Teorema del valor intermedio

La función continua en un intervalo toma todos los valores entre sus valores en los extremos.

Teorema del valor intermedio: Sea una función continua definida en y sea un número con . Entonces existe algún valor entre y tal que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(a)<s<f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=s}$

En el análisis matemático , el teorema del valor intermedio establece que si es una función continua cuyo dominio contiene el intervalo [ a , b ] , entonces toma cualquier valor dado entre y en algún punto dentro del intervalo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$

Esto tiene dos corolarios importantes :

1. Si una función continua tiene valores de signo opuesto dentro de un intervalo, entonces tiene una raíz en ese intervalo ( teorema de Bolzano ). ^{[1] [2]}
2. La imagen de una función continua en un intervalo es en sí misma un intervalo.

Motivación

El teorema del valor intermedio

Esto captura una propiedad intuitiva de las funciones continuas sobre los números reales : dada una función continua en con los valores conocidos y , entonces el gráfico de debe pasar por la línea horizontal mientras se mueve de a . Representa la idea de que el gráfico de una función continua en un intervalo cerrado se puede dibujar sin levantar un lápiz del papel. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [1,2]}$ ${\displaystyle f(1)=3}$ ${\displaystyle f(2)=5}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$

Teorema

El teorema del valor intermedio establece lo siguiente:

Consideremos un intervalo de números reales y una función continua . Entonces ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$

• Versión I. si es un número entre y , es decir, entonces existe un tal que . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ $${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b)),}$$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$
• Versión II. El conjunto de imágenes también es un intervalo cerrado y contiene . ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle {\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}}$

Observación: La versión II establece que el conjunto de valores de función no tiene espacio libre. Para dos valores de función cualesquiera cuyos puntos estén en el intervalo también son valores de función, un subconjunto de los números reales sin espacio libre interno es un intervalo. La versión I está naturalmente contenida en la versión II . ${\displaystyle c,d\in f(I)}$ ${\displaystyle c<d}$ ${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}}$ $${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I).}$$

Relación con la completitud

El teorema depende de, y es equivalente a, la completitud de los números reales . El teorema del valor intermedio no se aplica a los números racionales Q porque existen huecos entre los números racionales; los números irracionales llenan esos huecos. Por ejemplo, la función para satisface y . Sin embargo, no existe ningún número racional tal que , porque es un número irracional. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(2)=4}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Prueba

Versión de prueba A

El teorema puede demostrarse como consecuencia de la propiedad de completitud de los números reales de la siguiente manera: ^[3]

Probaremos el primer caso, . El segundo caso es similar. ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$

Sea el conjunto de todos los elementos tales que . Entonces no es vacío ya que es un elemento de . Como no es vacío y está acotado superiormente por , por completitud, existe el supremo . Es decir, es el número más pequeño que es mayor o igual que cada miembro de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ${\displaystyle f(x)<u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c=\sup S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

Tenga en cuenta que, debido a la continuidad de en , podemos mantenernos dentro de cualquiera de si nos mantenemos suficientemente cerca de . Dado que es una desigualdad estricta, considere la implicación cuando es la distancia entre y . Ningún suficientemente cercano a puede hacer que sea mayor o igual a , lo que significa que hay valores mayores que en . Una prueba más detallada es la siguiente: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)<u}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$

Elija . Entonces tal que , Considere el intervalo . Observe que y cada uno satisface la condición . Por lo tanto, para cada uno tenemos . Por lo tanto, no puede ser . ${\displaystyle \varepsilon =u-f(a)>0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$ ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$ $${\displaystyle |x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<u-f(a)\implies f(x)<u.}$$ ${\displaystyle [a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle x\in I_{1}}$ ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ ${\displaystyle x\in I_{1}}$ ${\displaystyle f(x)<u}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

De la misma manera, debido a la continuidad de en , podemos mantenernos dentro de cualquiera de si nos mantenemos suficientemente cerca de . Como es una desigualdad estricta, considere la implicación similar cuando es la distancia entre y . Todo suficientemente cercano a debe entonces ser mayor que , lo que significa que hay valores menores que que son límites superiores de . Una prueba más detallada es la siguiente: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle u<f(b)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$

