorrecíprocas

Referencias

1. Hamming RW (1970) "Sobre la distribución de números" Archivado el 29 de octubre de 2013 en Wayback Machine , The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625
2. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Distribuciones univariadas continuas, volumen 1. Wiley. pág. 171. ISBN 0-471-58495-9.
3. Hayya, Jack ; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (julio de 1975). "Una nota sobre la relación de dos variables distribuidas normalmente". Management Science . 21 (11): 1338–1341. doi :10.1287/mnsc.21.11.1338. JSTOR  2629897.
4. Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Journal of Sound and Vibration . 332 (11): 2750–2776. doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009.
5. Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Journal of Sound and Vibration . 332 (11). Sección (4.1.1). doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009.
6. Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Journal of Sound and Vibration . 332 (11). Eq.(39)-(40). doi :10.1016/j.jsv.2012.12.009.
7. Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) Una nota sobre los momentos inversos de las variables binomiales. Revista Brasileña de Econometría 20 (2)