Densidad de estados

Número de estados físicos disponibles por unidad de energía

En física del estado sólido y física de la materia condensada , la densidad de estados ( DOS ) de un sistema describe el número de modos por unidad de rango de frecuencia. La densidad de estados se define como , donde es el número de estados en el sistema de volumen cuyas energías se encuentran en el rango de a . Se representa matemáticamente como una distribución mediante una función de densidad de probabilidad y generalmente es un promedio en los dominios espacial y temporal de los distintos estados ocupados por el sistema. La densidad de estados está directamente relacionada con las relaciones de dispersión de las propiedades del sistema. Un DOS alto en un nivel de energía específico significa que muchos estados están disponibles para ser ocupados. ${\displaystyle D(E)=N(E)/V}$ ${\displaystyle N(E)\delta E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+\delta E}$

Generalmente, la densidad de los estados de la materia es continua. Sin embargo, en sistemas aislados , como átomos o moléculas en fase gaseosa, la distribución de densidad es discreta , como una densidad espectral . Las variaciones locales, debidas con mayor frecuencia a distorsiones del sistema original, suelen denominarse densidades locales de estados (LDOS).

Introducción

En los sistemas de mecánica cuántica, las ondas, o partículas similares a ondas, pueden ocupar modos o estados con longitudes de onda y direcciones de propagación dictadas por el sistema. Por ejemplo, en algunos sistemas, el espaciado interatómico y la carga atómica de un material podrían permitir que sólo existan electrones de determinadas longitudes de onda. En otros sistemas, la estructura cristalina de un material podría permitir que las ondas se propaguen en una dirección, mientras que suprime la propagación de las ondas en otra dirección. A menudo, sólo se permiten estados específicos. Así, puede suceder que muchos estados estén disponibles para ser ocupados en un nivel de energía específico, mientras que ningún estado esté disponible en otros niveles de energía.

Si observamos la densidad de estados de los electrones en el borde de la banda entre las bandas de valencia y de conducción en un semiconductor, para un electrón en la banda de conducción, un aumento de la energía del electrón hace que haya más estados disponibles para su ocupación. Alternativamente, la densidad de estados es discontinua durante un intervalo de energía, lo que significa que no hay estados disponibles para que los electrones los ocupen dentro de la banda prohibida del material. Esta condición también significa que un electrón en el borde de la banda de conducción debe perder al menos la energía de la banda prohibida del material para poder pasar a otro estado en la banda de valencia.

Esto determina si el material es un aislante o un metal en la dimensión de la propagación. El resultado del número de estados en una banda también es útil para predecir las propiedades de conducción. Por ejemplo, en una estructura cristalina unidimensional, un número impar de electrones por átomo da como resultado una banda superior medio llena; hay electrones libres en el nivel de Fermi dando como resultado un metal. Por otro lado, un número par de electrones llena exactamente un número entero de bandas, dejando el resto vacío. Si entonces el nivel de Fermi se encuentra en una banda prohibida ocupada entre el estado ocupado más alto y el estado vacío más bajo, el material será un aislante o semiconductor .

Dependiendo del sistema de mecánica cuántica, la densidad de estados se puede calcular para electrones , fotones o fonones , y se puede dar en función de la energía o del vector de onda k . Para convertir entre el DOS en función de la energía y el DOS en función del vector de onda, se debe conocer la relación de dispersión de energía específica del sistema entre E y k .

En general, las propiedades topológicas del sistema, como la estructura de bandas, tienen un impacto importante en las propiedades de la densidad de estados. Los sistemas más conocidos, como la materia de neutrones en las estrellas de neutrones y los gases de electrones libres en los metales (ejemplos de materia degenerada y un gas de Fermi ), tienen una topología euclidiana tridimensional . Los sistemas menos familiares, como los gases de electrones bidimensionales (2DEG) en capas de grafito y el sistema cuántico de efecto Hall en dispositivos tipo MOSFET , tienen una topología euclidiana bidimensional. Aún menos conocidos son los nanotubos de carbono , el cable cuántico y el líquido de Luttinger con sus topologías unidimensionales. Es probable que los sistemas con topologías 1D y 2D se vuelvan más comunes, suponiendo que continúen los avances en nanotecnología y ciencia de materiales .