Elija . Entonces tal que , Considere el intervalo . Observe que y cada uno satisface la condición . Por lo tanto, para cada uno tenemos . Por lo tanto, no puede ser . ${\displaystyle \varepsilon =f(b)-u>0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$ ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$ $${\displaystyle |x-b|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.}$$ ${\displaystyle (\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle x\in I_{2}}$ ${\displaystyle |x-b|<\delta }$ ${\displaystyle x\in I_{2}}$ ${\displaystyle f(x)>u}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$

Con y , debe ser el caso . Ahora afirmamos que . ${\displaystyle c\neq a}$ ${\displaystyle c\neq b}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

Arreglar algún . Dado que es continua en , tal que , . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \exists \delta _{1}>0}$ ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$ ${\displaystyle |x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$

Puesto que y es abierto, tal que . Fijar . Entonces tenemos para todos . Por las propiedades del supremo, existe alguno que está contenido en , y por lo tanto Escogiendo , sabemos que porque es el supremo de . Esto significa que Ambas desigualdades son válidas para todos , de lo que deducimos como el único valor posible, como se dijo. ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \exists \delta _{2}>0}$ ${\displaystyle (c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)}$ ${\displaystyle \delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})}$ $${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$$ ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ ${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .}$$ ${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$ ${\displaystyle a^{**}\not \in S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .}$$ $${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

Versión de prueba B

Sólo probaremos el caso de , ya que el caso es similar. ^[4] ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ ${\displaystyle f(a)>u>f(b)}$

Definimos cuál es equivalente a y nos permite reescribir como , y tenemos que demostrar que, para algún , que es más intuitivo. Definimos además el conjunto . Porque sabemos que, por lo tanto, que no está vacío. Además, como , sabemos que está acotado y no está vacío, por lo que, por Completitud, el supremo existe. ${\displaystyle g(x)=f(x)-u}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)+u}$ ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ ${\displaystyle g(a)<0<g(b)}$ ${\displaystyle g(c)=0}$ ${\displaystyle c\in [a,b]}$ ${\displaystyle S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}}$ ${\displaystyle g(a)<0}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c=\sup(S)}$

Hay 3 casos para el valor de , siendo estos y . Por contradicción, supongamos que . Entonces, por la definición de continuidad, para , existe un tal que implica que , que es equivalente a . Si simplemente elegimos , donde , entonces y , por lo que . Se deduce que es un límite superior para . Sin embargo, , contradiciendo la propiedad de límite superior del límite superior mínimo , por lo que . Supongamos entonces que . De manera similar, elegimos y sabemos que existe un tal que implica . Podemos reescribir esto como que implica que . Si ahora elegimos , entonces y . Se deduce que es un límite superior para . Sin embargo, , que contradicen la propiedad mínima del límite superior mínimo , lo que significa que es imposible. Si combinamos ambos resultados, obtenemos que o es la única posibilidad restante. ${\displaystyle g(c)}$ ${\displaystyle g(c)<0,g(c)>0}$ ${\displaystyle g(c)=0}$ ${\displaystyle g(c)<0}$ ${\displaystyle \epsilon =0-g(c)}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ ${\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}$ ${\displaystyle g(x)<0}$ ${\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}$ ${\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}}$ ${\displaystyle g(x)<0}$ ${\displaystyle c<x<b}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x>c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(c)\geq 0}$ ${\displaystyle g(c)>0}$ ${\displaystyle \epsilon =g(c)-0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$ ${\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}$ ${\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)}$ ${\displaystyle g(x)>0}$ ${\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}$ ${\displaystyle g(x)>0}$ ${\displaystyle a<x<c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x<c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(c)>0}$ ${\displaystyle g(c)=0}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

Observación: El teorema del valor intermedio también puede demostrarse utilizando métodos de análisis no estándar , que coloca los argumentos "intuitivos" que involucran infinitesimales sobre una base rigurosa ^{[ aclaración necesaria ]} . ^[5]

Historia

Una forma del teorema fue postulada ya en el siglo V a. C., en el trabajo de Bryson de Heraclea sobre la cuadratura del círculo . Bryson argumentó que, como existen círculos mayores y menores que un cuadrado dado, debe existir un círculo de igual área. ^[6] El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Bolzano utilizó la siguiente formulación del teorema: ^[7]

