Trayectoria libre media

Distancia media recorrida por una partícula en movimiento entre impactos con otras partículas

En física , el camino libre medio es la distancia promedio que recorre una partícula en movimiento (como un átomo , una molécula o un fotón ) antes de cambiar sustancialmente su dirección o energía (o, en un contexto específico, otras propiedades), generalmente como resultado de una o más colisiones sucesivas con otras partículas.

Teoría de la dispersión

Losa de objetivo

Imaginemos que se dispara un haz de partículas a través de un objetivo y consideremos una lámina infinitesimalmente delgada del objetivo (véase la figura). ^[1] Los átomos (o partículas) que podrían detener una partícula del haz se muestran en rojo. La magnitud del camino libre medio depende de las características del sistema. Suponiendo que todas las partículas del objetivo están en reposo pero solo la partícula del haz se mueve, esto nos da una expresión para el camino libre medio:

${\displaystyle \ell =(\sigma n)^{-1},}$

donde ℓ es el recorrido libre medio, n es el número de partículas objetivo por unidad de volumen y σ es el área transversal efectiva para la colisión.

El área de la placa es L ² y su volumen es L ²  dx . El número típico de átomos de frenado en la placa es la concentración n multiplicada por el volumen, es decir, n L ²  dx . La probabilidad de que una partícula del haz se detenga en esa placa es el área neta de los átomos de frenado dividida por el área total de la placa:

${\displaystyle {\mathcal {P}}({\text{stopping within }}dx)={\frac {{\text{Area}}_{\text{atoms}}}{{\text{Area}}_{\text{slab}}}}={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,}$

donde σ es el área (o, más formalmente, la " sección transversal de dispersión ") de un átomo.

La caída de la intensidad del haz es igual a la intensidad del haz entrante multiplicada por la probabilidad de que la partícula se detenga dentro de la losa:

${\displaystyle dI=-In\sigma \,dx.}$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria :

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-In\sigma {\overset {\text{def}}{=}}-{\frac {I}{\ell }},}$

cuya solución se conoce como ley de Beer-Lambert y tiene la forma , donde x es la distancia recorrida por el haz a través del objetivo, e I ₀ es la intensidad del haz antes de que entrara en el objetivo; ℓ se llama el camino libre medio porque es igual a la distancia media recorrida por una partícula del haz antes de detenerse. Para ver esto, observe que la probabilidad de que una partícula sea absorbida entre x y x + dx está dada por ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell }}$

${\displaystyle d{\mathcal {P}}(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.}$

Por lo tanto, el valor esperado (o promedio, o simplemente media) de x es

${\displaystyle \langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .}$

La fracción de partículas que no son detenidas ( atenuadas ) por la losa se llama transmisión , donde x es igual al espesor de la losa. ${\displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }}$

Teoría cinética de los gases

En la teoría cinética de los gases , el recorrido libre medio de una partícula, como una molécula , es la distancia media que recorre la partícula entre colisiones con otras partículas en movimiento. La derivación anterior suponía que las partículas objetivo estaban en reposo; por lo tanto, en realidad, la fórmula es válida para una partícula de haz con una velocidad alta en relación con las velocidades de un conjunto de partículas idénticas con ubicaciones aleatorias. En ese caso, los movimientos de las partículas objetivo son comparativamente insignificantes, de ahí la velocidad relativa . ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\rm {rel}}\approx v}$

Si, por el contrario, la partícula del haz es parte de un equilibrio establecido con partículas idénticas, entonces el cuadrado de la velocidad relativa es:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.}$

En equilibrio, y son aleatorios y no correlacionados, por lo tanto , y la velocidad relativa es ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0}$

${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}$

Esto significa que el número de colisiones es el mismo que el número de colisiones con objetivos estacionarios. Por lo tanto, se aplica la siguiente relación: ^[2] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1},}$

y utilizando ( ley de los gases ideales ) y (área de sección transversal efectiva para partículas esféricas con diámetro ), se puede demostrar que el camino libre medio es ^[3] ${\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}$ ${\displaystyle \sigma =\pi d^{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , es la presión del gas y es la temperatura absoluta. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$

En la práctica, el diámetro de las moléculas de gas no está bien definido. De hecho, el diámetro cinético de una molécula se define en términos del recorrido libre medio. Normalmente, las moléculas de gas no se comportan como esferas duras, sino que se atraen entre sí a distancias mayores y se repelen entre sí a distancias menores, como se puede describir con un potencial de Lennard-Jones . Una forma de tratar con estas moléculas "blandas" es utilizar el parámetro σ de Lennard-Jones como diámetro.