Definición

La densidad de estados relacionados con los niveles de energía contables del volumen V y N se define como:

$${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\,\sum _{i=1}^{N}\delta (E-E({\mathbf {k} }_{i})).}$$

${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\Delta k)^{d}=({2\pi }/{L})^{d}}$ ${\displaystyle L\to \infty }$

$${\displaystyle D(E):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\cdot \delta (E-E(\mathbf {k} )),}$$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Para sistemas unidimensionales isotrópicos con dispersión de energía parabólica, la densidad de estados es . En dos dimensiones la densidad de estados es una constante , mientras que en tres dimensiones se vuelve constante . ${\textstyle D_{1D}(E)={\tfrac {1}{2\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}}$ ${\displaystyle D_{2D}={\tfrac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle D_{3D}(E)={\tfrac {m}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}}$

De manera equivalente, la densidad de estados también puede entenderse como la derivada de la función de partición microcanónica (es decir, el número total de estados con energía menor que ) con respecto a la energía: ${\displaystyle Z_{m}(E)}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}.}$$

El número de estados con energía (grado de degeneración) viene dado por: ${\displaystyle E'}$

$${\displaystyle g\left(E'\right)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E'}^{E'+\Delta E}D(E)\,\mathrm {d} E=\lim _{\Delta E\to 0}D\left(E'\right)\Delta E,}$$

Simetría

Primera zona de Brillouin de la red FCC , un octaedro truncado , que muestra etiquetas de simetría para líneas y puntos de alta simetría

Existe una gran variedad de sistemas y tipos de estados para los cuales se pueden realizar cálculos de DOS.

Algunos sistemas de materia condensada poseen una simetría estructural a escala microscópica que puede aprovecharse para simplificar el cálculo de sus densidades de estados. En sistemas esféricamente simétricos, las integrales de funciones son unidimensionales porque todas las variables en el cálculo dependen únicamente del parámetro radial de la relación de dispersión. Los fluidos , los vidrios y los sólidos amorfos son ejemplos de sistema simétrico cuyas relaciones de dispersión tienen una simetría rotacional.

Octaedro.

Las mediciones en polvos o muestras policristalinas requieren funciones de evaluación y cálculo e integrales en todo el dominio , generalmente una zona de Brillouin , de las relaciones de dispersión del sistema de interés. A veces la simetría del sistema es alta, lo que hace que la forma de las funciones que describen las relaciones de dispersión del sistema aparezcan muchas veces en todo el dominio de la relación de dispersión. En tales casos el esfuerzo para calcular el DOS puede reducirse en gran medida cuando el cálculo se limita a una zona reducida o dominio fundamental . ^[1] La zona de Brillouin de la red cúbica centrada en las caras (FCC) en la figura de la derecha tiene la simetría de 48 veces del grupo de puntos Oh _h con simetría octaédrica completa . Esta configuración significa que la integración en todo el dominio de la zona de Brillouin puede reducirse a una 48ª parte de toda la zona de Brillouin. Como muestra la tabla periódica de estructura cristalina , hay muchos elementos con una estructura cristalina FCC, como el diamante , el silicio y el platino , y sus zonas de Brillouin y sus relaciones de dispersión tienen esta simetría de 48 veces. Otras dos estructuras cristalinas familiares son la red cúbica centrada en el cuerpo (BCC) y las estructuras hexagonales empaquetadas cerradas (HCP) con redes cúbicas y hexagonales, respectivamente. La estructura BCC tiene la simetría piritoédrica de 24 veces del grupo de _puntos Th . La estructura HCP tiene la simetría diédrica prismática de 12 veces del grupo de puntos D _3h . Puede encontrar una lista completa de las propiedades de simetría de un grupo de puntos en las tablas de caracteres de grupos de puntos .

En general es más fácil calcular un DOS cuando la simetría del sistema es mayor y el número de dimensiones topológicas de la relación de dispersión es menor. El DOS de las relaciones de dispersión con simetría rotacional a menudo se puede calcular analíticamente. Este resultado es afortunado, ya que muchos materiales de interés práctico, como el acero y el silicio, tienen una alta simetría.

