Densidad de carga

Carga eléctrica por unidad de longitud, área o volumen

En electromagnetismo , la densidad de carga es la cantidad de carga eléctrica por unidad de longitud , área superficial o volumen . La densidad de carga volumétrica (simbolizada por la letra griega ρ) es la cantidad de carga por unidad de volumen, medida en el sistema SI en culombios por metro cúbico (C⋅m ⁻³ ), en cualquier punto de un volumen. ^{[1] [2] [3]} La densidad de carga superficial (σ) es la cantidad de carga por unidad de área, medida en culombios por metro cuadrado (C⋅m ⁻² ), en cualquier punto de una distribución de carga superficial en una superficie bidimensional. La densidad de carga lineal (λ) es la cantidad de carga por unidad de longitud, medida en culombios por metro (C⋅m ⁻¹ ), en cualquier punto de una distribución de carga lineal. La densidad de carga puede ser positiva o negativa, ya que la carga eléctrica puede ser positiva o negativa.

Al igual que la densidad de masa , la densidad de carga puede variar con la posición. En la teoría electromagnética clásica, la densidad de carga se idealiza como una función escalar continua de la posición , como un fluido, y , , y suelen considerarse distribuciones de carga continuas , aunque todas las distribuciones de carga reales están formadas por partículas cargadas discretas. Debido a la conservación de la carga eléctrica , la densidad de carga en cualquier volumen solo puede cambiar si una corriente eléctrica de carga fluye dentro o fuera del volumen. Esto se expresa mediante una ecuación de continuidad que vincula la tasa de cambio de la densidad de carga y la densidad de corriente . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

Dado que toda la carga es transportada por partículas subatómicas , que pueden idealizarse como puntos, el concepto de una distribución de carga continua es una aproximación, que se vuelve inexacta en escalas de longitud pequeñas. Una distribución de carga se compone en última instancia de partículas cargadas individuales separadas por regiones que no contienen carga. ^[4] Por ejemplo, la carga en un objeto metálico cargado eléctricamente está formada por electrones de conducción que se mueven aleatoriamente en la red cristalina del metal . La electricidad estática es causada por cargas superficiales que consisten en electrones e iones cerca de la superficie de los objetos, y la carga espacial en un tubo de vacío está compuesta por una nube de electrones libres que se mueven aleatoriamente en el espacio. La densidad de portadores de carga en un conductor es igual al número de portadores de carga móviles ( electrones , iones , etc.) por unidad de volumen. La densidad de carga en cualquier punto es igual a la densidad de portadores de carga multiplicada por la carga elemental en las partículas. Sin embargo, debido a que la carga elemental de un electrón es tan pequeña (1,6 · 10 ⁻¹⁹ C) y hay tantos en un volumen macroscópico (hay alrededor de 10 ²² electrones de conducción en un centímetro cúbico de cobre), la aproximación continua es muy precisa cuando se aplica a volúmenes macroscópicos, e incluso a volúmenes microscópicos por encima del nivel nanométrico.

En escalas aún más pequeñas, de átomos y moléculas, debido al principio de incertidumbre de la mecánica cuántica , una partícula cargada no tiene una posición precisa sino que está representada por una distribución de probabilidad , por lo que la carga de una partícula individual no está concentrada en un punto sino que está 'diseminada' en el espacio y actúa como una verdadera distribución de carga continua. ^[4] Este es el significado de 'distribución de carga' y 'densidad de carga' utilizado en química y enlace químico . Un electrón está representado por una función de onda cuyo cuadrado es proporcional a la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier punto del espacio, por lo que es proporcional a la densidad de carga del electrón en cualquier punto. En átomos y moléculas, la carga de los electrones se distribuye en nubes llamadas orbitales que rodean el átomo o la molécula y son responsables de los enlaces químicos . ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}$

Definiciones

Cargos continuos

Distribución de carga continua. La densidad de carga volumétrica ρ es la cantidad de carga por unidad de volumen (tridimensional), la densidad de carga superficial σ es la cantidad por unidad de área de superficie (círculo) con unidad normal externa n̂ , d es el momento dipolar entre dos cargas puntuales, la densidad volumétrica de estas es la densidad de polarización P . El vector de posición r es un punto para calcular el campo eléctrico ; r′ es un punto en el objeto cargado.

