Camino libre medio

Distancia promedio recorrida por una partícula en movimiento entre impactos con otras partículas

En física , la trayectoria libre media es la distancia promedio sobre la cual viaja una partícula en movimiento (como un átomo , una molécula o un fotón ) antes de cambiar sustancialmente su dirección o energía (o, en un contexto específico, otras propiedades), generalmente como resultado de una o más colisiones sucesivas con otras partículas.

Teoría de la dispersión

Losa de objetivo

Imagine un haz de partículas disparado a través de un objetivo y considere una losa infinitamente delgada del objetivo (consulte la figura). ^[1] Los átomos (o partículas) que podrían detener una partícula del haz se muestran en rojo. La magnitud del camino libre medio depende de las características del sistema. Suponiendo que todas las partículas objetivo están en reposo pero solo la partícula del haz se está moviendo, eso da una expresión para el camino libre medio:

${\displaystyle \ell =(\sigma n)^{-1},}$

donde ℓ es el camino libre medio, n es el número de partículas objetivo por unidad de volumen y σ es el área de la sección transversal efectiva para la colisión.

El área de la losa es L ² y su volumen es L ²  dx . El número típico de átomos de parada en la losa es la concentración n veces el volumen, es decir, n L ²  dx . La probabilidad de que una partícula del haz se detenga en esa losa es el área neta de los átomos que se detienen dividida por el área total de la losa:

${\displaystyle {\mathcal {P}}({\text{stopping within }}dx)={\frac {{\text{Area}}_{\text{atoms}}}{{\text{Area}}_{\text{slab}}}}={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,}$

donde σ es el área (o, más formalmente, la " sección transversal de dispersión ") de un átomo.

La caída en la intensidad del haz es igual a la intensidad del haz entrante multiplicada por la probabilidad de que la partícula se detenga dentro de la losa:

${\displaystyle dI=-In\sigma \,dx.}$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria :

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-In\sigma {\overset {\text{def}}{=}}-{\frac {I}{\ell }},}$

cuya solución se conoce como ley de Beer-Lambert y tiene la forma , donde x es la distancia recorrida por el haz a través del objetivo, e I ₀ es la intensidad del haz antes de entrar en el objetivo; ℓ se llama camino libre medio porque es igual a la distancia media recorrida por una partícula de un haz antes de detenerse. Para ver esto, observe que la probabilidad de que una partícula sea absorbida entre x y x + dx está dada por ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell }}$

${\displaystyle d{\mathcal {P}}(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.}$

Por tanto, el valor esperado (o promedio, o simplemente media) de x es

${\displaystyle \langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .}$

La fracción de partículas que no son detenidas ( atenuadas ) por la losa se llama transmisión , donde x es igual al espesor de la losa. ${\displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }}$

Teoría cinética de los gases.

En la teoría cinética de los gases , la trayectoria libre media de una partícula, como una molécula , es la distancia promedio que recorre la partícula entre colisiones con otras partículas en movimiento. La derivación anterior asumió que las partículas objetivo estaban en reposo; por lo tanto, en realidad, la fórmula es válida para una partícula de haz con una velocidad alta en relación con las velocidades de un conjunto de partículas idénticas con ubicaciones aleatorias. En ese caso, los movimientos de las partículas objetivo son comparativamente insignificantes, de ahí la velocidad relativa . ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\rm {rel}}\approx v}$

Si, por el contrario, la partícula del haz forma parte de un equilibrio establecido con partículas idénticas, entonces el cuadrado de la velocidad relativa es:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.}$

En equilibrio, y son aleatorios y no correlacionados, por lo tanto , y la velocidad relativa es ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0}$

${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}$

Esto significa que el número de colisiones es multiplicado por el número de objetivos estacionarios. Por lo tanto, se aplica la siguiente relación: ^[2] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1},}$

y usando ( ley de los gases ideales ) y (área de sección transversal efectiva para partículas esféricas con diámetro ), se puede demostrar que el camino libre medio es ^[3] ${\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}$ ${\displaystyle \sigma =\pi d^{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , es la presión del gas y es la temperatura absoluta. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$

En la práctica, el diámetro de las moléculas de gas no está bien definido. De hecho, el diámetro cinético de una molécula se define en términos del camino libre medio. Normalmente, las moléculas de gas no se comportan como esferas duras, sino que se atraen entre sí a distancias mayores y se repelen a distancias más cortas, como se puede describir con el potencial de Lennard-Jones . Una forma de tratar con moléculas tan "blandas" es utilizar el parámetro σ de Lennard-Jones como diámetro.

