Raíz unitaria

Característica de algunos procesos estocásticos

En teoría de probabilidad y estadística , una raíz unitaria es una característica de algunos procesos estocásticos (como los recorridos aleatorios ) que pueden causar problemas en la inferencia estadística que involucra modelos de series temporales . Un proceso estocástico lineal tiene una raíz unitaria si 1 es una raíz de la ecuación característica del proceso . Un proceso de este tipo no es estacionario , pero no siempre tiene una tendencia.

Si las otras raíces de la ecuación característica se encuentran dentro del círculo unitario, es decir, tienen un módulo ( valor absoluto ) menor que uno, entonces la primera diferencia del proceso será estacionaria; de lo contrario, el proceso deberá diferenciarse varias veces para volverse estacionario. ^[1] Si hay d raíces unitarias, el proceso deberá diferenciarse d veces para que sea estacionario. ^[2] Debido a esta característica, los procesos de raíz unitaria también se denominan estacionarios por diferencia. ^{[3] [4]}

Los procesos de raíz unitaria a veces pueden confundirse con los procesos de tendencia estacionaria ; si bien comparten muchas propiedades, son diferentes en muchos aspectos. Es posible que una serie temporal no sea estacionaria, pero no tenga raíz unitaria y sea estacionaria en la tendencia. En ambos procesos, el de raíz unitaria y el de tendencia estacionaria, la media puede crecer o decrecer con el tiempo; sin embargo, en presencia de un shock, los procesos de tendencia estacionaria son de reversión a la media (es decir, transitorios, la serie temporal convergerá nuevamente hacia la media creciente, que no se vio afectada por el shock), mientras que los procesos de raíz unitaria tienen un impacto permanente en la media (es decir, no convergen con el tiempo). ^[5]

Si una raíz de la ecuación característica del proceso es mayor que 1, entonces se denomina proceso explosivo , aunque a veces a dichos procesos se les denomina incorrectamente procesos de raíz unitaria.

La presencia de una raíz unitaria se puede probar utilizando una prueba de raíz unitaria .

Definición

Consideremos un proceso estocástico de tiempo discreto y supongamos que puede escribirse como un proceso  autorregresivo de orden p : ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}$

Aquí, se presenta un proceso estocástico serialmente no correlacionado, de media cero y varianza constante . Para mayor comodidad, supongamos que . Si es una raíz de la ecuación característica , de multiplicidad 1: ${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle y_{0}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

entonces el proceso estocástico tiene una raíz unitaria o, alternativamente, es integrado de orden uno, denotado . Si m = 1 es una raíz de multiplicidad r , entonces el proceso estocástico es integrado de orden r , denotado I ( r ). ${\displaystyle I(1)}$

Ejemplo

El modelo autorregresivo de primer orden, , tiene una raíz unitaria cuando . En este ejemplo, la ecuación característica es . La raíz de la ecuación es . ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$ ${\displaystyle m-a_{1}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Si el proceso tiene una raíz unitaria, entonces es una serie temporal no estacionaria. Es decir, los momentos del proceso estocástico dependen de . Para ilustrar el efecto de una raíz unitaria, podemos considerar el caso de primer orden, comenzando desde y ₀  = 0: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Mediante sustitución repetida, podemos escribir . Entonces la varianza de está dada por: ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

La varianza depende de t ya que , mientras que . La varianza de la serie diverge hacia el infinito con  t . ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

Existen varias pruebas para comprobar la existencia de una raíz unitaria, algunas de ellas vienen dadas por:

1. La prueba de Dickey-Fuller (DF) o pruebas de Dickey-Fuller aumentadas (ADF)
2. Prueba de la significancia de más de un coeficiente (prueba f)
3. La prueba de Phillips-Perron (PP)
4. Prueba de Dickey Pantula

Modelos relacionados

Además de los modelos autorregresivos (AR) y autorregresivos de promedio móvil (ARMA), en el análisis de regresión surgen otros modelos importantes en los que los errores del modelo pueden tener una estructura de serie temporal y, por lo tanto, puede ser necesario modelarlos mediante un proceso AR o ARMA que puede tener una raíz unitaria, como se explicó anteriormente. Se han analizado las propiedades de muestra finita de los modelos de regresión con errores ARMA de primer orden, incluidas las raíces unitarias. ^{[6] [7]}

Estimación de cuándo puede estar presente una raíz unitaria

A menudo, se utilizan los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para estimar los coeficientes de pendiente del modelo autorregresivo . El uso de MCO se basa en que el proceso estocástico sea estacionario. Cuando el proceso estocástico no es estacionario, el uso de MCO puede producir estimaciones no válidas. Granger y Newbold llamaron a estas estimaciones resultados de "regresión espuria": ^{[8] valores} R 2 altos y ratios t altos que arrojan resultados sin significado real (en su contexto, económico).