Otra forma es suponer que un gas esférico duro tiene la misma viscosidad que el gas real que se está considerando. Esto conduce a un recorrido libre medio ^[4]

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}$

donde μ es la masa molecular, μ es la densidad del gas ideal y μ es la viscosidad dinámica. Esta expresión se puede expresar de la siguiente manera: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \rho =mp/(k_{\text{B}}T)}$

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{\rm {specific}}T}{2}}},}$

siendo la constante específica del gas , igual a 287 J/(kg*K) para el aire. ${\displaystyle R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m}$

En la siguiente tabla se enumeran algunos valores típicos para el aire a diferentes presiones y a temperatura ambiente. Tenga en cuenta que las diferentes definiciones del diámetro molecular, así como las diferentes suposiciones sobre el valor de la presión atmosférica (100 frente a 101,3 kPa) y la temperatura ambiente (293,17 K frente a 296,15 K o incluso 300 K) pueden dar lugar a valores ligeramente diferentes del recorrido libre medio.

En otros campos

Radiografía

Trayectoria libre media de los fotones en el rango de energía de 1 keV a 20 MeV para elementos con Z = 1 a 100. ^[6] Las discontinuidades se deben a la baja densidad de elementos gaseosos. Seis bandas corresponden a los vecindarios de seis gases nobles . También se muestran las ubicaciones de los bordes de absorción .

En la radiografía de rayos gamma, el recorrido libre medio de un haz de fotones monoenergéticos es la distancia media que recorre un fotón entre colisiones con átomos del material objetivo. Depende del material y de la energía de los fotones:

${\displaystyle \ell =\mu ^{-1}=((\mu /\rho )\rho )^{-1},}$

donde μ es el coeficiente de atenuación lineal , μ/ρ es el coeficiente de atenuación de masa y ρ es la densidad del material. El coeficiente de atenuación de masa se puede buscar o calcular para cualquier combinación de materiales y energía utilizando las bases de datos del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST). ^{[7] [8]}

En la radiografía de rayos X, el cálculo del recorrido libre medio es más complicado, porque los fotones no son monoenergéticos, sino que tienen una distribución de energías llamada espectro . A medida que los fotones se mueven a través del material objetivo, se atenúan con probabilidades que dependen de su energía, como resultado, su distribución cambia en un proceso llamado endurecimiento del espectro. Debido al endurecimiento del espectro, el recorrido libre medio del espectro de rayos X cambia con la distancia.

A veces se mide el espesor de un material en número de caminos libres medios . Un material con un espesor de un camino libre medio atenuará hasta el 37% (1/ e ) de los fotones. Este concepto está estrechamente relacionado con la capa de valor medio (HVL): un material con un espesor de un HVL atenuará el 50% de los fotones. Una imagen de rayos X estándar es una imagen de transmisión, una imagen con un logaritmo negativo de sus intensidades a veces se denomina imagen de número de caminos libres medios .

Electrónica

En el transporte de carga macroscópico, el recorrido libre medio de un portador de carga en un metal es proporcional a la movilidad eléctrica , un valor directamente relacionado con la conductividad eléctrica , es decir: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {q\tau }{m}}={\frac {q\ell }{m^{*}v_{\rm {F}}}},}$

donde q es la carga , es el tiempo libre medio , m ^* es la masa efectiva y vF es la velocidad de Fermi _del portador de carga. La velocidad de Fermi se puede derivar fácilmente de la energía de Fermi a través de la ecuación de energía cinética no relativista. Sin embargo, en películas delgadas , el espesor de la película puede ser menor que el camino libre medio previsto, lo que hace que la dispersión de la superficie sea mucho más notoria, lo que aumenta efectivamente la resistividad . ${\displaystyle \tau }$

La movilidad de los electrones a través de un medio con dimensiones menores que el recorrido libre medio de los electrones se produce mediante conducción balística o transporte balístico. En tales casos, los electrones modifican su movimiento únicamente en caso de colisión con las paredes del conductor.

Óptica

Si se toma una suspensión de partículas no absorbentes de luz de diámetro d con una fracción de volumen Φ , el camino libre medio de los fotones es: ^[9]

${\displaystyle \ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{\text{s}}}},}$

donde Q _s es el factor de eficiencia de dispersión. Q _s se puede evaluar numéricamente para partículas esféricas utilizando la teoría de Mie .