En sistemas anisotrópicos de materia condensada, como un monocristal de un compuesto, la densidad de estados podría ser diferente en una dirección cristalográfica que en otra. Esto hace que la densidad anisotrópica de estados sea más difícil de visualizar y puede requerir métodos como calcular el DOS solo para puntos o direcciones particulares, o calcular la densidad de estados proyectada (PDOS) para una orientación de cristal particular.

topologías del espacio k

Figura 1: Superficie esférica en el espacio k para electrones en tres dimensiones.

La densidad de estados depende de los límites dimensionales del objeto mismo. En un sistema descrito por tres parámetros ortogonales (3 dimensiones), las unidades de DOS son [Energía] ⁻¹ [Volumen] ⁻¹ , en un sistema bidimensional, las unidades de DOS son [Energía] ⁻¹ [Área] ⁻¹ , en un sistema unidimensional, las unidades de DOS son [Energía] ⁻¹ [Longitud] ⁻¹ . El volumen al que se hace referencia es el volumen del espacio k ; el espacio encerrado por la superficie de energía constante del sistema derivado a través de una relación de dispersión que relaciona E con k . En la Fig. 1 se da un ejemplo de un espacio k tridimensional. Se puede ver que la dimensionalidad del sistema limita el momento de las partículas dentro del sistema.

Densidad de estados del vector de onda (esfera)

El cálculo para DOS comienza contando los N estados permitidos en un cierto k que están contenidos dentro de [ k , k + d k ] dentro del volumen del sistema. Este procedimiento se realiza diferenciando todo el volumen del espacio k en n dimensiones en un k arbitrario , con respecto a k . El volumen, área o longitud en espacios k esféricos de 3, 2 o 1 dimensión se expresan mediante ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$

$${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

para un espacio k n -dimensional con las constantes determinadas topológicamente

$${\displaystyle c_{1}=2,\ c_{2}=\pi ,\ c_{3}={\frac {4\pi }{3}}}$$

para funciones de forma simétrica lineal, de disco y esférica en espacios k

Según este esquema, la densidad de los estados del vector de onda N se expresa, diferenciando con respecto a k , por ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$

$${\displaystyle N_{n}(k)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(k)}{\mathrm {d} k}}=n\;c_{n}\;k^{n-1}}$$

La densidad unidimensional, bidimensional y tridimensional de los estados del vector de onda para una línea, disco o esfera se escribe explícitamente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{1}(k)&=2\\N_{2}(k)&=2\pi k\\N_{3}(k)&=4\pi k^{2}\end{aligned}}}$$

Un estado es lo suficientemente grande como para contener partículas que tienen una longitud de onda λ. La longitud de onda está relacionada con k mediante la relación.

$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

En un sistema cuántico, la longitud de λ dependerá de un espaciamiento característico del sistema L que confina las partículas. Finalmente, la densidad de estados N se multiplica por un factor , donde s es un factor de degeneración constante que representa los grados de libertad internos debido a fenómenos físicos como el espín o la polarización. Si tal fenómeno no está presente, entonces . V _k es el volumen en el espacio k cuyos vectores de onda son más pequeños que los vectores de onda más pequeños posibles decididos por el espaciamiento característico del sistema. ${\displaystyle s/V_{k}}$ ${\displaystyle s=1}$

Densidad de estados de energía.

Para finalizar el cálculo para DOS, encuentre el número de estados por unidad de volumen de muestra en una energía dentro de un intervalo . La forma general de DOS de un sistema se da como ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [E,E+\mathrm {d} E]}$

$${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(E)}{\mathrm {d} E}}}$$

sólomonótonamente crecientesesféricamente simétricas . DE,inversa de la relación de dispersiónk^{[2] [3]} ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(E)}$

Relaciones de dispersión

La relación de dispersión de electrones en un sólido viene dada por la estructura de bandas electrónicas .

La energía cinética de una partícula depende de la magnitud y dirección del vector de onda k , las propiedades de la partícula y el entorno en el que se mueve. Por ejemplo, la energía cinética de un electrón en un gas de Fermi viene dada por

$${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {\left(\hbar k\right)^{2}}{2m}}\ ,}$$

donde m es la masa del electrón . La relación de dispersión es una parábola esféricamente simétrica y aumenta continuamente, por lo que el DOS se puede calcular fácilmente.