Para estimar los coeficientes de pendiente, primero se debe realizar una prueba de raíz unitaria , cuya hipótesis nula es que existe una raíz unitaria. Si se rechaza esa hipótesis, se puede utilizar MCO. Sin embargo, si no se rechaza la presencia de una raíz unitaria, se debe aplicar el operador de diferencia a la serie. Si otra prueba de raíz unitaria muestra que la serie temporal diferenciada es estacionaria, se puede aplicar MCO a esta serie para estimar los coeficientes de pendiente.

Por ejemplo, en el caso AR(1), es estacionario. ${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

En el caso AR(2), se puede escribir como donde L es un operador de retardo que disminuye el índice de tiempo de una variable en un período: . Si , el modelo tiene una raíz unitaria y podemos definir ; entonces ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=1}$ ${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

es estacionaria si . MCO se puede utilizar para estimar el coeficiente de pendiente, . ${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

Si el proceso tiene múltiples raíces unitarias, el operador de diferencia se puede aplicar varias veces.

Propiedades y características de los procesos de raíz unitaria

• Los choques en un proceso de raíz unitaria tienen efectos permanentes que no decaen como lo harían si el proceso fuera estacionario.
• Como se señaló anteriormente, un proceso de raíz unitaria tiene una varianza que depende de t y diverge hasta el infinito.
• Si se sabe que una serie tiene una raíz unitaria, se puede diferenciar la serie para hacerla estacionaria. Por ejemplo, si una serie es I(1), la serie es I(0) (estacionaria). Por lo tanto, se la denomina serie estacionaria diferencial . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

Hipótesis de raíz unitaria

El diagrama anterior muestra un ejemplo de una raíz unitaria potencial. La línea roja representa una caída observada en la producción. La línea verde muestra la trayectoria de recuperación si la serie tiene una raíz unitaria. La línea azul muestra la recuperación si no hay raíz unitaria y la serie es estacionaria en la tendencia. La línea azul vuelve a encontrarse con la línea de tendencia discontinua y la sigue, mientras que la línea verde permanece permanentemente por debajo de la tendencia. La hipótesis de la raíz unitaria también sostiene que un aumento repentino de la producción conducirá a niveles de producción superiores a la tendencia anterior.

Los economistas debaten si varias estadísticas económicas, especialmente la producción , tienen una raíz unitaria o son estacionarias en la tendencia . ^[9] Un proceso de raíz unitaria con deriva se da en el caso de primer orden por

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

donde c es un término constante denominado término de "deriva" y es ruido blanco. Cualquier valor distinto de cero del término de ruido, que se produzca durante un solo período, afectará de forma permanente el valor de como se muestra en el gráfico, por lo que las desviaciones de la línea no son estacionarias; no hay reversión a ninguna línea de tendencia. Por el contrario, un proceso estacionario en la tendencia se da por ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

donde k es la pendiente de la tendencia y es ruido (ruido blanco en el caso más simple; más generalmente, ruido que sigue su propio proceso autorregresivo estacionario). Aquí cualquier ruido transitorio no alterará la tendencia de largo plazo de estar en la línea de tendencia, como también se muestra en el gráfico. Se dice que este proceso es estacionario en la tendencia porque las desviaciones de la línea de tendencia son estacionarias. ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

