Fórmula de difracción de Kirchhoff

La fórmula de difracción de Kirchhoff ^{[1] [2]} (también llamada fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff ) aproximala intensidad y la fase de la luz en la difracción óptica : campos de luz en las regiones límite de las sombras. La aproximación se puede utilizar para modelar la propagación de la luz en una amplia gama de configuraciones, ya sea analíticamente o utilizando modelos numéricos . Da una expresión para la perturbación de onda cuando una onda esférica monocromática es la onda entrante de una situación en consideración. Esta fórmula se deriva aplicando el teorema integral de Kirchhoff , que utiliza la segunda identidad de Green para derivar la solución a la ecuación de onda escalar homogénea , a una onda esférica con algunas aproximaciones.

El principio de Huygens-Fresnel se deriva de la fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff.

Derivación de la fórmula de difracción de Kirchhoff

El teorema integral de Kirchhoff , a veces denominado teorema integral de Fresnel-Kirchhoff, ^[3] utiliza la segunda identidad de Green para derivar la solución de la ecuación de onda escalar homogénea en una posición espacial arbitraria P en términos de la solución de la ecuación de onda y su derivada de primer orden en todos los puntos de una superficie cerrada arbitraria como el límite de algún volumen que incluye P. ${\displaystyle S}$

La solución proporcionada por el teorema integral para una fuente monocromática es donde es la parte espacial de la solución de la ecuación de onda escalar homogénea (es decir, como la solución de la ecuación de onda escalar homogénea), k es el número de onda , y s es la distancia desde P a un elemento de superficie integral (infinitesimalmente pequeño), y denota diferenciación a lo largo del vector unitario normal del elemento de superficie integral (es decir, una derivada normal ), es decir, . Tenga en cuenta que la normal de superficie o la dirección de es hacia el interior del volumen cerrado en esta integral; si se utiliza la normal que apunta hacia el exterior más habitual , la integral tendrá el signo opuesto. Y también tenga en cuenta que, en el teorema integral que se muestra aquí, y P son cantidades vectoriales mientras que otros términos son cantidades escalares . $${\displaystyle U({\textbf {P}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}}\right]dS,}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Para los casos siguientes, se realizan las siguientes suposiciones básicas.

• La distancia entre una fuente puntual de ondas y un área integral, la distancia entre el área integral y un punto de observación P , y la dimensión de la abertura S son mucho mayores que la longitud de onda de la onda . ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle U}$y son discontinuas en los límites de la abertura, llamadas condiciones de contorno de Kirchhoff . Esto puede estar relacionado con otra suposición de que las ondas en una abertura (o un área abierta) son las mismas que las ondas que estarían presentes si no hubiera ningún obstáculo para las ondas. ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n}$

Fuente puntual

Disposición geométrica utilizada para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff. El área designada por A ₁ es la apertura (abertura), las áreas marcadas por A ₂ son áreas opacas y A ₃ es el hemisferio como parte de la superficie integral cerrada (compuesta por las áreas A ₁ , A ₂ y A ₃ ) para el teorema integral de Kirchhoff .

Consideremos una fuente puntual monocromática en P ₀ , que ilumina una abertura en una pantalla. La intensidad de la onda emitida por una fuente puntual disminuye como el inverso del cuadrado de la distancia recorrida, por lo que la amplitud disminuye como el inverso de la distancia. La amplitud compleja de la perturbación a una distancia está dada por ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$donde representa la magnitud de la perturbación en la fuente puntual. ${\displaystyle a}$

La perturbación en una posición espacial P se puede hallar aplicando el teorema integral de Kirchhoff a la superficie cerrada formada por la intersección de una esfera de radio R con la pantalla. La integración se realiza sobre las áreas A ₁ , A ₂ y A ₃ , dando $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}$$