Otra forma es asumir un gas de esfera dura que tenga la misma viscosidad que el gas real que se está considerando. Esto conduce a un camino libre medio ^[4]

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}$

donde es la masa molecular, es la densidad del gas ideal y μ es la viscosidad dinámica. Esta expresión se puede poner en la siguiente forma conveniente ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \rho =mp/(k_{\text{B}}T)}$

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{\rm {specific}}T}{2}}},}$

siendo la constante específica de los gases , igual a 287 J/(kg*K) para el aire. ${\displaystyle R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m}$

La siguiente tabla enumera algunos valores típicos para aire a diferentes presiones a temperatura ambiente. Tenga en cuenta que diferentes definiciones del diámetro molecular, así como diferentes suposiciones sobre el valor de la presión atmosférica (100 frente a 101,3 kPa) y la temperatura ambiente (293,17 K frente a 296,15 K o incluso 300 K) pueden conducir a valores ligeramente diferentes de la media libre. camino.

En otros campos

Radiografía

El camino libre medio para fotones con energía oscila entre 1 keV y 20 MeV para elementos con Z = 1 a 100. ^[6] Las discontinuidades se deben a la baja densidad de los elementos gaseosos. Seis bandas corresponden a vecindades de seis gases nobles . También se muestran las ubicaciones de los bordes de absorción .

En radiografía de rayos gamma, el camino libre medio de un haz de fotones monoenergéticos es la distancia promedio que recorre un fotón entre colisiones con átomos del material objetivo. Depende del material y de la energía de los fotones:

${\displaystyle \ell =\mu ^{-1}=((\mu /\rho )\rho )^{-1},}$

donde μ es el coeficiente de atenuación lineal , μ/ρ es el coeficiente de atenuación de masa y ρ es la densidad del material. El coeficiente de atenuación de masa se puede buscar o calcular para cualquier combinación de material y energía utilizando las bases de datos del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST). ^{[7] [8]}

En radiografía de rayos X, el cálculo del camino libre medio es más complicado, porque los fotones no son monoenergéticos, sino que tienen cierta distribución de energías llamada espectro . A medida que los fotones se mueven a través del material objetivo, se atenúan con probabilidades que dependen de su energía, como resultado, su distribución cambia en un proceso llamado endurecimiento del espectro. Debido al endurecimiento del espectro, el camino libre medio del espectro de rayos X cambia con la distancia.

A veces se mide el espesor de un material en el número de caminos libres medios . El material con el espesor de un camino libre medio atenuará hasta el 37% (1/ e ) de los fotones. Este concepto está estrechamente relacionado con la capa de valor medio (HVL): un material con un espesor de un HVL atenuará el 50% de los fotones. Una imagen de rayos X estándar es una imagen de transmisión; una imagen con un logaritmo negativo de sus intensidades a veces se denomina imagen de número de caminos libres medios .

Electrónica

En el transporte de carga macroscópico, el recorrido libre medio de un portador de carga en un metal es proporcional a la movilidad eléctrica , valor directamente relacionado con la conductividad eléctrica , es decir: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu ={\frac {q\tau }{m}}={\frac {q\ell }{m^{*}v_{\rm {F}}}},}$

donde q es la carga , es el tiempo libre medio , m ^* es la masa efectiva y v _F es la velocidad de Fermi del portador de carga. La velocidad de Fermi se puede derivar fácilmente de la energía de Fermi mediante la ecuación de energía cinética no relativista. Sin embargo, en películas delgadas , el espesor de la película puede ser menor que el recorrido libre medio previsto, lo que hace que la dispersión superficial sea mucho más notoria, aumentando efectivamente la resistividad . ${\displaystyle \tau }$

La movilidad de los electrones a través de un medio con dimensiones más pequeñas que el camino libre medio de los electrones se produce mediante conducción balística o transporte balístico. En tales escenarios, los electrones alteran su movimiento sólo en colisiones con paredes conductoras.

Óptica

Si se toma una suspensión de partículas no absorbentes de luz de diámetro d con una fracción de volumen Φ , el camino libre medio de los fotones es: ^[9]

${\displaystyle \ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{\text{s}}}},}$

donde Q _s es el factor de eficiencia de dispersión. Qs _se puede evaluar numéricamente para partículas esféricas utilizando la teoría de Mie .