Sean funciones continuas en el intervalo entre y tales que y . Entonces existe una entre y tal que . ${\displaystyle f,\varphi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(\alpha )<\varphi (\alpha )}$ ${\displaystyle f(\beta )>\varphi (\beta )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(x)=\varphi (x)}$

La equivalencia entre esta formulación y la moderna se puede demostrar estableciendo la función constante apropiada. Augustin-Louis Cauchy proporcionó la formulación moderna y una prueba en 1821. ^[8] Ambos se inspiraron en el objetivo de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Joseph-Louis Lagrange . La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio tiene un origen anterior. Simon Stevin demostró el teorema del valor intermedio para polinomios (usando un cúbico como ejemplo) al proporcionar un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución. El algoritmo subdivide iterativamente el intervalo en 10 partes, produciendo un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración. ^[9] Antes de que se diera la definición formal de continuidad, la propiedad del valor intermedio se daba como parte de la definición de una función continua. Los defensores incluyen a Louis Arbogast , quien asumió que las funciones no tienen saltos, satisfacen la propiedad del valor intermedio y tienen incrementos cuyos tamaños corresponden a los tamaños de los incrementos de la variable. ^[10] Los autores anteriores consideraron que el resultado era intuitivamente obvio y no requería demostración. La idea de Bolzano y Cauchy fue definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy y utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano) y proporcionar una demostración basada en tales definiciones. ${\displaystyle \varphi }$

Lo contrario es falso

Una función Darboux es una función de valor real f que tiene la "propiedad del valor intermedio", es decir, que satisface la conclusión del teorema del valor intermedio: para dos valores cualesquiera a y b en el dominio de f , y cualquier y entre f ( a ) y f ( b ) , existe algún c entre a y b con f ( c ) = y . El teorema del valor intermedio dice que toda función continua es una función Darboux. Sin embargo, no toda función Darboux es continua; es decir, el inverso del teorema del valor intermedio es falso.

Como ejemplo, tomemos la función f  : [0, ∞) → [−1, 1] definida por f ( x ) = sin(1/ x ) para x > 0 y f (0) = 0 . Esta función no es continua en x = 0 porque el límite de f ( x ) cuando x tiende a 0 no existe; sin embargo, la función tiene la propiedad de valor intermedio. Otro ejemplo más complicado lo da la función de base 13 de Conway .

De hecho, el teorema de Darboux establece que todas las funciones que resultan de la diferenciación de alguna otra función en algún intervalo tienen la propiedad de valor intermedio (aunque no necesitan ser continuas).

Históricamente, esta propiedad de valor intermedio se ha sugerido como una definición de continuidad de funciones de valor real; ^[11] esta definición no fue adoptada.

Generalizaciones

Espacios multidimensionales

El teorema de Poincaré-Miranda es una generalización del teorema del valor intermedio de un intervalo (unidimensional) a un rectángulo (bidimensional), o más generalmente, a un cubo n -dimensional .

Vrahatis ^[12] presenta una generalización similar a los triángulos, o más generalmente, a los símplices n -dimensionales . Sea D ⁿ un símplice n -dimensional con n +1 vértices denotados por v ₀ ,..., v _n . Sea F =( f ₁ ,..., f _n ) una función continua desde D ⁿ hasta R ⁿ , que nunca es igual a 0 en el límite de D ⁿ . Supongamos que F satisface las siguientes condiciones:

• Para todo i en 1,..., n , el signo de f _i ( v _i ) es opuesto al signo de f _i ( x ) para todos los puntos x en la cara opuesta a v _i ;
• El vector de signo de f ₁ ,..., f _n en v ₀ no es igual al vector de signo de f ₁ ,..., f _n en todos los puntos de la cara opuesta a v ₀ .

Entonces hay un punto z en el interior de D ⁿ en el que F ( z )=(0,...,0).