Acústica

En una cavidad que por lo demás está vacía, la trayectoria libre media de una única partícula que rebota en las paredes es:

${\displaystyle \ell ={\frac {FV}{S}},}$

donde V es el volumen de la cavidad, S es la superficie interior total de la cavidad y F es una constante relacionada con la forma de la cavidad. Para la mayoría de las formas de cavidades simples, F es aproximadamente 4. ^[10]

Esta relación se utiliza en la derivación de la ecuación de Sabine en acústica, utilizando una aproximación geométrica de la propagación del sonido. ^[11]

Física nuclear y de partículas

En física de partículas, el concepto de trayectoria libre media no se utiliza habitualmente, y se ha sustituido por el concepto similar de longitud de atenuación . En particular, para fotones de alta energía, que interactúan principalmente mediante la producción de pares electrón-positrón , la longitud de radiación se utiliza de forma muy similar a la trayectoria libre media en radiografía.

Los modelos de partículas independientes en física nuclear requieren la órbita sin perturbaciones de los nucleones dentro del núcleo antes de que interactúen con otros nucleones. ^[12]

El recorrido libre medio efectivo de un nucleón en la materia nuclear debe ser algo mayor que las dimensiones nucleares para permitir el uso del modelo de partícula independiente. Este requisito parece estar en contradicción con los supuestos formulados en la teoría... Nos enfrentamos aquí a uno de los problemas fundamentales de la física de la estructura nuclear que aún no se ha resuelto.

—  John Markus Blatt y Victor Weisskopf , Física nuclear teórica (1952) ^[13]

Véase también

• Teoría de la dispersión
• Conducción balística
• Vacío
• Número de Knudsen
• Óptica

Referencias

1. Chen, Frank F. (1984). Introducción a la física del plasma y la fusión controlada (1.ª ed.). Plenum Press. pág. 156. ISBN 0-306-41332-9.
2. S. Chapman y TG Cowling, La teoría matemática de los gases no uniformes, 3.ª edición, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , pág. 88. 
3. "Camino libre medio, colisiones moleculares". Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Consultado el 8 de noviembre de 2011 .
4. Vincenti, WG y Kruger, CH (1965). Introducción a la dinámica física de los gases . Krieger Publishing Company. pág. 414.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Jennings, S (1988). "El camino libre medio en el aire". Journal of Aerosol Science . 19 (2): 159. Bibcode :1988JAerS..19..159J. doi :10.1016/0021-8502(88)90219-4.
6. Basado en datos de "NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases". Physics.nist.gov. 1998-03-10 . Consultado el 2011-11-08 .
7. Hubbell, JH ; Seltzer, SM "Tablas de coeficientes de atenuación de masa de rayos X y coeficientes de absorción de energía de masa". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 19 de septiembre de 2007 .
8. Berger, MJ; Hubbell, JH ; Seltzer, SM; Chang, J.; Coursey, JS; Sukumar, R.; Zucker, DS "XCOM: Base de datos de secciones transversales de fotones". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) . Consultado el 19 de septiembre de 2007 .
9. Mengual, O.; Meunier, G.; Cayré, I.; Puech, K.; Snabre, P. (1999). "TURBISCAN MA 2000: medición de dispersión de luz múltiple para análisis de inestabilidad de emulsiones y suspensiones concentradas". Talanta . 50 (2): 445–56. doi :10.1016/S0039-9140(99)00129-0. PMID  18967735.
10. Young, Robert W. (julio de 1959). "Ecuación de reverberación de Sabine y cálculos de potencia sonora". Revista de la Sociedad Acústica de Estados Unidos . 31 (7): 918. Bibcode :1959ASAJ...31..912Y. doi :10.1121/1.1907816.
11. Davis, D. y Patronis, E. "Ingeniería de sistemas de sonido" (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 pág. 173. 
12. Cook, Norman D. (2010). "El camino libre medio de los nucleones en los núcleos". Modelos del núcleo atómico (2.ª ed.). Heidelberg: Springer . p. 324. ISBN 978-3-642-14736-4.
13. Blatt, John M.; Weisskopf, Victor F. (1979). Física nuclear teórica. doi :10.1007/978-1-4612-9959-2. ISBN 978-1-4612-9961-5.

Enlaces externos

• Calculadora de recorrido libre medio
• Caja de herramientas de dinámica de gases: cálculo del recorrido libre medio para mezclas de gases utilizando el modelo VHS