Acústica

En una cavidad que de otro modo estaría vacía, el camino libre medio de una sola partícula que rebota en las paredes es:

${\displaystyle \ell ={\frac {FV}{S}},}$

donde V es el volumen de la cavidad, S es el área de la superficie interior total de la cavidad y F es una constante relacionada con la forma de la cavidad. Para la mayoría de las formas de cavidades simples, F es aproximadamente 4. ^[10]

Esta relación se utiliza en la derivación de la ecuación de Sabine en acústica, utilizando una aproximación geométrica de la propagación del sonido. ^[11]

Física nuclear y de partículas.

En física de partículas el concepto de camino libre medio no se utiliza habitualmente, siendo sustituido por el concepto similar de longitud de atenuación . En particular, para los fotones de alta energía, que interactúan principalmente mediante la producción de pares electrón-positrón , la longitud de la radiación se utiliza de manera muy similar al camino libre medio en radiografía.

Los modelos de partículas independientes en física nuclear requieren la órbita sin perturbaciones de los nucleones dentro del núcleo antes de que interactúen con otros nucleones. ^[12]

El camino libre medio efectivo de un nucleón en la materia nuclear debe ser algo mayor que las dimensiones nucleares para permitir el uso del modelo de partícula independiente. Este requisito parece estar en contradicción con las suposiciones hechas en la teoría... Nos enfrentamos aquí a uno de los problemas fundamentales de la física de la estructura nuclear que aún no se ha resuelto.

—  John Markus Blatt y Victor Weisskopf , Física nuclear teórica (1952) ^[13]

Ver también

• Teoría de la dispersión
• conducción balística
• Vacío
• número de knudsen
• Óptica

Referencias

1. Chen, Frank F. (1984). Introducción a la física del plasma y la fusión controlada (1ª ed.). Prensa del Pleno. pag. 156.ISBN _ 0-306-41332-9.
2. S. Chapman y TG Cowling, La teoría matemática de los gases no uniformes, 3º. edición, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , pág. 88. 
3. "Camino libre medio, colisiones moleculares". Hiperfísica.phy-astr.gsu.edu . Consultado el 8 de noviembre de 2011 .
4. Vincenti, WG y Kruger, CH (1965). Introducción a la dinámica física de los gases . Compañía editorial Krieger. pag. 414.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Jennings, S (1988). "El camino libre medio en el aire". Revista de ciencia de aerosoles . 19 (2): 159. Código bibliográfico : 1988JAerS..19..159J. doi :10.1016/0021-8502(88)90219-4.
6. Basado en datos de "NIST: Nota: bases de datos de atenuación y factor de forma de rayos X". Física.nist.gov. 10 de marzo de 1998 . Consultado el 8 de noviembre de 2011 .
7. Hubbell, JH ; Seltzer, SM "Tablas de coeficientes de atenuación de masa de rayos X y coeficientes de absorción de energía de masa". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 19 de septiembre de 2007 .
8. Berger, MJ; Hubbell, JH ; Seltzer, SM; Chang, J.; Coursey, JS; Sukumar, R.; Zucker, DS "XCOM: base de datos de secciones transversales de fotones". Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) . Consultado el 19 de septiembre de 2007 .
9. Mengual, O.; Meunier, G.; Cayré, I.; Puech, K.; Snabre, P. (1999). "TURBISCAN MA 2000: medición de dispersión de luz múltiple para análisis de inestabilidad de suspensión y emulsión concentrada". Talanta . 50 (2): 445–56. doi :10.1016/S0039-9140(99)00129-0. PMID  18967735.
10. Joven, Robert W. (julio de 1959). "Ecuación de reverberación de Sabine y cálculos de potencia sonora". La Revista de la Sociedad de Acústica de América . 31 (7): 918. Código bibliográfico : 1959ASAJ...31..912Y. doi :10.1121/1.1907816.
11. Davis, D. y Patronis, E. "Ingeniería de sistemas de sonido" (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 p. 173. 
12. Cocinero, Norman D. (2010). "El camino libre medio de los nucleones en los núcleos". Modelos del núcleo atómico (2 ed.). Heidelberg: Springer . pag. 324.ISBN _ 978-3-642-14736-4.
13. Blatt, John M.; Weisskopf, Víctor F. (1979). Física Nuclear Teórica. doi :10.1007/978-1-4612-9959-2. ISBN 978-1-4612-9961-5.

enlaces externos

• Calculadora de camino libre medio
• Caja de herramientas de dinámica de gases: calcule la ruta libre media para mezclas de gases utilizando el modelo VHS