Es posible normalizar f i _tal que f _i ( v _i )>0 para todo i ; entonces las condiciones se vuelven más simples:

• Para todo i en 1,..., n , f _i ( v _i )>0, y f _i ( x )<0 para todos los puntos x en la cara opuesta a v _i . En particular, f _i ( v ₀ )<0.
• Para todos los puntos x en la cara opuesta a v ₀ , f _i ( x )>0 para al menos un i en 1,..., n.

El teorema se puede demostrar con base en el lema de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz . Se puede utilizar para aproximaciones de puntos fijos y ceros. ^[13]

Espacios métricos y topológicos generales

El teorema del valor intermedio está estrechamente vinculado a la noción topológica de conectividad y se deriva de las propiedades básicas de los conjuntos conexos en espacios métricos y subconjuntos conexos de R en particular:

• Si y son espacios métricos , es una función continua y es un subconjunto conexo , entonces es conexo. ( * ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle E\subset X}$ ${\displaystyle f(E)}$
• Un subconjunto es conexo si y sólo si satisface la siguiente propiedad: . ( ** ) ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$

De hecho, la conectividad es una propiedad topológica y (*) se generaliza a espacios topológicos : si y son espacios topológicos, es una función continua y es un espacio conexo , entonces es conexo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ La preservación de la conectividad bajo funciones continuas puede considerarse como una generalización del teorema del valor intermedio, una propiedad de funciones continuas de valor real de una variable real, a funciones continuas en espacios generales.

Recordemos la primera versión del teorema del valor intermedio, enunciada anteriormente:

Teorema del valor intermedio  ( versión I )  :  considérese un intervalo cerrado en los números reales y una función continua . Entonces, si es un número real tal que , existe tal que . ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$

El teorema del valor intermedio es una consecuencia inmediata de estas dos propiedades de conectividad: ^[14]

Prueba

Por (**) , es un conjunto conexo. De (*) se sigue que la imagen, , también es conexa. Por conveniencia, supongamos que . Entonces, una vez más, invocar (**) , implica que , o para algún . Dado que , debe cumplirse realmente, y se sigue la conclusión deseada. El mismo argumento se aplica si , por lo que hemos terminado. QED ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle f(a)<f(b)}$ ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ ${\displaystyle u\in f(I)}$ ${\displaystyle f(c)=u}$ ${\displaystyle c\in I}$ ${\displaystyle u\neq f(a),f(b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle f(b)<f(a)}$

El teorema del valor intermedio se generaliza de forma natural: supóngase que X es un espacio topológico conexo y ( Y , <) es un conjunto totalmente ordenado dotado de la topología de orden , y sea f  : X → Y una función continua. Si a y b son dos puntos en X y u es un punto en Y que se encuentra entre f ( a ) y f ( b ) con respecto a < , entonces existe c en X tal que f ( c ) = u . El teorema original se recupera observando que R es conexo y que su topología natural es la topología de orden.

El teorema del punto fijo de Brouwer es un teorema relacionado que, en una dimensión, da un caso especial del teorema del valor intermedio.

En matemáticas constructivas

En matemáticas constructivas , el teorema del valor intermedio no es cierto. En cambio, hay que debilitar la conclusión:

• Sean y números reales y una función continua puntual desde el intervalo cerrado hasta la recta real, y supongamos que y . Entonces, para cada número positivo existe un punto en el intervalo unitario tal que . ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to R}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(a)<0}$ ${\displaystyle 0<f(b)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \vert f(x)\vert <\varepsilon }$

Aplicaciones prácticas

Un resultado similar es el teorema de Borsuk-Ulam , que dice que una función continua de la esfera al espacio euclidiano siempre asignará algún par de puntos antípodas al mismo lugar. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Prueba para el caso unidimensional

Consideremos como cualquier función continua en un círculo. Dibujemos una línea a través del centro del círculo, intersecándolo en dos puntos opuestos y . Definamos como . Si la línea se gira 180 grados, se obtendrá en su lugar el valor − d . Debido al teorema del valor intermedio, debe haber algún ángulo de rotación intermedio para el cual d = 0 y, como consecuencia, f ( A ) = f ( B ) en este ángulo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(A)-f(B)}$