A continuación se presentan las definiciones de distribuciones de carga continua. ^{[5] [6]}

La densidad de carga lineal es la relación entre una carga eléctrica infinitesimal dQ (unidad SI: C ) y un elemento de línea infinitesimal ; de manera similar, la densidad de carga superficial utiliza un elemento de área de superficie dS y la densidad de carga volumétrica utiliza un elemento de volumen dV. $${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,}$$ $${\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,}$$ $${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}$$

La integración de las definiciones da la carga total Q de una región según la integral de línea de la densidad de carga lineal λ _q ( r ) sobre una línea o curva 1d C , de manera similar, una integral de superficie de la densidad de carga superficial σ _q ( r ) sobre una superficie S , y una integral de volumen de la densidad de carga volumétrica ρ _q ( r ) sobre un volumen V , donde el subíndice q es para aclarar que la densidad es para carga eléctrica, no para otras densidades como densidad de masa , densidad numérica , densidad de probabilidad y evitar conflictos con los muchos otros usos de λ , σ , ρ en electromagnetismo para longitud de onda , resistividad eléctrica y conductividad . $${\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$$ $${\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$$ $${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$$

En el contexto del electromagnetismo, los subíndices se suelen omitir para simplificar: λ , σ , ρ . Otras notaciones pueden incluir: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _V , etc.

La carga total dividida por la longitud, la superficie o el volumen serán las densidades de carga promedio: $${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$$

Gratuito, vinculante y de carga total

En los materiales dieléctricos , la carga total de un objeto se puede separar en cargas "libres" y "ligadas".

Las cargas ligadas forman dipolos eléctricos en respuesta a un campo eléctrico aplicado E y polarizan otros dipolos cercanos tendiendo a alinearlos; la acumulación neta de carga a partir de la orientación de los dipolos es la carga ligada. Se denominan ligadas porque no se pueden eliminar: en el material dieléctrico, las cargas son los electrones ligados a los núcleos . ^[6]

Las cargas libres son las cargas en exceso que pueden moverse hasta el equilibrio electrostático , es decir, cuando las cargas no se mueven y el campo eléctrico resultante es independiente del tiempo, o constituyen corrientes eléctricas . ^[5]

Densidades de carga total

En términos de densidades de carga volumétrica, la densidad de carga total es: como para las densidades de carga superficial: donde los subíndices "f" y "b" denotan "libre" y "ligado" respectivamente. $${\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.}$$ $${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.}$$

Carga vinculada

La carga superficial ligada es la carga acumulada en la superficie del dieléctrico , dada por el momento dipolar perpendicular a la superficie: ^[6] donde s es la separación entre las cargas puntuales que constituyen el dipolo, es el momento dipolar eléctrico , es el vector normal unitario a la superficie. $${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Tomando infinitesimales : y dividiendo por el elemento de superficie diferencial dS se obtiene la densidad de carga superficial ligada: donde P es la densidad de polarización , es decir, la densidad de momentos dipolares eléctricos dentro del material, y dV es el elemento de volumen diferencial . $${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$$ $${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.}$$

Utilizando el teorema de divergencia , la densidad de carga volumétrica ligada dentro del material es, por lo tanto: $${\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV}$$ $${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$$

El signo negativo surge debido a los signos opuestos de las cargas en los dipolos, un extremo está dentro del volumen del objeto, el otro en la superficie.

A continuación se ofrece una derivación más rigurosa. ^[6]

Derivación de densidades de carga de superficie y volumen ligadas a partir de momentos dipolares internos (cargas ligadas)

El potencial eléctrico debido a un momento dipolar d es: $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$

Para una distribución continua, el material se puede dividir en infinitos dipolos infinitesimales donde dV = d ³ r′ es el elemento de volumen, por lo que el potencial es la integral de volumen sobre el objeto: $${\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$$

Dado que donde ∇′ es el gradiente en las coordenadas r′ , $${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$ $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }$$

Integrando por partes utilizando el teorema de divergencia: $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }$$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

que se separa en el potencial de la carga superficial ( integral de superficie ) y el potencial debido a la carga volumétrica (integral de volumen):

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

eso es $${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$$

Densidad de carga libre

La densidad de carga libre sirve como una simplificación útil en la ley de Gauss para la electricidad; su integral de volumen es la carga libre encerrada en un objeto cargado, igual al flujo neto del campo de desplazamiento eléctrico D que emerge del objeto:

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

Consulte las ecuaciones de Maxwell y la relación constitutiva para obtener más detalles.