Para resolver la ecuación, se supone que los valores de y en el área de apertura A ₁ son los mismos que cuando la pantalla no está presente, por lo que en la posición Q , donde es la longitud de la línea recta P ₀ Q , y es el ángulo entre una versión extendida de forma recta de P ₀ Q y la normal (hacia adentro) a la apertura. Nótese que por lo que es un número real positivo en A ₁ . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ $${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (n,r)}$ ${\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos(n,r)}$

En Q , también tenemos donde es la longitud de la línea recta PQ y es el ángulo entre una versión extendida de PQ y la normal (hacia adentro) a la apertura. Nótese que es un número real negativo en A ₁ . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (n,s)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos(n,s)}$

Se hacen dos suposiciones más siguientes:

• En las derivadas normales anteriores, se supone que los términos y en ambos corchetes son insignificantes en comparación con el número de onda , las medias y son mucho mayores que la longitud de onda . ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \lambda }$
• Kirchhoff supone que los valores de y en las áreas opacas marcadas por A ₂ son cero. Esto implica que y son discontinuos en el borde de la apertura A ₁ . Este no es el caso, y esta es una de las aproximaciones utilizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff. ^{[4] [5]} Estas suposiciones a veces se denominan condiciones de contorno de Kirchhoff . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$

_{Se espera que} la contribución del hemisferio A3 a la integral sea cero, y puede justificarse por una de las siguientes razones.

1. Supongamos que la fuente comienza a radiar en un momento determinado y luego hagamos que R sea lo suficientemente grande como para que, cuando se considere la perturbación en P , no haya llegado allí ninguna contribución de A _{3 .} ^[1] Una onda de este tipo ya no es monocromática , ya que debe existir una onda monocromática en todo momento, pero esa suposición no es necesaria y se ha derivado un argumento más formal que evita su uso. ^[6]
2. Se espera que una onda emanada de la abertura A ₁ evolucione hacia una onda esférica a medida que se propaga (se pueden encontrar ejemplos de ondas de agua en muchas imágenes que muestran una onda de agua que pasa a través de una abertura relativamente estrecha). Entonces, si R es lo suficientemente grande, entonces la integral en A ₃ se convierte en donde y son la distancia desde el centro de la abertura A ₁ a un elemento de superficie integral y el ángulo sólido diferencial en el sistema de coordenadas esféricas respectivamente. $${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}$$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle d\Omega }$

Como resultado, finalmente, la integral anterior, que representa la amplitud compleja en P , se convierte en $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$$

Esta es la fórmula de difracción de Kirchhoff o de Fresnel-Kirchhoff .

Equivalencia con el principio de Huygens-Fresnel

Disposición geométrica utilizada para expresar la fórmula de Kirchhoff en una forma similar a la de Huygens-Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel se puede derivar integrando sobre una superficie cerrada diferente (el límite de algún volumen que tiene un punto de observación P ). El área A ₁ anterior se reemplaza por una parte de un frente de onda (emitido desde un P ₀ ) en r ₀ , que es el más cercano a la apertura, y una porción de un cono con un vértice en P ₀ , que se etiqueta como A ₄ en el diagrama de la derecha. Si el frente de onda se coloca de manera que esté muy cerca de los bordes de la apertura, entonces la contribución de A ₄ se puede ignorar (aquí se supone). En este nuevo A ₁ , la normal hacia adentro (hacia el volumen encerrado por la superficie integral cerrada, por lo tanto hacia el lado derecho en el diagrama) a A ₁ va a lo largo de la dirección radial desde P ₀ , es decir, la dirección perpendicular al frente de onda. Como resultado, el ángulo y el ángulo están relacionados con el ángulo (el ángulo como se define en el principio de Huygens-Fresnel ) como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n,r)=0}$ ${\displaystyle (n,s)}$ ${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}$$

La amplitud compleja del frente de onda en r ₀ está dada por $${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$$

Por lo tanto, la fórmula de difracción se convierte en la integral que se realiza sobre la parte del frente de onda en r ₀ que es la más cercana a la apertura en el diagrama. Esta integral conduce al principio de Huygens-Fresnel (con el factor de oblicuidad ). $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,}$$ ${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$