El tema es particularmente popular en la literatura sobre los ciclos económicos. ^{[10] [11]} La investigación sobre el tema comenzó con Nelson y Plosser, cuyo artículo sobre el PNB y otros agregados de producción no rechazó la hipótesis de la raíz unitaria para estas series. ^[12] Desde entonces, se ha producido un debate, entrelazado con disputas técnicas sobre métodos estadísticos. Algunos economistas ^[13] sostienen que el PBI tiene una raíz unitaria o ruptura estructural , lo que implica que las recesiones económicas dan lugar a niveles de PBI permanentemente más bajos en el largo plazo. Otros economistas sostienen que el PBI es estacionario en la tendencia: es decir, cuando el PBI cae por debajo de la tendencia durante una recesión, luego vuelve al nivel implícito por la tendencia, de modo que no hay una disminución permanente de la producción. Si bien la literatura sobre la hipótesis de la raíz unitaria puede consistir en un debate arcano sobre métodos estadísticos, la hipótesis conlleva importantes implicaciones prácticas para los pronósticos y las políticas económicas.

Véase también

• Prueba de Dickey-Fuller
• Prueba de Dickey-Fuller aumentada
• Prueba ADF-GLS
• Prueba de raíz unitaria
• Prueba de Phillips-Perron
• Cointegración , determinación de la relación entre dos variables que tienen raíces unitarias.
• Prueba de raíz unitaria simétrica ponderada (WS)
• Pruebas de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin, conocidas como pruebas KPSS

Notas

1. "Procesos estacionarios en tendencia frente a procesos estacionarios en diferencia - MATLAB y Simulink". uk.mathworks.com . Archivado desde el original el 2016-06-08 . Consultado el 2016-06-05 .
2. "Ayuda de EViews". Archivado desde el original el 27 de mayo de 2020. Consultado el 28 de mayo de 2020 .
3. "Pruebas de diferenciación y de raíz unitaria" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de octubre de 2016.
4. "Serie no estacionaria" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 11 de junio de 2014.
5. Heino Bohn Nielsen. "Series temporales no estacionarias y pruebas de raíz unitaria" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 30 de noviembre de 2016.
6. Sargan, JD ; Bhargava, Alok (1983). "Prueba de residuos de regresiones de mínimos cuadrados para determinar si se generan mediante el paseo aleatorio gaussiano". Econometrica . 51 (1): 153–174. doi :10.2307/1912252. JSTOR  1912252.
7. Sargan, JD; Bhargava, Alok (1983). "Estimación de máxima verosimilitud de modelos de regresión con errores de promedio móvil de primer orden cuando la raíz se encuentra en el círculo unitario". Econometrica . 51 (3): 799–820. doi :10.2307/1912159. JSTOR  1912159.
8. Granger, CWJ; Newbold, P. (1974). "Regresiones espurias en econometría". Revista de Econometría . 2 (2): 111–120. CiteSeerX 10.1.1.353.2946 . doi :10.1016/0304-4076(74)90034-7. 
9. Krugman, Paul (3 de marzo de 2009). «Roots of evil (wonkish)». The New York Times . Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015. Consultado el 7 de febrero de 2017 .
10. Hegwood, Natalie; Papell, David H. (2007). "¿Son los niveles de PIB real estacionarios en cuanto a tendencia, diferencia o tendencia por régimen? Evidencia de pruebas de datos de panel que incorporan cambio estructural" (PDF) . Southern Economic Journal . 74 (1): 104–113. doi :10.1002/j.2325-8012.2007.tb00829.x. JSTOR  20111955. Archivado (PDF) desde el original el 2022-06-14 . Consultado el 2021-08-14 .
11. Lucke, Bernd (2005). "¿Es estacionaria la tendencia del PIB de Alemania? Un enfoque de medición con teoría" (PDF) . Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik . 225 (1): 60–76. doi :10.1515/jbnst-2005-0105. S2CID  209856533. Archivado (PDF) desde el original el 24 de diciembre de 2013 . Consultado el 29 de julio de 2013 .
12. Nelson, Charles R.; Plosser, Charles I. (1982). "Tendencias y recorridos aleatorios en series temporales macroeconómicas: algunas evidencias e implicaciones". Journal of Monetary Economics . 10 (2): 139–162. doi :10.1016/0304-3932(82)90012-5.
13. Olivier Blanchard Archivado el 26 de agosto de 2009 en Wayback Machine con el Fondo Monetario Internacional afirma que después de una crisis bancaria "en promedio, la producción no vuelve a su antigua tendencia, sino que permanece permanentemente por debajo de ella".