Densidad de carga homogénea

Para el caso especial de una densidad de carga homogénea ρ ₀ , independiente de la posición, es decir constante en toda la región del material, la ecuación se simplifica a: $${\displaystyle Q=V\rho _{0}.}$$

Prueba

Comencemos con la definición de una densidad de carga volumétrica continua: $${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$$

Entonces, por definición de homogeneidad, ρ _q ( r ) es una constante denotada por ρ _{q , 0} (para diferenciar entre las densidades constantes y no constantes), y por lo tanto por las propiedades de una integral se puede sacar fuera de la integral dando como resultado: entonces, $${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V}$$ $${\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}$$

Las pruebas equivalentes para la densidad de carga lineal y la densidad de carga superficial siguen los mismos argumentos que los anteriores.

Cargos discretos

Para una sola carga puntual q en la posición r ₀ dentro de una región del espacio 3d R , como un electrón , la densidad de carga volumétrica se puede expresar mediante la función delta de Dirac : donde r es la posición para calcular la carga. $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$$

Como siempre, la integral de la densidad de carga sobre una región del espacio es la carga contenida en esa región. La función delta tiene la propiedad de desplazamiento para cualquier función f : por lo que la función delta asegura que cuando la densidad de carga se integra sobre R , la carga total en R es q : $${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})}$$ $${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}$$

Esto se puede extender a N portadores de carga puntuales discretos. La densidad de carga del sistema en un punto r es una suma de las densidades de carga para cada carga q _i en la posición r _i , donde i = 1, 2, ..., N : $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$$

La función delta para cada carga q _i en la suma, δ ( r − r _i ), garantiza que la integral de la densidad de carga sobre R devuelva la carga total en R : $${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}$$

Si todos los portadores de carga tienen la misma carga q (para electrones q = − e , la carga del electrón ) la densidad de carga se puede expresar a través del número de portadores de carga por unidad de volumen, n ( r ), por $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$$

Se utilizan ecuaciones similares para las densidades de carga lineal y superficial.

Densidad de carga en la relatividad especial

En la relatividad especial , la longitud de un segmento de cable depende de la velocidad del observador debido a la contracción de la longitud , por lo que la densidad de carga también dependerá de la velocidad. Anthony French ^[7] ha descrito cómo la fuerza del campo magnético de un cable que lleva corriente surge de esta densidad de carga relativa. Utilizó (p. 260) un diagrama de Minkowski para mostrar "cómo un cable neutro que lleva corriente parece llevar una densidad de carga neta como se observa en un marco en movimiento". Cuando una densidad de carga se mide en un marco de referencia en movimiento se denomina densidad de carga propia . ^{[8] [9] [10]}

Resulta que la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J se transforman juntas como un vector de cuatro corrientes bajo las transformaciones de Lorentz .

Densidad de carga en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la densidad de carga ρ _q está relacionada con la función de onda ψ ( r ) por la ecuación donde q es la carga de la partícula y | ψ ( r ) | ² = ψ *( r ) ψ ( r ) es la función de densidad de probabilidad , es decir, la probabilidad por unidad de volumen de una partícula ubicada en r . Cuando la función de onda está normalizada, la carga promedio en la región r ∈ R es donde d ³ r es la medida de integración sobre el espacio de posición 3d. $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$$ $${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

Para un sistema de fermiones idénticos, la densidad numérica se da como suma de la densidad de probabilidad de cada partícula en:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }$

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$

Utilizando la condición de simetrización: donde se considera como la densidad de carga. $${\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$$ ${\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}$