En la derivación de esta integral, en lugar de la geometría representada en el diagrama de la derecha, se pueden utilizar esferas dobles centradas en P ₀ con el radio de la esfera interior r _{0 y un radio de esfera exterior infinito.} ^[7] En esta geometría, el punto de observación P se encuentra en el volumen encerrado por las dos esferas, por lo que la fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff se aplica a las dos esferas. (La superficie normal en estas superficies integrales es, digamos nuevamente, hacia el volumen encerrado en la fórmula de difracción anterior). En la aplicación de la fórmula, la integral en la esfera exterior es cero por una razón similar a la integral en el hemisferio como cero anterior.

Fuente extendida

Supongamos que la apertura está iluminada por una onda fuente extendida. ^[8] La amplitud compleja en la apertura está dada por U ₀ ( r ).

Se supone, como antes, que los valores de y en el área A ₁ son los mismos que cuando no hay pantalla, que los valores de y en A ₂ son cero (condiciones de contorno de Kirchhoff) y que la contribución de A ₃ a la integral también es cero. También se supone que 1/ s es despreciable en comparación con k . Entonces tenemos ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}$$

Esta es la forma más general de la fórmula de difracción de Kirchhoff. Para resolver esta ecuación para una fuente extendida, se requeriría una integración adicional para sumar las contribuciones realizadas por los puntos individuales en la fuente. Sin embargo, si suponemos que la luz de la fuente en cada punto de la abertura tiene una dirección bien definida, que es el caso si la distancia entre la fuente y la abertura es significativamente mayor que la longitud de onda, entonces podemos escribir donde a ( r ) es la magnitud de la perturbación en el punto r en la abertura. Entonces tenemos y por lo tanto $${\displaystyle U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)\cos(n,r)}$$ $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{iks}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$$

Ecuaciones de difracción de Fraunhofer y Fresnel

A pesar de las diversas aproximaciones que se han hecho para llegar a la fórmula, ésta es adecuada para describir la mayoría de los problemas en óptica instrumental. Esto se debe principalmente a que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones de los obstáculos que se encuentran. No es posible encontrar soluciones analíticas para la mayoría de las configuraciones, pero la ecuación de difracción de Fresnel y la ecuación de difracción de Fraunhofer , que son aproximaciones de la fórmula de Kirchhoff para el campo cercano y el campo lejano , se pueden aplicar a una amplia gama de sistemas ópticos.

Una de las suposiciones importantes que se hacen para llegar a la fórmula de difracción de Kirchhoff es que r y s son significativamente mayores que λ. Se puede hacer otra aproximación, que simplifica significativamente aún más la ecuación: es que las distancias P ₀ Q y QP son mucho mayores que las dimensiones de la apertura. Esto permite hacer dos aproximaciones más:

• cos( n, r ) − cos( n, s ) se reemplaza por 2cos β, donde β es el ángulo entre P ₀ P y la normal a la apertura. El factor 1/ rs se reemplaza por 1/ r ' s ' , donde r ' y s ' son las distancias desde P ₀ y P hasta el origen, que se encuentra en la apertura. La amplitud compleja se convierte entonces en: $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.}$$
• Supongamos que la apertura se encuentra en el plano xy , y las coordenadas de P ₀ , P y Q (un punto general en la apertura) son ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ), ( x , y , z ) y ( x ' , y ' , 0) respectivamente. Entonces tenemos:

  ${\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},}$

  ${\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Podemos expresar r y s de la siguiente manera: $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}$$

Estas pueden expandirse como series de potencias : $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right].}$$

La amplitud compleja en P ahora se puede expresar como donde f ( x ' , y ' ) incluye todos los términos en las expresiones anteriores para s y r, excepto el primer término en cada expresión, y se puede escribir en la forma donde c _i son constantes. $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$$ $${\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,}$$

Difracción de Fraunhofer

Si todos los términos en f ( x ' , y ' ) pueden ignorarse excepto los términos en x ' e y ' , tenemos la ecuación de difracción de Fraunhofer . Si los cosenos directores de P ₀ Q y PQ son $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}$$