Figura 2: Relación de dispersión de fonones de cadena monoatómica

Para fonones longitudinales en una cadena de átomos, la relación de dispersión de la energía cinética en un espacio k unidimensional , como se muestra en la Figura 2, viene dada por

$${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}$$

${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k_{\text{F}}/m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{\text{F}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k\ll \pi /a}$

$${\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka}$$

Cuando la energía es ${\displaystyle k\approx \pi /a}$

$${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\cos \left({\frac {\pi -ka}{2}}\right)\right|}$$

Con la transformación y pequeña esta relación se puede transformar a ${\displaystyle q=k-\pi /a}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left[1-\left({\frac {qa}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Relaciones de dispersión isotrópicas.

Los dos ejemplos mencionados aquí se pueden expresar como

$${\displaystyle E=E_{0}+c_{k}k^{p}}$$

Esta expresión es una especie de relación de dispersión porque interrelaciona dos propiedades de la onda y es isotrópica porque en la expresión solo aparece la longitud y no la dirección del vector de onda. La magnitud del vector de onda está relacionada con la energía como:

$${\displaystyle k=\left({\frac {E-E_{0}}{c_{k}}}\right)^{{1}/{p}},}$$

En consecuencia, el volumen del espacio k n-dimensional que contiene vectores de onda más pequeños que k es:

$${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

La sustitución de la relación de energía isotrópica da el volumen de los estados ocupados.

$${\displaystyle \Omega _{n}(E)={\frac {c_{n}}{{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{n}/{p}},}$$

Diferenciar este volumen con respecto a la energía da una expresión para el DOS de la relación de dispersión isotrópica

$${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} E}}\Omega _{n}(E)={\frac {nc_{n}}{p{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{\frac {n}{p}}-1}}$$

dispersión parabólica

Figura 3: DOS de electrones libres en el espacio k tridimensional

En el caso de una relación de dispersión parabólica ( p = 2), como la que se aplica a los electrones libres en un gas de Fermi, la densidad de estados resultante, para electrones en un sistema n-dimensional es ${\displaystyle D_{n}\left(E\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{2{\sqrt {c_{k}\left(E-E_{0}\right)}}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&={\frac {\pi }{2c_{k}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\,.\end{aligned}}}$$

para , con para . ${\displaystyle E>E_{0}}$ ${\displaystyle D(E)=0}$ ${\displaystyle E<E_{0}}$

En sistemas unidimensionales, el DOS diverge en la parte inferior de la banda cuando cae a . En sistemas bidimensionales el DOS resulta ser independiente de . Finalmente, para sistemas tridimensionales, el DOS aumenta como la raíz cuadrada de la energía. ^[4] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E}$

Incluyendo el prefactor , la expresión para DOS 3D es ${\displaystyle s/V_{k}}$

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}},}$$

donde es el volumen total e incluye la degeneración de giro doble. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N(E-E_{0})}$

Dispersión lineal

En el caso de una relación lineal ( p = 1), como la que se aplica a los fotones , los fonones acústicos o algunos tipos especiales de bandas electrónicas en un sólido, el DOS en sistemas de 1, 2 y 3 dimensiones se relaciona con la energía como :

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{c_{k}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&=2\pi {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{2}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=4\pi {\frac {\left(E-E_{0}\right)^{2}}{c_{k}^{3}}}\end{aligned}}}$$

Funciones de distribución

La densidad de estados juega un papel importante en la teoría cinética de los sólidos . El producto de la densidad de estados y la función de distribución de probabilidad es el número de estados ocupados por unidad de volumen a una energía determinada para un sistema en equilibrio térmico. Este valor se utiliza ampliamente para investigar diversas propiedades físicas de la materia. Los siguientes son ejemplos, utilizando dos funciones de distribución comunes, de cómo la aplicación de una función de distribución a la densidad de estados puede dar lugar a propiedades físicas.