La energía potencial de un sistema se escribe como: La energía de repulsión electrón-electrón se deriva, en estas condiciones, como: Tenga en cuenta que esto excluye la energía de intercambio del sistema, que es un fenómeno puramente mecánico cuántico, que debe calcularse por separado. $${\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$$

Luego, la energía se da utilizando el método Hartree-Fock como:

${\displaystyle E[n]=I+J-K}$

Donde I es la energía cinética y potencial de los electrones debido a las cargas positivas, J es la energía de interacción electrón-electrón y K es la energía de intercambio de electrones. ^{[11] [12]}

Solicitud

La densidad de carga aparece en la ecuación de continuidad de la corriente eléctrica y también en las ecuaciones de Maxwell . Es el término fuente principal del campo electromagnético ; cuando la distribución de carga se mueve, esto corresponde a una densidad de corriente . La densidad de carga de las moléculas impacta en los procesos químicos y de separación. Por ejemplo, la densidad de carga influye en los enlaces metal-metal y en los enlaces de hidrógeno . ^[13] En los procesos de separación como la nanofiltración , la densidad de carga de los iones influye en su rechazo por la membrana. ^[14]

Véase también

• Ecuación de continuidad que relaciona la densidad de carga y la densidad de corriente
• Potencial iónico
• Onda de densidad de carga

Referencias

1. PM Whelan, MJ Hodgson (1978). Principios esenciales de la física (2.ª ed.). John Murray. ISBN 0-7195-3382-1.
2. "Física 2: Electricidad y magnetismo, notas del curso, cap. 2, pág. 15-16" (PDF) . MIT OpenCourseware . Instituto Tecnológico de Massachusetts. 2007 . Consultado el 3 de diciembre de 2017 .
3. Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2013). Física para científicos e ingenieros, vol. 2, 9.ª edición, Cengage Learning, pág. 704. ISBN 9781133954149.
4. Purcell, Edward (22 de septiembre de 2011). Electricidad y magnetismo. Cambridge University Press. ISBN 9781107013605.
5. IS Grant; WR Phillips (2008). Electromagnetismo (2.ª ed.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
6. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
7. French, A. (1968). "8: Relatividad y electricidad". Relatividad especial . WW Norton . págs. 229–265.
8. Mould, Richard A. (2001). "Fuerza de Lorentz". Relatividad básica . Springer Science & Business Media . ISBN 0-387-95210-1.
9. Lawden, Derek F. (2012). Introducción al cálculo tensorial: relatividad y cosmología . Courier Corporation. pág. 74. ISBN 978-0-486-13214-3.
10. Vanderlinde, Jack (2006). "11.1: El tetrapotencial y la ley de Coulomb". Teoría electromagnética clásica . Springer Science & Business Media. pág. 314. ISBN 1-4020-2700-1.
11. Sakurai, Jun John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. 443–453. ISBN 978-1-108-47322-4.
12. Littlejohn, Robert G. "El método Hartree-Fock en átomos" (PDF) .
13. RJ Gillespie y PLA Popelier (2001). "Enlace químico y geometría molecular". Environmental Science & Technology . 52 (7). Oxford University Press: 4108–4116. Bibcode :2018EnST...52.4108E. doi :10.1021/acs.est.7b06400. PMID  29510032.
14. Razi Epsztein, Evyatar Shaulsky, Nadir Dizge, David M Warsinger, Menachem Elimelech (2018). "Exclusión de Donnan dependiente de la densidad de carga iónica en nanofiltración de aniones monovalentes". Environmental Science & Technology . 52 (7): 4108–4116. Bibcode :2018EnST...52.4108E. doi :10.1021/acs.est.7b06400. PMID  29510032.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Lectura adicional

• A. Halpern (1988). 3000 problemas resueltos de física . Serie Schaum, Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). Manual de fórmulas de física de Cambridge . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
• PA Tipler, G. Mosca (2008). Física para científicos e ingenieros: con física moderna (6.ª ed.). Freeman. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• RG Lerner , GL Trigg (1991). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). Editorial VHC. ISBN 978-0-89573-752-6.
• CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª ed.). Editorial VHC. ISBN 978-0-07-051400-3.

Enlaces externos

• [1] - Distribuciones de carga espacial