En general, para cualquier función continua cuyo dominio sea alguna forma convexa -dimensional cerrada y cualquier punto dentro de la forma (no necesariamente su centro), existen dos puntos antípodas con respecto al punto dado cuyo valor funcional es el mismo. ${\displaystyle n}$

El teorema también sustenta la explicación de por qué al girar una mesa tambaleante se logra su estabilidad (sujeto a ciertas restricciones que se cumplen fácilmente). ^[16]

Véase también

• Teorema del valor medio  – Sobre la existencia de una tangente a un arco paralelo a la recta que pasa por sus extremos
• Medida no atómica  : Un conjunto medible con medida positiva que no contiene ningún subconjunto de medida positiva más pequeña.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de la bola peluda  – Teorema de topología diferencial
• Lema de Sperner  – Teorema sobre coloración de grafos de triangulación

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Teorema de Bolzano". MathWorld .
2. Cates, Dennis M. (2019). Cálculo Infinitésimal de Cauchy . pag. 249. doi :10.1007/978-3-030-11036-9. ISBN 978-3-030-11035-2.S2CID132587955  .​
3. En esencia, sigue a Clarke, Douglas A. (1971). Fundamentos del análisis . Appleton-Century-Crofts. pág. 284.
4. Versión ligeramente modificada de Abbot, Stephen (2015). Understanding Analysis . Springer. pág. 123.
5. Sanders, Sam (2017). "¡Análisis no estándar y constructivismo!". arXiv : 1704.00281 [math.LO].
6. Bos, Henk JM (2001). "La legitimación de los procedimientos geométricos antes de 1590". Redefiniendo la exactitud geométrica: la transformación de Descartes del concepto de construcción de la época moderna temprana . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Nueva York: Springer. pp. 23–36. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8_2. MR  1800805.
7. Russ, SB (1980). "Una traducción del artículo de Bolzano sobre el teorema del valor intermedio". Historia Mathematica . 7 (2): 156–185. doi : 10.1016/0315-0860(80)90036-1 .
8. Grabiner, Judith V. (marzo de 1983). "¿Quién te dio la épsilon? Cauchy y los orígenes del cálculo riguroso" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 90 (3): 185–194. doi :10.2307/2975545. JSTOR  2975545.
9. Karin Usadi Katz y Mikhail G. Katz (2011) Una crítica burgessiana de las tendencias nominalistas en las matemáticas contemporáneas y su historiografía. Fundamentos de la ciencia . doi :10.1007/s10699-011-9223-1 Ver enlace
10. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Teorema del valor intermedio", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
11. Smorynski, Craig (7 de abril de 2017). MVT: un teorema muy valioso. Springer. ISBN 9783319529561.
12. Vrahatis, Michael N. (1 de abril de 2016). "Generalización del teorema de Bolzano para símplices". Topología y sus aplicaciones . 202 : 40–46. doi :10.1016/j.topol.2015.12.066. ISSN  0166-8641.
13. Vrahatis, Michael N. (15 de abril de 2020). "Teorema del valor intermedio para símplices para la aproximación simplicial de puntos fijos y ceros". Topología y sus aplicaciones . 275 : 107036. doi : 10.1016/j.topol.2019.107036 . ISSN  0166-8641.
14. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático. Nueva York: McGraw-Hill. pp. 42, 93. ISBN 978-0-07-054235-8.
15. Matthew Frank (14 de julio de 2020). "Interpolación entre opciones para el teorema del valor intermedio aproximado". Métodos lógicos en informática . 16 (3). arXiv : 1701.02227 . doi :10.23638/LMCS-16(3:5)2020.
16. Keith Devlin (2007) Cómo estabilizar una mesa tambaleante

Lectura adicional

• https://mathoverflow.net/questions/253059/teorema-del-valor-intermedio-aproximadamente-en-matemáticas-constructivas-puras

Enlaces externos

• Teorema del valor intermedio en ProofWiki
• Teorema del valor intermedio - Teorema de Bolzano en el corte del nudo
• Teorema de Bolzano de Julio Cesar de la Yncera, Proyecto de Demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del valor intermedio". MathWorld .
• Belk, Jim (2 de enero de 2012). "Versión bidimensional del teorema del valor intermedio". Stack Exchange .
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4