La ecuación diferencial de Lommel , llamada así en honor a Eugen von Lommel , es una forma no homogénea de la ecuación diferencial de Bessel :
el 2 d 2 y d el 2 + el d y d el + ( el 2 − no 2 ) y = el micras + 1 . {\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})y=z^{\mu +1}.} Las soluciones se dan mediante las funciones de Lommel s μ,ν ( z ) y S μ,ν ( z ), introducidas por Eugen von Lommel (1880),
s micras , no ( el ) = π 2 [ Y no ( el ) ∫ 0 el incógnita micras Yo no ( incógnita ) d incógnita − Yo no ( el ) ∫ 0 el incógnita micras Y no ( incógnita ) d incógnita ] , {\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\ !\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],} S micras , no ( el ) = s micras , no ( el ) + 2 micras − 1 Γ ( micras + no + 1 2 ) Γ ( micras − no + 1 2 ) ( pecado [ ( micras − no ) π 2 ] Yo no ( el ) − porque [ ( micras − no ) π 2 ] Y no ( el ) ) , {\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),} donde J ν ( z ) es una función de Bessel del primer tipo y Y ν ( z ) una función de Bessel del segundo tipo.
La función s también se puede escribir como [1]
s micras , no ( el ) = el micras + 1 ( micras − no + 1 ) ( micras + no + 1 ) 1 F 2 ( 1 ; micras 2 − no 2 + 3 2 , micras 2 + no 2 + 3 2 ; − el 2 4 ) , {\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{ }_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}),} donde p F q es una función hipergeométrica generalizada .
Véase también
Referencias ^ "Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel" de Watson (1966), Sección 10.7, Ecuación (10) Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Funciones trascendentales superiores. Vol II (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York-Toronto-Londres, MR 0058756 Lommel, E. (1875), "Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function", Math. Ana. , 9 (3): 425–444, doi :10.1007/BF01443342 Lommel, E. (1880), "Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV", Matemáticas. Ana. , 16 (2): 183–208, doi :10.1007/BF01446386 París, RB (2010), "Función de Lommel", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , Sr. 2723248 .Solomentsev, ED (2001) [1994], "Función de Lommel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Enlaces externos Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Lommel". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. Weisstein, Eric W. "Función de Lommel". De MathWorld—Un recurso web de Wolfram.