Difracción de Fresnel

Difracción

En óptica , la ecuación de difracción de Fresnel para la difracción de campo cercano es una aproximación de la difracción de Kirchhoff-Fresnel que se puede aplicar a la propagación de ondas en el campo cercano . ^[1] Se utiliza para calcular el patrón de difracción creado por las ondas que pasan a través de una abertura o alrededor de un objeto, cuando se observan desde relativamente cerca del objeto. En contraste, el patrón de difracción en la región del campo lejano viene dado por la ecuación de difracción de Fraunhofer .

El campo cercano se puede especificar mediante el número de Fresnel , F , del arreglo óptico. Cuando se considera que la onda difractada está en el campo de Fraunhofer, sin embargo, la validez de la integral de difracción de Fresnel se deduce mediante las aproximaciones derivadas a continuación. Específicamente, los términos de fase de tercer orden y superiores deben ser despreciables, una condición que puede escribirse como ${\displaystyle F\ll 1}$

$${\displaystyle {\frac {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,}$$

donde el ángulo máximo descrito por a y L es el mismo que en la definición del número de Fresnel . Por lo tanto, esta condición se puede aproximar como . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta \approx a/L,}$ ${\textstyle {\frac {a^{4}}{4L^{3}\lambda }}\ll 1}$

Difracción de Fresnel que muestra el punto central de Arago

La difracción de Fresnel múltiple en crestas periódicas muy espaciadas ( espejo estriado ) causa la reflexión especular ; este efecto se puede utilizar para espejos atómicos . ^[2]

Los primeros tratamientos de este fenómeno

Uno de los primeros trabajos sobre lo que se conocería como difracción de Fresnel fue realizado por Francesco Maria Grimaldi en Italia en el siglo XVII. En su monografía titulada "Luz", ^[3] Richard C. MacLaurin explica la difracción de Fresnel preguntando qué sucede cuando la luz se propaga y cómo se ve afectado ese proceso cuando se interpone una barrera con una rendija o un agujero en el haz producido por una fuente de luz distante. Utiliza el principio de Huygens para investigar, en términos clásicos, lo que sucede. El frente de onda que procede de la rendija y llega a una pantalla de detección a cierta distancia se aproxima mucho a un frente de onda que se origina a través del área de la brecha sin tener en cuenta ninguna interacción mínima con el borde físico real.

El resultado es que si la brecha es muy estrecha, sólo pueden aparecer patrones de difracción con centros brillantes. Si la brecha se hace cada vez más grande, entonces los patrones de difracción con centros oscuros se alternarán con patrones de difracción con centros brillantes. A medida que la brecha se hace más grande, los diferenciales entre las bandas oscuras y claras disminuyen hasta que ya no se puede detectar un efecto de difracción.

MacLaurin no menciona la posibilidad de que el centro de la serie de anillos de difracción producidos cuando la luz pasa a través de un pequeño agujero pueda ser negro, pero sí señala la situación inversa en la que la sombra producida por un pequeño objeto circular puede, paradójicamente, tener un centro brillante . (p. 219)

En su Optics ^[4] , Francis Weston Sears ofrece una aproximación matemática sugerida por Fresnel que predice las características principales de los patrones de difracción y utiliza solo matemáticas simples. Al considerar la distancia perpendicular desde el orificio en una pantalla de barrera hasta una pantalla de detección cercana junto con la longitud de onda de la luz incidente, es posible calcular una serie de regiones llamadas elementos de semiperiodo o zonas de Fresnel . La zona interior es un círculo y cada zona sucesiva será un anillo anular concéntrico. Si el diámetro del orificio circular en la pantalla es suficiente para exponer la primera zona de Fresnel o la central, la amplitud de la luz en el centro de la pantalla de detección será el doble de lo que sería si la pantalla de detección no estuviera obstruida. Si el diámetro del orificio circular en la pantalla es suficiente para exponer dos zonas de Fresnel, entonces la amplitud en el centro es casi cero. Eso significa que un patrón de difracción de Fresnel puede tener un centro oscuro. Estos patrones se pueden ver y medir, y se corresponden bien con los valores calculados para ellos.

La integral de difracción de Fresnel

Geometría de difracción, que muestra el plano de apertura (u objeto difractor) y el plano de la imagen, con sistema de coordenadas

Según la teoría de difracción de Rayleigh-Sommerfeld, el patrón de difracción del campo eléctrico en un punto ( x , y , z ) viene dado por la siguiente solución de la ecuación de Helmholtz :

$${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {1}{i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(1+{\frac {i}{kr}}\right)\,dx'dy',}$$

dónde

• ${\displaystyle E(x',y',0)}$es el campo eléctrico en la apertura,
• ${\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}},}$
• ${\displaystyle k}$es el numero de onda ${\displaystyle 2\pi /\lambda ,}$
• ${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria .

La solución analítica de esta integral se vuelve rápidamente imprácticamente compleja para todas las geometrías de difracción, salvo las más simples. Por lo tanto, generalmente se calcula numéricamente.

