En teoría de números , una variedad de Shimura es un análogo de dimensión superior de una curva modular que surge como una variedad cociente de un espacio simétrico hermítico por un subgrupo de congruencia de un grupo algebraico reductivo definido sobre Q. Las variedades de Shimura no son variedades algebraicas sino familias de variedades algebraicas. Las curvas de Shimura son las variedades unidimensionales de Shimura. Las superficies modulares de Hilbert y las variedades modulares de Siegel se encuentran entre las clases más conocidas de variedades de Shimura.
Las variedades de Shimura fueron introducidas originalmente por Goro Shimura en el curso de su generalización de la teoría de la multiplicación compleja . Shimura demostró que, si bien inicialmente se definieron analíticamente, son objetos aritméticos, en el sentido de que admiten modelos definidos sobre un cuerpo numérico , el cuerpo reflejo de la variedad de Shimura. En la década de 1970, Pierre Deligne creó un marco axiomático para el trabajo de Shimura. En 1979, Robert Langlands señaló que las variedades de Shimura forman un reino natural de ejemplos para los cuales se puede probar la equivalencia entre las funciones L motívicas y automórficas postuladas en el programa de Langlands . Las formas automórficas realizadas en la cohomología de una variedad de Shimura son más fáciles de estudiar que las formas automórficas generales; en particular, existe una construcción que les adjunta representaciones de Galois . [1]
Sea S = Res C / R G m la restricción de Weil del grupo multiplicativo de números complejos a números reales . Es un grupo algebraico real , cuyo grupo de R -puntos, S ( R ), es C * y grupo de C -puntos es C * × C * . Un dato de Shimura es un par ( G , X ) que consiste en un grupo algebraico reductivo (conexo) G definido sobre el cuerpo Q de números racionales y una G ( R ) -clase de conjugación X de homomorfismos h : S → G R que satisface los siguientes axiomas:
De estos axiomas se deduce que X tiene una estructura única de variedad compleja (posiblemente, desconectada) tal que para cada representación ρ : G R → GL ( V ), la familia ( V , ρ ⋅ h ) es una familia holomorfa de estructuras de Hodge ; además, forma una variación de la estructura de Hodge, y X es una unión disjunta finita de dominios simétricos hermíticos .
Sea A ƒ el anillo de adeles finitos de Q . Para cada subgrupo abierto compacto suficientemente pequeño K de G ( A ƒ ), el espacio de doble clase lateral
es una unión disjunta finita de variedades localmente simétricas de la forma , donde el superíndice más indica un componente conexo . Las variedades Sh K ( G , X ) son variedades algebraicas complejas y forman un sistema inverso sobre todos los subgrupos abiertos compactos suficientemente pequeños K . Este sistema inverso
admite una acción recta natural de G ( A ƒ ). Se llama variedad de Shimura asociada con el dato de Shimura ( G , X ) y se denota Sh( G , X ).
Para tipos especiales de dominios simétricos hermíticos y subgrupos de congruencia Γ, las variedades algebraicas de la forma Γ \ X = Sh K ( G , X ) y sus compactificaciones se introdujeron en una serie de artículos de Goro Shimura durante la década de 1960. El enfoque de Shimura, presentado más tarde en su monografía, fue en gran medida fenomenológico, y persiguió las generalizaciones más amplias de la formulación de la ley de reciprocidad de la teoría de la multiplicación compleja . En retrospectiva, el nombre "variedad Shimura" fue introducido por Deligne , quien procedió a aislar las características abstractas que desempeñaban un papel en la teoría de Shimura. En la formulación de Deligne, las variedades Shimura son espacios de parámetros de ciertos tipos de estructuras de Hodge . Por lo tanto, forman una generalización natural de dimensiones superiores de curvas modulares vistas como espacios de módulos de curvas elípticas con estructura de nivel. En muchos casos, los problemas de módulos a los que las variedades Shimura son soluciones también se han identificado.
Sea F un cuerpo de números totalmente reales y D un álgebra de división de cuaterniones sobre F . El grupo multiplicativo D × da lugar a una variedad canónica de Shimura. Su dimensión d es el número de lugares infinitos sobre los que D se divide. En particular, si d = 1 (por ejemplo, si F = Q y D ⊗ R ≅ M 2 ( R )), fijando un subgrupo aritmético suficientemente pequeño de D × , se obtiene una curva de Shimura, y las curvas que surgen de esta construcción ya son compactas (es decir, proyectivas ).
Algunos ejemplos de curvas de Shimura con ecuaciones explícitamente conocidas son las curvas de Hurwitz de género bajo:
y por la curva de Fermat de grado 7. [2]
Otros ejemplos de variedades de Shimura incluyen las superficies modulares Picard y las superficies modulares Hilbert , también conocidas como variedades Hilbert-Blumenthal.
Cada variedad de Shimura puede definirse sobre un cuerpo numérico canónico E llamado cuerpo reflejo . Este importante resultado de Shimura muestra que las variedades de Shimura, que a priori son sólo variedades complejas, tienen un cuerpo algebraico de definición y, por lo tanto, significado aritmético. Forma el punto de partida de su formulación de la ley de reciprocidad, donde un papel importante lo desempeñan ciertos puntos especiales definidos aritméticamente .
La naturaleza cualitativa del cierre de Zariski de conjuntos de puntos especiales en una variedad de Shimura se describe mediante la conjetura de André-Oort . Se han obtenido resultados condicionales sobre esta conjetura, suponiendo una hipótesis de Riemann generalizada . [3]
Las variedades de Shimura juegan un papel destacado en el programa Langlands . El teorema prototípico, la relación de congruencia de Eichler–Shimura , implica que la función zeta de Hasse–Weil de una curva modular es un producto de funciones L asociadas a formas modulares de peso 2 determinadas explícitamente. De hecho, fue en el proceso de generalización de este teorema que Goro Shimura introdujo sus variedades y demostró su ley de reciprocidad. Las funciones zeta de las variedades de Shimura asociadas con el grupo GL 2 sobre otros cuerpos numéricos y sus formas internas (es decir, grupos multiplicativos de álgebras de cuaterniones) fueron estudiadas por Eichler, Shimura, Kuga, Sato e Ihara. Sobre la base de sus resultados, Robert Langlands hizo una predicción de que la función zeta de Hasse-Weil de cualquier variedad algebraica W definida sobre un cuerpo numérico sería un producto de potencias positivas y negativas de funciones L automórficas, es decir, debería surgir de una colección de representaciones automórficas . [1] Por más natural que sea filosóficamente esperar tal descripción, afirmaciones de este tipo sólo se han demostrado cuando W es una variedad de Shimura. [4] En palabras de Langlands:
Demostrar que todas las funciones L asociadas a las variedades de Shimura –y por lo tanto a cualquier motivo definido por una variedad de Shimura– pueden expresarse en términos de las funciones L automórficas de [su artículo de 1970] es más débil, incluso mucho más débil, que demostrar que todas las funciones L motívicas son iguales a dichas funciones L. Además, aunque se espera que la afirmación más fuerte sea válida, no hay, hasta donde yo sé, ninguna razón muy convincente para esperar que todas las funciones L motívicas estén asociadas a las variedades de Shimura. [5]