La ecuación de difracción de Fraunhofer es entonces donde C es una constante. Esto también se puede escribir en la forma donde k ₀ y k son los vectores de onda de las ondas que viajan desde P ₀ hasta la abertura y desde la abertura hasta P respectivamente, y r ' es un punto en la abertura. $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$$ $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

Si la fuente puntual se reemplaza por una fuente extendida cuya amplitud compleja en la apertura está dada por U ₀ ( r' ), entonces la ecuación de difracción de Fraunhofer es: donde a ₀ ( r' ) es, como antes, la magnitud de la perturbación en la apertura. $${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

Además de las aproximaciones realizadas para derivar la ecuación de Kirchhoff, se supone que

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la apertura,
• Los términos de segundo orden y de orden superior en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden ignorarse.

Difracción de Fresnel

Cuando no se pueden ignorar los términos cuadráticos, pero sí todos los términos de orden superior, la ecuación se convierte en la ecuación de difracción de Fresnel . Se utilizan las aproximaciones de la ecuación de Kirchhoff y se aplican los siguientes supuestos adicionales:

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la apertura,
• Los términos de tercer orden y de orden superior en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden ignorarse.

Referencias

1. Born, Max ; Wolf, Emil (1999). Principios de óptica: teoría electromagnética de propagación, interferencia y difracción de la luz . Cambridge: Cambridge University Press . p. 986. ISBN 9780521642224.
2. Longhurst, Richard Samuel (1986). Óptica geométrica y física . Orient BlackSwan. pág. 651. ISBN 8125016236.
3. Kirchhoff, G. (1883). "Zur Theorie der Lichtstrahlen". Annalen der Physik (en alemán). 254 (4). Wiley: 663–695. Código bibliográfico : 1882AnP...254..663K. doi : 10.1002/andp.18832540409.
4. JZ Buchwald y C.-P. Yeang, "La teoría de Kirchhoff para la difracción óptica, su predecesora y desarrollo posterior: la resiliencia de una teoría inconsistente" Archivado el 24 de junio de 2021 en Wayback Machine , Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , vol. 70, núm. 5 (septiembre de 2016), pp. 463–511; doi :10.1007/s00407-016-0176-1.
5. J. Saatsi y P. Vickers, "¿Éxito milagroso? Inconsistencia y falsedad en la teoría de difracción de Kirchhoff", British J. for the Philosophy of Science , vol. 62, núm. 1 (marzo de 2011), págs. 29-46; jstor.org/stable/41241806. (Versión previa a la publicación, con paginación diferente: dro.dur.ac.uk/10523/1/10523.pdf.)
6. M. Born, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie . Berlín, Springer, 1933, reimpreso en 1965, pág. 149.
7. Hecht, Eugene (2017). "10.4 Teoría de difracción escalar de Kirchhoff". Óptica (quinta edición global). Pearson. págs. 532–535. ISBN 978-1-292-09693-3.
8. MV Klein y TE Furtak, 1986, Óptica ; 2da ed. John Wiley & Sons, Nueva York ISBN 0-471-87297-0 . 

Lectura adicional

• Baker, BB; Copson, ET (1939, 1950). La teoría matemática del principio de Huygens . Oxford.
• Woan, Graham (2000). Manual de fórmulas de física de Cambridge . Cambridge University Press. ISBN 9780521575072.
• J. Goodman (2005). Introducción a la óptica de Fourier (3.ª ed.). Roberts & Co Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3.
• Griffiths, David J. (2012). Introducción a la electrodinámica. Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2.
• Band, Yehuda B. (2006). Luz y materia: electromagnetismo, óptica, espectroscopia y láseres. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, Ian (2008). La luz fantástica: una introducción moderna a la óptica clásica y cuántica . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-856646-5.
• Lerner, Rita G. ; George L., Trigg (1991). Enciclopedia de física . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6.
• Sybil P., Parker (1993). Enciclopedia de física de MacGraw-Hill. McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3.