La aproximación de Fresnel

Comparación entre el patrón de difracción obtenido con la ecuación de Rayleigh-Sommerfeld, la aproximación de Fresnel (paraxial) y la aproximación de Fraunhofer (de campo lejano)

El problema principal para resolver la integral es la expresión de r . Primero, podemos simplificar el álgebra introduciendo la sustitución $${\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}.}$$

Sustituyendo en la expresión para r , encontramos $${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}.}$$

A continuación, por el desarrollo binomial, $${\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }$$

Podemos expresar como ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Si consideramos todos los términos de la serie binomial, entonces no hay aproximación. ^[5] Sustituyamos esta expresión en el argumento de la exponencial dentro de la integral; la clave de la aproximación de Fresnel es suponer que el tercer término es muy pequeño y puede ignorarse, y de ahí en adelante cualquier orden superior. Para que esto sea posible, tiene que contribuir a la variación de la exponencial para un término casi nulo. En otras palabras, tiene que ser mucho menor que el período de la exponencial compleja, es decir ,: ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .}$$

Expresando k en términos de la longitud de onda, $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},}$$

Obtenemos la siguiente relación: $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8.}$$

Multiplicando ambos lados por tenemos ${\displaystyle z^{3}/\lambda ^{3},}$ $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}},}$$

o, sustituyendo la expresión anterior por ${\displaystyle \rho ^{2},}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}.}$$

Si esta condición se cumple para todos los valores de x , x' , y e y' , entonces podemos ignorar el tercer término en la expresión de Taylor. Además, si el tercer término es despreciable, entonces todos los términos de orden superior serán incluso más pequeños, por lo que también podemos ignorarlos.

En el caso de aplicaciones que involucran longitudes de onda ópticas, la longitud de onda λ es típicamente muchos órdenes de magnitud menor que las dimensiones físicas relevantes. En particular, $${\displaystyle \lambda \ll z,}$$

y $${\displaystyle \lambda \ll \rho .}$$

Por lo tanto, como cuestión práctica, la desigualdad requerida siempre será cierta mientras $${\displaystyle \rho \ll z.}$$

Podemos entonces aproximar la expresión con sólo los dos primeros términos: $${\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}.}$$

Esta ecuación es la aproximación de Fresnel , y la desigualdad indicada anteriormente es una condición para la validez de la aproximación.

Difracción de Fresnel

La condición de validez es bastante débil y permite que todos los parámetros de longitud tomen valores comparables, siempre que la apertura sea pequeña en comparación con la longitud del camino. Para la r en el denominador vamos un paso más allá y la aproximamos solo con el primer término. Esto es válido en particular si nos interesa el comportamiento del campo solo en un área pequeña cerca del origen, donde los valores de x e y son mucho menores que z . En general, la difracción de Fresnel es válida si el número de Fresnel es aproximadamente 1. ${\displaystyle r\approx z.}$

Para la difracción de Fresnel, el campo eléctrico en el punto se da entonces por ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}\,dx'dy'.}$$

Difracción de Fresnel de apertura circular, representada gráficamente con funciones de Lommel

Esta es la integral de difracción de Fresnel; significa que, si la aproximación de Fresnel es válida, el campo de propagación es una onda esférica, que se origina en la apertura y se mueve a lo largo de z . La integral modula la amplitud y la fase de la onda esférica. La solución analítica de esta expresión todavía solo es posible en casos raros. Para un caso más simplificado, válido solo para distancias mucho mayores desde la fuente de difracción, consulte difracción de Fraunhofer . A diferencia de la difracción de Fraunhofer, la difracción de Fresnel tiene en cuenta la curvatura del frente de onda , para calcular correctamente la fase relativa de las ondas interferentes.

Formas alternativas

Circunvolución

La integral se puede expresar de otras formas para poder calcularla utilizando algunas propiedades matemáticas. Si definimos la función $${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})},}$$

Entonces la integral se puede expresar en términos de una convolución : $${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z);}$$

En otras palabras, representamos la propagación mediante un modelo de filtro lineal. Por eso podríamos llamar a la función respuesta al impulso de propagación en el espacio libre. ${\displaystyle h(x,y,z)}$

Transformada de Fourier

Otra forma posible es a través de la transformada de Fourier . Si en la integral expresamos k en función de la longitud de onda: $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

y expandir cada componente del desplazamiento transversal: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}$$

Entonces podemos expresar la integral en términos de la transformada de Fourier bidimensional. Usemos la siguiente definición: $${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\{g(x,y)\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$$

donde p y q son frecuencias espaciales ( números de onda ). La integral de Fresnel se puede expresar como $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}.\end{aligned}}}$$

Es decir, primero se multiplica el campo que se va a propagar por una exponencial compleja, se calcula su transformada de Fourier bidimensional, se reemplaza por y se multiplica por otro factor. Esta expresión es mejor que las demás cuando el proceso conduce a una transformada de Fourier conocida, y la conexión con la transformada de Fourier se estrecha en la transformación canónica lineal , que se analiza a continuación. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)}$

Transformación canónica lineal

Desde el punto de vista de la transformación canónica lineal , la difracción de Fresnel puede verse como un corte en el dominio del tiempo-frecuencia , lo que corresponde a cómo la transformada de Fourier es una rotación en el dominio del tiempo-frecuencia.

Véase también

• Difracción de Fraunhofer
• Integral de Fresnel
• Zona de Fresnel
• Número de Fresnel
• Agustín-Jean Fresnel
• Espejo estriado
• Generador de imágenes de Fresnel
• Espiral de Euler

Notas

1. Born, Max ; Wolf, Emil (1999). Principios de óptica (7.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-642221.
2. H. Oberst, D. Kouznetsov, K. Shimizu, J. Fujita, F. Shimizu. Espejo de difracción de Fresnel para ondas atómicas, Physical Review Letters , 94 , 013203 (2005).
3. Luz, por Richard C. MacLaurin, 1909, Columbia University Press.
4. Óptica , Francis Weston Sears, pág. 248ff, Addison-Wesley, 1948.
5. En realidad, hubo una aproximación en un paso anterior, al suponer una onda real. De hecho, no se trata de una solución real de la ecuación vectorial de Helmholtz , sino de la escalar. Véase aproximación de onda escalar. ${\displaystyle e^{ikr}/r}$

Referencias

• Goodman, Joseph W. (1996). Introducción a la óptica de Fourier . Nueva York: McGraw-Hill . ISBN. 0-07-024254-2.