Figura 4: El  Distribución de probabilidad de Fermi-Dirac,  densidad de estados, y  su producto para un semiconductor. El lóbulo verde inferior representa la energía del agujero y, por lo tanto, se utiliza como función de distribución. ${\displaystyle f(-x)}$

Estadísticas de Fermi-Dirac : La función de distribución de probabilidad de Fermi-Dirac, Fig. 4, se utiliza para encontrar la probabilidad de que un fermión ocupe un estado cuántico específico en un sistema en equilibrio térmico. Los fermiones son partículas que obedecen al principio de exclusión de Pauli (p. ej. electrones, protones, neutrones). La función de distribución se puede escribir como

$${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}.}$$

${\displaystyle \mu }$es el potencial químico (también denominado E _F y llamado nivel de Fermi cuando T = 0), es la constante de Boltzmann y es la temperatura. La figura 4 ilustra cómo el producto de la función de distribución de Fermi-Dirac y la densidad tridimensional de estados de un semiconductor puede dar información sobre propiedades físicas como la concentración de portadores y las bandas prohibidas de energía. ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle T}$

Estadísticas de Bose-Einstein : la función de distribución de probabilidad de Bose-Einstein se utiliza para encontrar la probabilidad de que un bosón ocupe un estado cuántico específico en un sistema en equilibrio térmico. Los bosones son partículas que no obedecen el principio de exclusión de Pauli (por ejemplo, fonones y fotones). La función de distribución se puede escribir como

$${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\text{B}}T}}\right)-1}}.}$$

A partir de estas dos distribuciones es posible calcular propiedades como la energía interna por unidad de volumen , el número de partículas , la capacidad calorífica específica y la conductividad térmica . Las relaciones entre estas propiedades y el producto de la densidad de estados y la distribución de probabilidad, que denota la densidad de estados por en lugar de , están dadas por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]N&=V\int f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]c&={\frac {\partial }{\partial T}}\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]k&={\frac {1}{d}}{\frac {\partial }{\partial T}}\int Ef(E)\,g(E)\,\nu (E)\,\Lambda (E)\,\mathrm {d} E\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d}$es dimensionalidad, es velocidad del sonido y es camino libre medio . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda }$

Aplicaciones

La densidad de estados aparece en muchas áreas de la física y ayuda a explicar una serie de fenómenos de la mecánica cuántica.

Cuantización

El cálculo de la densidad de estados para estructuras pequeñas muestra que la distribución de electrones cambia a medida que se reduce la dimensionalidad. Para los cables cuánticos , el DOS para ciertas energías en realidad se vuelve más alto que el DOS para los semiconductores masivos, y para los puntos cuánticos los electrones se cuantifican a ciertas energías.

Cristales fotónicos

La densidad de estados de fotones se puede manipular mediante el uso de estructuras periódicas con escalas de longitud del orden de la longitud de onda de la luz. Algunas estructuras pueden inhibir completamente la propagación de la luz de ciertos colores (energías), creando una banda prohibida fotónica: el DOS es cero para esas energías de fotones. Otras estructuras pueden inhibir la propagación de la luz sólo en determinadas direcciones para crear espejos, guías de ondas y cavidades. Estas estructuras periódicas se conocen como cristales fotónicos . ^{[5] [6] [7] [8]} En medios nanoestructurados, el concepto de densidad local de estados (LDOS) suele ser más relevante que el de DOS, ya que el DOS varía considerablemente de un punto a otro.

Cálculo computacional

Los sistemas interesantes son en general complejos, por ejemplo compuestos, biomoléculas, polímeros, etc. Debido a la complejidad de estos sistemas, el cálculo analítico de la densidad de estados es en la mayoría de los casos imposible. Las simulaciones por computadora ofrecen un conjunto de algoritmos para evaluar la densidad de estados con alta precisión. Uno de estos algoritmos se llama algoritmo de Wang y Landau . ^[9]

Dentro del esquema de Wang y Landau se requiere cualquier conocimiento previo de la densidad de estados. Se procede de la siguiente manera: la función de costos (por ejemplo, la energía) del sistema se discretiza. Cada vez que se alcanza el contenedor i , se actualiza un histograma para la densidad de estados, , mediante ${\displaystyle g(i)}$

$${\displaystyle g(i)\rightarrow g(i)+f}$$

f

$${\displaystyle f_{n+1}\rightarrow {\frac {1}{2}}f_{n}}$$

nenésimo. ${\displaystyle f_{n}<10^{-8}}$

El algoritmo de Wang y Landau tiene algunas ventajas sobre otros algoritmos comunes, como las simulaciones multicanónicas y el templado paralelo . Por ejemplo, la densidad de estados se obtiene como producto principal de la simulación. Además, las simulaciones de Wang y Landau son completamente independientes de la temperatura. Esta característica permite calcular la densidad de estados de sistemas con un panorama energético muy accidentado, como las proteínas. ^[10]

Matemáticamente, la densidad de estados se formula en términos de una torre de mapas que los cubren. ^[11]

Densidad local de estados

Una característica importante de la definición de DOS es que puede extenderse a cualquier sistema. Una de sus propiedades es la invariabilidad traslacional, lo que significa que la densidad de los estados es homogénea y es la misma en cada punto del sistema. Pero este es sólo un caso particular y el LDOS da una descripción más amplia con una densidad heterogénea de estados a través del sistema.

Concepto

La densidad local de estados (LDOS) describe una densidad de estados resuelta en el espacio. En ciencia de materiales, por ejemplo, este término es útil al interpretar los datos de un microscopio de efecto túnel (STM), ya que este método es capaz de obtener imágenes de densidades electrónicas de estados con resolución atómica. Según la estructura cristalina, esta cantidad se puede predecir mediante métodos computacionales, como por ejemplo con la teoría funcional de la densidad .

Una definición general

En una densidad local de estados, la contribución de cada estado está ponderada por la densidad de su función de onda en el punto. se convierte ${\displaystyle N(E)}$ ${\displaystyle n(E,x)}$

$${\displaystyle n(E,x)=\sum _{j}|\phi _{j}(x)|^{2}\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

el factor de significa que cada estado aporta más en las regiones donde la densidad es alta. Un promedio superior a esta expresión restaurará la fórmula habitual para DOS. El LDOS es útil en sistemas no homogéneos, donde contiene más información que solo. ${\displaystyle |\phi _{j}(x)|^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n(E,x)}$ ${\displaystyle n(E)}$

Para un sistema unidimensional con una pared, las ondas sinusoidales dan

$${\displaystyle n_{1D}(E,x)={\frac {2}{\pi \hbar }}{\sqrt {\frac {2m}{E}}}\sin ^{2}{kx}}$$

dónde . ${\textstyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$

En un sistema tridimensional con la expresión es ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle n_{3D}(E,x)=\left(1-{\frac {\sin {2kx}}{2kx}}\right)n_{3D}(E)}$$

De hecho, podemos generalizar la densidad local de estados más allá de

$${\displaystyle n(E,x,x')=\sum _{j}\phi _{j}(x)\phi _{j}^{*}(x')\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

esto se llama función espectral y es una función con cada función de onda por separado en su propia variable. En teoría más avanzada, está relacionado con las funciones de Green y proporciona una representación compacta de algunos resultados, como la absorción óptica .

El espacio resolvió la densidad local de estados. Una secuencia de imágenes con polarización de puerta variable en un MOSFET de nanocables con polarización de drenaje {{{1}}} Observe los niveles de energía confinados a medida que se mueven con una polarización de puerta creciente.

Dispositivos de estado sólido

LDOS se puede utilizar para obtener ganancias en un dispositivo de estado sólido. Por ejemplo, la figura de la derecha ilustra el LDOS de un transistor mientras se enciende y apaga en una simulación balística. El LDOS tiene un límite claro en la fuente y el drenaje, que corresponde a la ubicación del borde de la banda. En el canal, el DOS aumenta a medida que aumenta el voltaje de la puerta y disminuye la barrera de potencial.

Óptica y fotónica

En óptica y fotónica , el concepto de densidad local de estados se refiere a los estados que puede ocupar un fotón. En el caso de la luz, normalmente se mide mediante métodos de fluorescencia, métodos de escaneo de campo cercano o técnicas de catodoluminiscencia. Para diferentes estructuras fotónicas, los LDOS tienen diferentes comportamientos y controlan la emisión espontánea de diferentes maneras. En los cristales fotónicos, se esperan LDOS cercanos a cero y provocan inhibición en la emisión espontánea. ^[12] Los LDOS todavía están en cristales fotónicos pero ahora están en la cavidad. En este caso, los LDOS pueden mejorarse mucho más y son proporcionales a las mejoras de Purcell de la emisión espontánea. ^{[13] [14]} También se espera una mejora similar de LDOS en la cavidad plasmónica. ^[15] Sin embargo, en nanoestructuras fotónicas desordenadas, los LDOS se comportan de manera diferente. Fluctúan espacialmente y sus estadísticas son proporcionales a la fuerza de dispersión de las estructuras. ^[16] Además, la relación con la trayectoria libre media de la dispersión es trivial, ya que el LDOS todavía puede verse fuertemente influenciado por los detalles breves de trastornos fuertes en forma de un fuerte aumento de Purcell de la emisión. ^[17] y finalmente, para el trastorno plasmónico, este efecto es mucho más fuerte para las fluctuaciones de LDOS, ya que puede observarse como una fuerte localización de campo cercano. ^[18]

Ver también

• Masa efectiva (física del estado sólido)
• Estructura de la banda
• k·p teoría de la perturbación
• Semiconductor
• Conduccion electrica
• banda de valencia
• Modelo de Kronig-Penney
• Modelo de unión ajustada
• Aproximación del molde para muffins
• Guía de Britney Spears sobre física de semiconductores

Referencias

1. Walter Ashley Harrison (1989). Estructura electrónica y propiedades de los sólidos. Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-66021-9.
2. Cálculo de densidad de muestra de estados
3. "Otro cálculo de densidad de estados". Archivado desde el original el 16 de mayo de 2008 . Consultado el 22 de mayo de 2008 .
4. Charles Kittel (1996). Introducción a la Física del Estado Sólido (7ª ed.). Wiley. Ecuación (37), pág. 216.ISBN​ 978-0-471-11181-8.
5. Yablonovitch, E. (1987). "Emisión espontánea inhibida en física y electrónica del estado sólido". Física. Rev. Lett . 58 (20): 2059-2062. Código bibliográfico : 1987PhRvL..58.2059Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.58.2059 . PMID  10034639.
6. Juan, Sajeev; Wang, Jian (1990). "Electrodinámica cuántica cerca de una banda prohibida fotónica: estados ligados a fotones y átomo vestido". Física. Rev. Lett . 64 (20): 2418–2421. Código bibliográfico : 1990PhRvL..64.2418J. doi :10.1103/PhysRevLett.64.2418. PMID  10041707.
7. Lodahl, P.; van Driel, AF; Nikolaev, I. (2004). "Control de la dinámica de la emisión espontánea de puntos cuánticos mediante cristales fotónicos". Naturaleza . 430 (1): 654–657. Código Bib :2004Natur.430..654L. doi : 10.1038/naturaleza02772. hdl : 1874/16698 . PMID  15295594. S2CID  4334567.
8. Fujita, Masayuki; Takahashi, Shigeki; Tanaka, Yoshinori; Asano, Takashi; Noda, Susumu (2005). "Inhibición y redistribución simultánea de la emisión de luz espontánea en cristales fotónicos". Ciencia . 308 (5726): 1296–1298. Código bibliográfico : 2005 Ciencia... 308.1296F. doi : 10.1126/ciencia.1110417. PMID  15919989. S2CID  30116866.
9. Wang, Fugao; Landau, DP (2001). "Algoritmo de recorrido aleatorio eficiente y de rango múltiple para calcular la densidad de estados". Física. Rev. Lett . 86 (10): 2050-2053. arXiv : cond-mat/0011174 . Código Bib : 2001PhRvL..86.2050W. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.2050. PMID  11289852. S2CID  2941153.
10. Ojeda, P.; García, M. (2010). "Alteración impulsada por un campo eléctrico de la conformación de una proteína de hoja beta nativa y generación de una estructura de hélice". Revista Biofísica . 99 (2): 595–599. Código Bib : 2010BpJ....99..595O. doi :10.1016/j.bpj.2010.04.040. PMC 2905109 . PMID  20643079. 
11. Adachi T. y Sunada. T. (1993). "Densidad de estados en geometría espectral de estados en geometría espectral". Comentario. Matemáticas. Helv . 68 : 480–493. doi :10.1007/BF02565831. S2CID  120828817.
12. Sprik, R.; van Tiggelen, Licenciado en Licenciatura; Lagendijk, A. (1996). "Densidad de estados en geometría espectral de estados en geometría espectral". Eurofis. Lett . 35 (4): 265–270. doi :10.1209/epl/i1996-00564-y. S2CID  250854036.
13. Englund, Dirk; Fattal, David; Waks, Edo; Salomón, Glenn; Zhang, Bingyang; Nakaoka, Toshihiro; Arakawa, Yasuhiko; Yamamoto, Yoshihisa; Vuckovic, Jelena (2005). "Control de la tasa de emisión espontánea de puntos cuánticos individuales en un cristal fotónico bidimensional". Física. Rev. Lett . 95 (1): 013904. arXiv : quant-ph/0501091 . Código bibliográfico : 2005PhRvL..95a3904E. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.013904. PMID  16090618. S2CID  9049385.
14. Birowosuto, M.; Sumikura, H.; Matsuo, S.; Notomi, M. (2012). "Fuente rápida de fotón único mejorada por Purcell en una banda de telecomunicaciones de 1.550 nm a partir de un acoplamiento cuántico resonante de cavidad de punto". Ciencia. Representante . 2 (1): 321. arXiv : 1203.6171 . Código Bib : 2012NatSR...2E.321B. doi : 10.1038/srep00321 . PMC 3307054 . PMID  22432053. 
15. Farahani, JN; Pohl, DW; Eisler, H.-J.; Hecht, B. (2005). "Punto cuántico único acoplado a una antena óptica de escaneo: un superemisor sintonizable". Física. Rev. Lett . 95 (1): 017402. Código bibliográfico : 2005PhRvL..95a7402F. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.017402. PMID  16090656.
16. Birowosuto, M.; Skipetrov, S.; Vos, W.; Moscú, A. (2010). "Observación de fluctuaciones espaciales de la densidad local de estados en medios fotónicos aleatorios". Física. Rev. Lett . 105 (1): 013904. arXiv : 1002.3186 . Código bibliográfico : 2010PhRvL.105a3904B. doi : 10.1103/PhysRevLett.105.013904. PMID  20867448. S2CID  25044558.
17. Sapienza, R.; Bondareff, P.; Pierrat, R.; Habert, B.; Carminati, R.; van Hulst, NF (2011). "Estadísticas de cola larga del factor Purcell en medios desordenados impulsados ​​por interacciones de campo cercano". Física. Rev. Lett . 106 (16): 163902. Código bibliográfico : 2011PhRvL.106p3902S. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.163902. PMID  21599367.
18. Krachmalnicoff, V.; Castanié, E.; De Wilde, Y.; Carminati, R. (2010). "Estadísticas de cola larga del factor Purcell en medios desordenados impulsadas por interacciones de campo cercano". Física. Rev. Lett . 105 (18): 183901. arXiv : 1007.3691 . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.183901. PMID  21231105. S2CID  15590513.

Otras lecturas

• Chen, pandilla. Transporte y conversión de energía a nanoescala. Nueva York: Oxford, 2005
• Streetman, Ben G. y Sanjay Banerjee. Dispositivos electrónicos de estado sólido. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, 2000.
• Muller, Richard S. y Theodore I. Kamins. Electrónica de dispositivos para circuitos integrados. Nueva York: John Wiley and Sons, 2003.
• Kittel, Charles y Herbert Kroemer. Física Térmica. Nueva York: WH Freeman and Company, 1980
• Sze, Simon M. Física de dispositivos semiconductores. Nueva York: John Wiley and Sons, 1981

enlaces externos

• Conferencia en línea:ECE 606 Conferencia 8: Densidad de estados por M. Alam
• Los científicos arrojan luz sobre materiales brillantes Cómo medir el LDOS fotónico